Номер 1438, страница 301 - гдз по математике 6 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 42. Координатная плоскость. Глава 4. Рациональные числа - номер 1438, страница 301.

Условие.

1438. Постройте окружность с центром в точке $M (3; 2)$, проходящую через точку $K (2; -1)$. Какие из точек принадлежат окружности: $A (2; 5)$, $B (0; 3)$, $C (1; -1)$, $D (3; -2)$, $E (4; -1)$, $F (5; 0)$?

Решение.

Решение 2.

Для решения задачи сначала необходимо найти уравнение окружности. По условию, центр окружности находится в точке $M(3; 2)$. Так как окружность проходит через точку $K(2; -1)$, то её радиус $R$ равен расстоянию между точками $M$ и $K$.
Найдем квадрат радиуса $R^2$, используя формулу расстояния между двумя точками $(x_1, y_1)$ и $(x_2, y_2)$: $d^2 = (x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2$.
$R^2 = (2 - 3)^2 + (-1 - 2)^2 = (-1)^2 + (-3)^2 = 1 + 9 = 10$.
Уравнение окружности с центром в точке $(x_0; y_0)$ и радиусом $R$ имеет вид: $(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 = R^2$.
Подставив координаты центра $M(3; 2)$ и значение $R^2 = 10$, получаем уравнение данной окружности:
$(x - 3)^2 + (y - 2)^2 = 10$.

Теперь проверим, какие из указанных точек принадлежат этой окружности. Точка принадлежит окружности, если её координаты удовлетворяют уравнению окружности.

A (2; 5)
Подставляем координаты точки в уравнение: $(2 - 3)^2 + (5 - 2)^2 = (-1)^2 + 3^2 = 1 + 9 = 10$.
Равенство $10 = 10$ верно.
Ответ: принадлежит.

B (0; 3)
Подставляем координаты точки в уравнение: $(0 - 3)^2 + (3 - 2)^2 = (-3)^2 + 1^2 = 9 + 1 = 10$.
Равенство $10 = 10$ верно.
Ответ: принадлежит.

C (1; -1)
Подставляем координаты точки в уравнение: $(1 - 3)^2 + (-1 - 2)^2 = (-2)^2 + (-3)^2 = 4 + 9 = 13$.
Равенство $13 = 10$ неверно.
Ответ: не принадлежит.

D (3; -2)
Подставляем координаты точки в уравнение: $(3 - 3)^2 + (-2 - 2)^2 = 0^2 + (-4)^2 = 0 + 16 = 16$.
Равенство $16 = 10$ неверно.
Ответ: не принадлежит.

E (4; -1)
Подставляем координаты точки в уравнение: $(4 - 3)^2 + (-1 - 2)^2 = 1^2 + (-3)^2 = 1 + 9 = 10$.
Равенство $10 = 10$ верно.
Ответ: принадлежит.

F (5; 0)
Подставляем координаты точки в уравнение: $(5 - 3)^2 + (0 - 2)^2 = 2^2 + (-2)^2 = 4 + 4 = 8$.
Равенство $8 = 10$ неверно.
Ответ: не принадлежит.

Таким образом, окружности принадлежат точки $A(2; 5)$, $B(0; 3)$ и $E(4; -1)$.