Страница 292 - гдз по математике 6 класс учебник Мерзляк, Полонский

1. Каким может быть взаимное расположение двух прямых на плос-кости?

Взаимное расположение двух прямых на плоскости определяется количеством их общих точек. Исходя из этого, существует три варианта их расположения:

Прямые пересекаются

Это случай, когда две прямые имеют ровно одну общую точку, которую называют точкой пересечения. Если прямая $a$ и прямая $b$ пересекаются в точке $M$, то это можно записать так: $a \cap b = \{M\}$. Важным частным случаем является пересечение под прямым углом ($90^\circ$), такие прямые называются перпендикулярными. Обозначение перпендикулярности: $a \perp b$.
Ответ: прямые имеют одну общую точку.

Прямые параллельны

Две прямые на плоскости называются параллельными, если они лежат в одной плоскости и не имеют ни одной общей точки. Расстояние между параллельными прямыми всегда одинаково. Если прямая $a$ параллельна прямой $b$, это обозначается как $a \parallel b$. Их пересечение — пустое множество: $a \cap b = \emptyset$.
Ответ: прямые не имеют общих точек.

Прямые совпадают

Это случай, когда две прямые имеют все свои точки общими, то есть лежат одна на другой. У них бесконечное множество общих точек. По сути, это одна и та же прямая, которая может быть задана разными, но эквивалентными уравнениями. Если прямые $a$ и $b$ совпадают, можно написать $a = b$.
Ответ: прямые имеют бесконечное множество общих точек.

2. Какие две прямые называют параллельными?

Две прямые на плоскости называют параллельными, если они не пересекаются, то есть не имеют ни одной общей точки. Это означает, что как бы далеко мы ни продолжали эти прямые в обе стороны, они никогда не встретятся, и расстояние между ними в любой точке будет одинаковым.

Ключевым моментом в определении является то, что прямые должны находиться в одной плоскости. В трехмерном пространстве две прямые, которые не пересекаются и не лежат в одной плоскости, называются скрещивающимися, а не параллельными.

Для обозначения параллельности прямых используется специальный символ $ \parallel $. Если прямая $a$ параллельна прямой $b$, то это записывается как $a \parallel b$.

Также существуют признаки параллельности прямых, которые позволяют доказать, что две прямые параллельны. Если две прямые $a$ и $b$ пересечены третьей прямой $c$ (называемой секущей), то прямые $a$ и $b$ будут параллельны, если выполняется любое из следующих условий:

• накрест лежащие углы равны;
• соответственные углы равны;
• сумма односторонних углов равна $180^\circ$.

Например, если при пересечении двух прямых секущей накрест лежащие углы $ \angle 1 $ и $ \angle 2 $ равны ($ \angle 1 = \angle 2 $), то эти прямые параллельны.

Ответ: Параллельными называют две прямые, которые лежат в одной плоскости и не пересекаются.

3. Как читают запись $m \parallel n$?

3. Как читают запись m || n?
Данная запись является стандартным математическим обозначением, используемым в геометрии. В этой записи буквы $m$ и $n$ обычно обозначают две различные прямые, а символ $\parallel$ — это знак параллельности. Этот символ указывает на то, что прямые никогда не пересекутся, сколько бы их ни продолжали.
Таким образом, вся запись $m \parallel n$ читается как утверждение о взаимном расположении этих двух прямых.
Полностью и грамматически верно эту запись читают: «прямая $m$ параллельна прямой $n$».
В устной речи для краткости могут говорить: «$m$ параллельно $n$».
Ответ: Запись $m \parallel n$ читают: «прямая $m$ параллельна прямой $n$».

4. Какие отрезки (лучи) называют параллельными?

Для того чтобы определить, какие отрезки или лучи называют параллельными, необходимо сначала вспомнить определение параллельных прямых.

Две прямые на плоскости называются параллельными, если они не пересекаются, сколько бы их ни продолжали. Обозначается параллельность двух прямых $a$ и $b$ как $a \parallel b$.

Отрезок — это часть прямой, ограниченная двумя точками. Луч — это часть прямой, которая имеет начало, но не имеет конца.

Исходя из этого, определение параллельности для отрезков и лучей формулируется следующим образом:

Два отрезка (или два луча) называются параллельными, если они лежат на параллельных прямых. Это означает, что если через каждый из отрезков (или лучей) провести прямую, то эти две прямые не будут пересекаться.

Например, если отрезок $AB$ лежит на прямой $a$, а отрезок $CD$ лежит на прямой $b$, то отрезки $AB$ и $CD$ будут параллельны тогда и только тогда, когда прямые $a$ и $b$ параллельны ($a \parallel b$). То же самое справедливо и для лучей.

Ответ: Отрезки (или лучи) называют параллельными, если они лежат на параллельных прямых.

5. Можно ли считать два отрезка параллельными, если они лежат в одной плоскости и не имеют общих точек?

Чтобы ответить на этот вопрос, необходимо обратиться к определению параллельных отрезков. Два отрезка называются параллельными, если они лежат на параллельных прямых. В свою очередь, две прямые в плоскости называются параллельными, если они не пересекаются.

Условие, что два отрезка лежат в одной плоскости и не имеют общих точек, не является достаточным для того, чтобы считать их параллельными. Возможна ситуация, когда отрезки лежат на пересекающихся прямых, но сами при этом не имеют общих точек.

Рассмотрим такой случай. Пусть прямая $a$ и прямая $b$ лежат в одной плоскости и пересекаются в точке $M$. На прямой $a$ выберем отрезок $AB$, а на прямой $b$ — отрезок $CD$. Можно расположить эти отрезки так, что они не будут иметь общих точек (например, если точка $M$ не принадлежит ни одному из отрезков). В этом случае отрезки $AB$ и $CD$ удовлетворяют обоим условиям из вопроса: они лежат в одной плоскости и не имеют общих точек.

Однако они не являются параллельными, так как содержащие их прямые $a$ и $b$ пересекаются.

Пример:
В декартовой системе координат рассмотрим отрезок $AB$ с концами в точках $A(1, 0)$ и $B(2, 0)$, который лежит на оси абсцисс ($Ox$). И рассмотрим отрезок $CD$ с концами в точках $C(0, 1)$ и $D(0, 2)$, который лежит на оси ординат ($Oy$). Оба отрезка лежат в плоскости $Oxy$ и не имеют общих точек. Но прямые, на которых они лежат (оси $Ox$ и $Oy$), пересекаются в начале координат, а значит, не параллельны. Следовательно, и сами отрезки $AB$ и $CD$ не являются параллельными.

Ответ: Нет, не всегда. Два отрезка, лежащие в одной плоскости и не имеющие общих точек, могут лежать на пересекающихся прямых, и в этом случае они не будут параллельными.

6. Каково взаимное расположение двух прямых, которые лежат в одной плоскости и перпендикулярны третьей прямой?

Согласно теореме о взаимном расположении прямых на плоскости, две прямые, перпендикулярные третьей, параллельны между собой. Рассмотрим доказательство этого утверждения.

Пусть прямые $a$ и $b$ лежат в одной плоскости и обе перпендикулярны третьей прямой $c$. Это можно записать как $a \perp c$ и $b \perp c$.

Докажем, что $a \parallel b$ методом от противного.

Предположим, что прямые $a$ и $b$ не параллельны. Так как они лежат в одной плоскости, то они должны пересекаться в некоторой точке $M$.

Таким образом, мы получаем, что из точки $M$ к прямой $c$ проведены две различные прямые ($a$ и $b$), которые ей перпендикулярны.

Однако это противоречит теореме о единственности перпендикуляра, которая гласит, что из любой точки, не лежащей на прямой, можно провести к этой прямой только один перпендикуляр.

Следовательно, наше первоначальное предположение неверно, и прямые $a$ и $b$ не могут пересекаться.

Поскольку прямые $a$ и $b$ лежат в одной плоскости и не пересекаются, они являются параллельными.

Ответ: Две прямые, которые лежат в одной плоскости и перпендикулярны третьей прямой, параллельны друг другу.

1. Пять братьев хотят поделить между собой 40 яблок так, чтобы каждый из них получил нечётное количество яблок. Смогут ли они это сделать?

Для решения этой задачи обратимся к свойствам чётных и нечётных чисел. По условию, у нас есть 5 братьев и 40 яблок. Каждый брат должен получить нечётное количество яблок.

Давайте проанализируем сумму чисел, которые должны получиться. Пусть количество яблок у каждого из пяти братьев будет $n_1, n_2, n_3, n_4, n_5$. По условию, все эти числа — нечётные.

Сумма этих чисел должна быть равна общему количеству яблок:

$n_1 + n_2 + n_3 + n_4 + n_5 = 40$

Рассмотрим, какой будет чётность суммы пяти нечётных чисел, используя следующие правила:

• нечётное + нечётное = чётное
• нечётное + чётное = нечётное
• чётное + чётное = чётное

Сложим количество яблок по парам:

$(n_1 + n_2) + (n_3 + n_4) + n_5$

Сумма первых двух нечётных чисел $(n_1 + n_2)$ даст чётное число. Сумма следующих двух нечётных чисел $(n_3 + n_4)$ также даст чётное число.

Теперь наша сумма выглядит так:

$\text{чётное} + \text{чётное} + \text{нечётное}$

Сумма двух чётных чисел ($\text{чётное} + \text{чётное}$) — это чётное число. В итоге мы получаем:

$\text{чётное} + \text{нечётное} = \text{нечётное}$

Таким образом, сумма пяти нечётных чисел всегда является нечётным числом. Однако по условию задачи общее количество яблок равно 40, а 40 — это чётное число.

Мы пришли к противоречию: сумма нечётных количеств яблок у пяти братьев должна быть нечётным числом, но она равна 40 (чётному числу). Следовательно, такое разделение яблок невозможно.

Ответ: Нет, не смогут.

2. Вычислите значение выражения:

1) $-4 \cdot (12 - 19);$

2) $(52 - 28) : (-12);$

3) $-2,5 : (-0,5) - 7.$

1) Для вычисления значения выражения $-4 \cdot (12 - 19)$ необходимо следовать порядку выполнения математических операций. Сначала выполняется действие в скобках, а затем умножение.
1. Выполним вычитание в скобках: $12 - 19 = -7$.
2. Умножим полученный результат на $-4$: $-4 \cdot (-7) = 28$.
При умножении двух отрицательных чисел получается положительное число.
Ответ: 28

2) Для вычисления значения выражения $(52 + 28) : (-12)$ необходимо сначала выполнить действие в скобках, а затем деление.
1. Выполним сложение в скобках: $52 + 28 = 80$.
2. Разделим полученный результат на $-12$: $80 : (-12) = -\frac{80}{12}$.
3. Сократим полученную дробь, разделив числитель и знаменатель на их наибольший общий делитель, который равен 4: $-\frac{80 \div 4}{12 \div 4} = -\frac{20}{3}$.
4. Преобразуем неправильную дробь в смешанное число: $-\frac{20}{3} = -6\frac{2}{3}$.
Ответ: $-6\frac{2}{3}$

3) Для вычисления значения выражения $-2,5 : (-0,5) - 7$ необходимо сначала выполнить деление, а затем вычитание, согласно порядку выполнения действий.
1. Выполним деление: $-2,5 : (-0,5)$. При делении одного отрицательного числа на другое получается положительное число, поэтому $ -2,5 : (-0,5) = 2,5 : 0,5$. Чтобы выполнить деление на десятичную дробь, можно умножить делимое и делитель на 10: $25 : 5 = 5$.
2. Выполним вычитание: $5 - 7 = -2$.
Ответ: -2