Номер 1440, страница 301 - гдз по математике 6 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 42. Координатная плоскость. Глава 4. Рациональные числа - номер 1440, страница 301.

Условие.

1440. Отметьте на координатной плоскости точки $M (2; 1)$, $A (1; -2)$ и $B (-2; 1)$. Проведите прямую $AB$. Через точку $M$ проведите прямую, параллельную $AB$, и прямую, перпендикулярную $AB$.

Решение.

Решение 2.

Для решения задачи сначала отметим точки на координатной плоскости и проведем прямую AB. Затем найдем уравнения прямых, проходящих через точку M, одна из которых параллельна AB, а другая — перпендикулярна AB.

Координаты точек: M(2; 1), A(1; -2), B(-2; 1).

1. Найдем уравнение прямой AB. Уравнение прямой в общем виде: $y = kx + b$.

Сначала найдем угловой коэффициент $k$ прямой AB по формуле:

$k_{AB} = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{1 - (-2)}{-2 - 1} = \frac{3}{-3} = -1$.

Теперь подставим координаты точки A(1; -2) и найденный коэффициент $k=-1$ в уравнение прямой, чтобы найти $b$:

$-2 = (-1) \cdot 1 + b$

$-2 = -1 + b$

$b = -1$.

Таким образом, уравнение прямой AB: $y = -x - 1$.

Прямая, параллельная AB, проходящая через точку M

Параллельные прямые имеют одинаковые угловые коэффициенты. Следовательно, угловой коэффициент искомой прямой $k_{||}$ также равен -1.

Уравнение этой прямой будет иметь вид $y = -x + b_1$.

Так как эта прямая проходит через точку M(2; 1), подставим ее координаты в уравнение, чтобы найти $b_1$:

$1 = -1 \cdot 2 + b_1$

$1 = -2 + b_1$

$b_1 = 3$.

Уравнение прямой, параллельной AB и проходящей через точку M, имеет вид $y = -x + 3$.

Ответ: $y = -x + 3$.

Прямая, перпендикулярная AB, проходящая через точку M

Угловые коэффициенты перпендикулярных прямых связаны соотношением $k_1 \cdot k_2 = -1$. Обозначим угловой коэффициент перпендикулярной прямой как $k_{\perp}$.

$k_{\perp} \cdot k_{AB} = -1$

$k_{\perp} \cdot (-1) = -1$

$k_{\perp} = 1$.

Уравнение этой прямой будет иметь вид $y = 1 \cdot x + b_2$ или $y = x + b_2$.

Так как эта прямая также проходит через точку M(2; 1), подставим ее координаты в уравнение, чтобы найти $b_2$:

$1 = 2 + b_2$

$b_2 = -1$.

Уравнение прямой, перпендикулярной AB и проходящей через точку M, имеет вид $y = x - 1$.

Ответ: $y = x - 1$.