Номер 1429, страница 299 - гдз по математике 6 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 42. Координатная плоскость. Глава 4. Рациональные числа - номер 1429, страница 299.

Условие.

1429. Начертите на координатной плоскости четырёхугольник $PQRS$, если $P(-4; 2)$, $Q(-2; 4)$, $R(4; 1)$, $S(-2; -2)$. Найдите координаты точек пересечения стороны $QR$ с осью y и стороны $PS$ с осью x.

Решение.

Решение 2.

Сначала начертим четырехугольник PQRS на координатной плоскости, отметив точки P(-4; 2), Q(-2; 4), R(4; 1), S(-2; -2) и соединив их последовательно. Затем найдем координаты точек пересечения его сторон с осями координат аналитически.

Найдите координаты точек пересечения стороны QR с осью y

Чтобы найти точку пересечения стороны QR с осью y, сначала составим уравнение прямой, проходящей через точки Q(-2; 4) и R(4; 1). Уравнение прямой имеет вид $y = kx + b$, где $k$ - угловой коэффициент, а $b$ - точка пересечения с осью y.

Подставим координаты точек Q и R в уравнение прямой, чтобы получить систему уравнений:

$ \begin{cases} 4 = k \cdot (-2) + b \\ 1 = k \cdot 4 + b \end{cases} $

Вычтем из первого уравнения второе:

$4 - 1 = (-2k + b) - (4k + b)$

$3 = -2k - 4k$

$3 = -6k$

$k = -\frac{3}{6} = -0.5$

Теперь найдем $b$, подставив значение $k$ в любое из уравнений. Возьмем второе:

$1 = -0.5 \cdot 4 + b$

$1 = -2 + b$

$b = 3$

Уравнение прямой QR: $y = -0.5x + 3$.

Точка пересечения с осью y имеет координату $x = 0$. Подставим это значение в уравнение прямой:

$y = -0.5 \cdot 0 + 3$

$y = 3$

Следовательно, координаты точки пересечения стороны QR с осью y равны (0; 3).

Ответ: (0; 3).

Найдите координаты точек пересечения стороны PS с осью x

Аналогично, найдем уравнение прямой, проходящей через точки P(-4; 2) и S(-2; -2).

Подставим координаты точек P и S в уравнение $y = kx + b$:

$ \begin{cases} 2 = k \cdot (-4) + b \\ -2 = k \cdot (-2) + b \end{cases} $

Вычтем из первого уравнения второе:

$2 - (-2) = (-4k + b) - (-2k + b)$

$4 = -4k + 2k$

$4 = -2k$

$k = -2$

Теперь найдем $b$, подставив значение $k$ в первое уравнение:

$2 = -2 \cdot (-4) + b$

$2 = 8 + b$

$b = 2 - 8 = -6$

Уравнение прямой PS: $y = -2x - 6$.

Точка пересечения с осью x имеет координату $y = 0$. Подставим это значение в уравнение прямой:

$0 = -2x - 6$

$2x = -6$

$x = -3$

Следовательно, координаты точки пересечения стороны PS с осью x равны (-3; 0).

Ответ: (-3; 0).