Номер 1444, страница 301 - гдз по математике 6 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 42. Координатная плоскость. Глава 4. Рациональные числа - номер 1444, страница 301.

Условие.

1444. Начертите на координатной плоскости треугольник $ABC$, если $A (-3; 2)$, $B (-1; 4)$, $C (2; 3)$. Постройте треугольник, симметричный данному относительно:

1) начала координат;

2) точки $P (2; 2)$. Найдите координаты вершин полученного треугольника.

Решение.

Решение 2.

Дан треугольник $ABC$ с вершинами в точках $A(-3; 2)$, $B(-1; 4)$ и $C(2; 3)$. Необходимо найти координаты вершин треугольников, симметричных данному относительно начала координат и точки $P(2; 2)$.

1) начала координат

При центральной симметрии относительно начала координат $(0; 0)$ каждая координата точки $(x; y)$ меняет свой знак на противоположный, переходя в точку $(-x; -y)$. Найдем координаты вершин $A_1, B_1, C_1$ треугольника, симметричного $ABC$.

• Для вершины $A(-3; 2)$: координаты симметричной точки $A_1$ будут $(-(-3); -2)$, то есть $A_1(3; -2)$.
• Для вершины $B(-1; 4)$: координаты симметричной точки $B_1$ будут $(-(-1); -4)$, то есть $B_1(1; -4)$.
• Для вершины $C(2; 3)$: координаты симметричной точки $C_1$ будут $(-2; -3)$.

Ответ: Координаты вершин полученного треугольника: $A_1(3; -2)$, $B_1(1; -4)$, $C_1(-2; -3)$.

2) точки P (2; 2)

При центральной симметрии относительно точки $P(x_p; y_p)$, точка $P$ является серединой отрезка, соединяющего исходную точку $M(x; y)$ и симметричную ей точку $M'(x'; y')$. Координаты симметричной точки можно найти по формулам:
$x' = 2x_p - x$
$y' = 2y_p - y$

В данном случае центр симметрии — точка $P(2; 2)$. Найдем координаты вершин $A_2, B_2, C_2$ нового треугольника.

• Для вершины $A(-3; 2)$:
  $x_{A_2} = 2 \cdot 2 - (-3) = 4 + 3 = 7$
  $y_{A_2} = 2 \cdot 2 - 2 = 4 - 2 = 2$
  Координаты точки $A_2(7; 2)$.
• Для вершины $B(-1; 4)$:
  $x_{B_2} = 2 \cdot 2 - (-1) = 4 + 1 = 5$
  $y_{B_2} = 2 \cdot 2 - 4 = 4 - 4 = 0$
  Координаты точки $B_2(5; 0)$.
• Для вершины $C(2; 3)$:
  $x_{C_2} = 2 \cdot 2 - 2 = 4 - 2 = 2$
  $y_{C_2} = 2 \cdot 2 - 3 = 4 - 3 = 1$
  Координаты точки $C_2(2; 1)$.

Ответ: Координаты вершин полученного треугольника: $A_2(7; 2)$, $B_2(5; 0)$, $C_2(2; 1)$.