Страница 298 - гдз по математике 6 класс учебник Мерзляк, Полонский

1. Как называют две перпендикулярные координатные прямые, которые пересекаются в начале отсчёта?

Две перпендикулярные координатные прямые, которые пересекаются в начале отсчёта, образуют прямоугольную систему координат. Такую систему также называют декартовой системой координат в честь французского математика Рене Декарта.

Основные элементы этой системы:

• Ось абсцисс (ось $Ox$) — горизонтальная координатная прямая.
• Ось ординат (ось $Oy$) — вертикальная координатная прямая, перпендикулярная оси абсцисс.
• Начало координат — точка пересечения осей, имеющая координаты $(0, 0)$.

Эта система позволяет uniquely определить положение любой точки на плоскости с помощью упорядоченной пары чисел $(x, y)$, называемых её координатами.

Ответ: Прямоугольная система координат (или декартова система координат).

2. Как называют плоскость, на которой задана система координат?

2. Плоскость, на которой задана система координат, называется координатной плоскостью. Система координат позволяет установить взаимно однозначное соответствие между точками на плоскости и парами чисел. Наиболее часто используется прямоугольная (декартова) система координат, которая задается двумя взаимно перпендикулярными прямыми — осями координат (осью абсцисс $Ox$ и осью ординат $Oy$), пересекающимися в точке $O$ — начале координат.
Ответ: координатная плоскость.

3. Как называют координатную прямую, которую проводят горизонтально? вертикально?

горизонтально? В прямоугольной (декартовой) системе координат координатную прямую, которую проводят горизонтально, называют осью абсцисс. Её принято обозначать как ось $Ox$. Координата точки на этой оси называется её абсциссой. Ответ: ось абсцисс.

вертикально? Координатную прямую, которую проводят вертикально, называют осью ординат. Её принято обозначать как ось $Oy$. Координата точки на этой оси называется её ординатой. Оси абсцисс и ординат взаимно перпендикулярны и пересекаются в точке, называемой началом координат. Ответ: ось ординат.

4. Какую координату точки ставят на первое место, а какую — на второе?

В декартовой системе координат, которая используется для определения положения точки на плоскости, координаты записываются в виде упорядоченной пары чисел $(x; y)$. Порядок, в котором записываются эти числа, имеет принципиальное значение.

На первое место ставят координату по горизонтальной оси, которая называется осью абсцисс (или осью $Ox$). Эта координата называется абсциссой точки. Она показывает, на сколько единиц нужно сместиться от начала координат вправо (если число положительное) или влево (если число отрицательное) вдоль оси $x$.

На второе место ставят координату по вертикальной оси, которая называется осью ординат (или осью $Oy$). Эта координата называется ординатой точки. Она показывает, на сколько единиц нужно сместиться от найденного на оси абсцисс положения вверх (если число положительное) или вниз (если число отрицательное) параллельно оси $y$.

Например, если точка имеет координаты $(3; 5)$, это означает, что ее абсцисса равна $3$, а ордината равна $5$.

Ответ: На первое место ставят абсциссу (координату по оси $x$), а на второе — ординату (координату по оси $y$).

5. Где на координатной плоскости находятся точки, абсциссы которых равны нулю?

В декартовой системе координат положение любой точки на плоскости задается парой чисел $(x, y)$, которые называются ее координатами. Первое число в паре, $x$, называется абсциссой точки и показывает ее смещение по горизонтали от начала координат. Второе число, $y$, называется ординатой и показывает смещение по вертикали.

Вопрос состоит в том, чтобы найти геометрическое место точек, у которых абсцисса равна нулю. Математически это условие записывается как $x = 0$.

Если абсцисса точки равна нулю ($x = 0$), это означает, что у точки нет горизонтального смещения от вертикальной оси (оси ординат, или оси Oy). Независимо от значения ординаты $y$, точка с координатой $x=0$ всегда будет находиться на этой вертикальной оси.

Например, точки с координатами $(0, 1)$, $(0, 5)$, $(0, -3)$, $(0, 0)$ все имеют абсциссу, равную нулю, и все они лежат на оси Oy. Таким образом, совокупность всех точек, у которых абсцисса равна нулю, образует ось ординат.

Ответ: точки, абсциссы которых равны нулю, находятся на оси ординат (оси Oy).

6. Где на координатной плоскости находятся точки, ординаты которых равны нулю?

В прямоугольной (декартовой) системе координат положение любой точки на плоскости определяется двумя числами — ее координатами $(x; y)$. Первое число, $x$, называется абсциссой и соответствует положению точки на горизонтальной оси (оси $Ox$). Второе число, $y$, называется ординатой и соответствует положению точки на вертикальной оси (оси $Oy$).

Вопрос заключается в том, где находятся все точки, у которых ордината равна нулю. Это означает, что для всех этих точек координата $y$ должна быть равна нулю, то есть $y=0$.

Рассмотрим, что это значит геометрически. Если ордината точки равна нулю, то эта точка не смещена ни вверх, ни вниз относительно горизонтальной оси. Следовательно, она лежит непосредственно на самой горизонтальной оси.

Таким образом, все точки, у которых ордината равна нулю, образуют прямую линию, которая является осью абсцисс (осью $Ox$). Координаты таких точек имеют вид $(x; 0)$, где $x$ — любое действительное число.

Примеры таких точек: $(-3; 0)$, $(0; 0)$, $(5; 0)$. Все они лежат на оси $Ox$.

Ответ: Точки, ординаты которых равны нулю, находятся на оси абсцисс (оси $Ox$).

7. Какие координаты имеет начало координат?

Начало координат — это центральная точка в системе координат, которая служит точкой отсчета. В этой точке пересекаются все координатные оси, и по определению, значение каждой координаты в этой точке равно нулю.

В зависимости от размерности пространства, координаты будут следующими:

1. На координатной прямой (в одномерном пространстве) начало координат — это точка с координатой $0$.

2. На координатной плоскости (в двумерной декартовой системе координат), где есть ось абсцисс (Ox) и ось ординат (Oy), начало координат находится в точке их пересечения и имеет координаты $(0, 0)$.

3. В трехмерном пространстве, с осями Ox, Oy и Oz, начало координат имеет координаты $(0, 0, 0)$.

Таким образом, независимо от количества измерений, все координаты начала координат всегда равны нулю.

Ответ: $(0, 0)$ на плоскости, или $(0, 0, 0)$ в пространстве.

1. Найдите коэффициент выражения:

1) $8m \cdot 0,5;$

2) $-x \cdot (-1,2);$

3) $a \cdot (-18b);$

4) $-p \cdot (-4q);$

5) $-0,7x \cdot 1\frac{3}{10}y;$

6) $-\frac{1}{6}a \cdot (-1,2b) \cdot 5c.$

1) Чтобы найти коэффициент выражения $8m \cdot 0,5$, необходимо перемножить его числовые множители. В данном выражении числовыми множителями являются 8 и 0,5.
$8 \cdot 0,5 = 4$.
Таким образом, исходное выражение можно записать как $4m$. Коэффициентом является числовой множитель при буквенной части, то есть 4.
Ответ: 4

2) Выражение $-x \cdot (-1,2)$ можно представить как $(-1 \cdot x) \cdot (-1,2)$. Чтобы найти коэффициент, перемножим числовые множители -1 и -1,2.
$(-1) \cdot (-1,2) = 1,2$.
Произведение двух отрицательных чисел является положительным числом. Исходное выражение равно $1,2x$. Коэффициент равен 1,2.
Ответ: 1,2

3) В выражении $a \cdot (-18b)$ числовыми множителями являются 1 (коэффициент при $a$) и -18.
Перемножим их: $1 \cdot (-18) = -18$.
Буквенная часть будет $a \cdot b = ab$.
Таким образом, выражение равно $-18ab$. Коэффициент равен -18.
Ответ: -18

4) Выражение $-p \cdot (-4q)$ можно записать как $(-1 \cdot p) \cdot (-4 \cdot q)$. Числовые множители здесь -1 и -4.
Найдем их произведение: $(-1) \cdot (-4) = 4$.
Буквенная часть равна $p \cdot q = pq$.
Следовательно, выражение упрощается до $4pq$. Коэффициент равен 4.
Ответ: 4

5) Чтобы найти коэффициент выражения $-0,7x \cdot 1\frac{3}{10}y$, нужно перемножить числовые множители $-0,7$ и $1\frac{3}{10}$.
Для удобства вычислений представим оба числа в виде десятичных дробей. $1\frac{3}{10} = 1,3$.
Теперь перемножим их: $-0,7 \cdot 1,3 = -0,91$.
Выражение равно $-0,91xy$. Коэффициент равен -0,91.
Ответ: -0,91

6) В выражении $-\frac{1}{6}a \cdot (-1,2b) \cdot 5c$ необходимо перемножить все числовые множители: $-\frac{1}{6}$, $-1,2$ и $5$.
Представим десятичную дробь $-1,2$ в виде обыкновенной: $-1,2 = -1\frac{2}{10} = -1\frac{1}{5} = -\frac{6}{5}$.
Теперь выполним умножение:
$(-\frac{1}{6}) \cdot (-\frac{6}{5}) \cdot 5 = (\frac{1 \cdot 6}{6 \cdot 5}) \cdot 5 = \frac{1}{5} \cdot 5 = 1$.
Буквенная часть равна $a \cdot b \cdot c = abc$.
Выражение равно $1 \cdot abc$, или просто $abc$. Коэффициент равен 1.
Ответ: 1

2. Решите уравнение:

1) $7x + 1 = 5x - 9,$

2) $14a = 8a - 5,4.$

1) Решим уравнение $7x + 1 = 5x - 9$.

Для начала сгруппируем слагаемые с переменной $x$ в левой части уравнения, а постоянные слагаемые (числа) — в правой. При переносе слагаемого через знак равенства его знак меняется на противоположный.

Перенесем $5x$ влево (станет $-5x$) и $1$ вправо (станет $-1$):

$7x - 5x = -9 - 1$

Теперь выполним вычитание в обеих частях уравнения:

$2x = -10$

Чтобы найти $x$, разделим обе части уравнения на коэффициент при $x$, то есть на 2:

$x = \frac{-10}{2}$

$x = -5$

Ответ: -5

2) Решим уравнение $14a = 8a - 5,4$.

Перенесем слагаемое с переменной $a$ из правой части в левую. При этом знак слагаемого $8a$ изменится на противоположный.

$14a - 8a = -5,4$

Упростим левую часть уравнения, выполнив вычитание:

$6a = -5,4$

Теперь разделим обе части уравнения на коэффициент при $a$, то есть на 6, чтобы найти значение $a$:

$a = \frac{-5,4}{6}$

$a = -0,9$

Ответ: -0,9

3. В первый день засеяли $ \frac{2}{9} $ поля, а во второй – в 2 раза больше. Какую часть поля осталось засеять?

Для решения задачи необходимо выполнить следующие шаги:

1. Найти часть поля, засеянную во второй день

В первый день засеяли $ \frac{2}{9} $ поля. По условию, во второй день засеяли в 2 раза больше. Чтобы найти эту часть, умножим долю, засеянную в первый день, на 2.

$ \frac{2}{9} \cdot 2 = \frac{4}{9} $

Таким образом, во второй день засеяли $ \frac{4}{9} $ поля.

2. Найти общую часть поля, засеянную за два дня

Чтобы найти, какую часть поля засеяли за два дня, нужно сложить части, засеянные в первый и во второй день.

$ \frac{2}{9} + \frac{4}{9} = \frac{2+4}{9} = \frac{6}{9} $

Итак, за два дня было засеяно $ \frac{6}{9} $ поля.

3. Найти часть поля, которую осталось засеять

Все поле принимаем за единицу (1). Чтобы найти оставшуюся часть, нужно из целого вычесть ту часть, которую уже засеяли за два дня.

$ 1 - \frac{6}{9} $

Представим единицу в виде дроби со знаменателем 9: $ 1 = \frac{9}{9} $.

$ \frac{9}{9} - \frac{6}{9} = \frac{9-6}{9} = \frac{3}{9} $

Полученную дробь $ \frac{3}{9} $ можно сократить, разделив и числитель, и знаменатель на 3:

$ \frac{3 \div 3}{9 \div 3} = \frac{1}{3} $

Следовательно, осталось засеять $ \frac{1}{3} $ часть поля.

Ответ: $ \frac{1}{3} $

4. Известно, что $10\%$ гречневой крупы составляют белки, $2,5\%$ — жиры и $60\%$ — углеводы. Сколько килограммов каждого из этих питательных веществ содержится в $10$ кг гречневой крупы?

Чтобы найти массу каждого питательного вещества в 10 кг гречневой крупы, необходимо общую массу умножить на процентное содержание каждого вещества. Для этого сначала переведем проценты в десятичные дроби.

Белки
Содержание белков составляет 10%. Чтобы найти массу белков, нужно общую массу умножить на долю белков.
1. Переведем проценты в десятичную дробь: $10\% = \frac{10}{100} = 0,1$.
2. Найдем массу белков: $10 \text{ кг} \cdot 0,1 = 1 \text{ кг}$.
Ответ: 1 кг белков.

Жиры
Содержание жиров составляет 2,5%. Чтобы найти массу жиров, нужно общую массу умножить на долю жиров.
1. Переведем проценты в десятичную дробь: $2,5\% = \frac{2,5}{100} = 0,025$.
2. Найдем массу жиров: $10 \text{ кг} \cdot 0,025 = 0,25 \text{ кг}$.
Ответ: 0,25 кг жиров.

Углеводы
Содержание углеводов составляет 60%. Чтобы найти массу углеводов, нужно общую массу умножить на долю углеводов.
1. Переведем проценты в десятичную дробь: $60\% = \frac{60}{100} = 0,6$.
2. Найдем массу углеводов: $10 \text{ кг} \cdot 0,6 = 6 \text{ кг}$.
Ответ: 6 кг углеводов.