Номер 1436, страница 300 - гдз по математике 6 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 42. Координатная плоскость. Глава 4. Рациональные числа - номер 1436, страница 300.

Условие.

1436.На координатной плоскости проведена окружность (рис. 301).

1) Найдите ординату точки окружности, абсцисса которой равна: 5; -4.

2) Найдите абсциссу точки окружности, ордината которой равна: -5; 3; 0.

Рис. 301

Решение.

Решение 2.

Для решения задачи сначала определим уравнение окружности, изображенной на координатной плоскости.

Общее уравнение окружности с центром в точке $(h, k)$ и радиусом $R$ имеет вид: $(x-h)^2 + (y-k)^2 = R^2$.

Из рисунка 301 видно, что центр окружности находится в точке $C(2, -2)$. Следовательно, $h=2$ и $k=-2$.

Радиус $R$ — это расстояние от центра до любой точки на окружности. Например, до самой правой точки $(7, -2)$. Расстояние между $(2, -2)$ и $(7, -2)$ равно $7-2=5$. Значит, радиус $R=5$.

Подставим найденные значения в общую формулу:

$(x-2)^2 + (y-(-2))^2 = 5^2$

$(x-2)^2 + (y+2)^2 = 25$

Это и есть уравнение данной окружности. Теперь мы можем найти координаты точек, лежащих на ней.

1) Найдите ординату точки окружности, абсцисса которой равна: 5; –4.

Для абсциссы, равной 5:
Подставим $x=5$ в уравнение окружности:
$(5-2)^2 + (y+2)^2 = 25$
$3^2 + (y+2)^2 = 25$
$9 + (y+2)^2 = 25$
$(y+2)^2 = 25 - 9$
$(y+2)^2 = 16$
Извлекая квадратный корень из обеих частей, получаем:
$y+2 = 4$ или $y+2 = -4$
Отсюда находим два значения для ординаты:
$y_1 = 4 - 2 = 2$
$y_2 = -4 - 2 = -6$

Для абсциссы, равной –4:
Подставим $x=-4$ в уравнение окружности:
$(-4-2)^2 + (y+2)^2 = 25$
$(-6)^2 + (y+2)^2 = 25$
$36 + (y+2)^2 = 25$
$(y+2)^2 = 25 - 36$
$(y+2)^2 = -11$
Так как квадрат действительного числа не может быть отрицательным, это уравнение не имеет решений. Следовательно, на окружности нет точек с абсциссой –4.

Ответ: если $x=5$, то $y=2$ или $y=-6$; если $x=-4$, то таких точек на окружности не существует.

2) Найдите абсциссу точки окружности, ордината которой равна: –5; 3; 0.

Для ординаты, равной –5:
Подставим $y=-5$ в уравнение окружности:
$(x-2)^2 + (-5+2)^2 = 25$
$(x-2)^2 + (-3)^2 = 25$
$(x-2)^2 + 9 = 25$
$(x-2)^2 = 25 - 9$
$(x-2)^2 = 16$
$x-2 = 4$ или $x-2 = -4$
$x_1 = 4 + 2 = 6$
$x_2 = -4 + 2 = -2$

Для ординаты, равной 3:
Подставим $y=3$ в уравнение окружности:
$(x-2)^2 + (3+2)^2 = 25$
$(x-2)^2 + 5^2 = 25$
$(x-2)^2 + 25 = 25$
$(x-2)^2 = 0$
$x-2 = 0$
$x = 2$

Для ординаты, равной 0:
Подставим $y=0$ в уравнение окружности:
$(x-2)^2 + (0+2)^2 = 25$
$(x-2)^2 + 4 = 25$
$(x-2)^2 = 21$
$x-2 = \pm\sqrt{21}$
$x_1 = 2 + \sqrt{21}$
$x_2 = 2 - \sqrt{21}$

Ответ: если $y=-5$, то $x=6$ или $x=-2$; если $y=3$, то $x=2$; если $y=0$, то $x=2+\sqrt{21}$ или $x=2-\sqrt{21}$.