Страница 286 - гдз по математике 6 класс учебник Мерзляк, Полонский

1376. Какие из букв, изображённых на рисунке 258, имеют ось симметрии?

Рис. 258

А Б В Г Д И Е Т

Ось симметрии фигуры — это прямая линия, которая делит фигуру на две части, являющиеся зеркальным отражением друг друга. Если мысленно сложить фигуру по этой линии, то обе её половины полностью совпадут. Проанализируем каждую из букв, представленных на рисунке, на наличие такой оси.

• Буква А имеет одну вертикальную ось симметрии. Эта ось проходит через вершину буквы и середину её основания.
• Буква Б не имеет оси симметрии. Никакая прямая не разделит её на две зеркально равные части.
• Буква В имеет одну горизонтальную ось симметрии. Эта ось проходит горизонтально через центр буквы, разделяя её на одинаковые верхнюю и нижнюю части.
• Буква Г не имеет оси симметрии.
• Буква Д в данном начертании имеет одну вертикальную ось симметрии. Ось проходит через верхний угол и середину нижнего основания.
• Буква И не имеет оси симметрии. У этой буквы есть центр симметрии (при повороте на $180^\circ$ она совпадает сама с собой), но не ось.
• Буква Е имеет одну горизонтальную ось симметрии, которая совпадает с её средней горизонтальной линией.
• Буква Т имеет одну вертикальную ось симметрии, которая делит пополам её верхнюю горизонтальную линию и совпадает с её вертикальной частью.

Таким образом, из всех представленных букв ось симметрии имеют буквы А, В, Д, Е и Т.

Ответ: А, В, Д, Е, Т.

1377. Сколько осей симметрии имеет многоугольник, изображённый на рисунке 259?

Рис. 259

а

б

в

а)

Многоугольник на рисунке а является ромбом. Осью симметрии фигуры называется прямая, которая делит фигуру на две равные части, симметричные относительно этой прямой. У данного ромба есть две оси симметрии:
1. Вертикальная ось, проходящая через верхнюю и нижнюю вершины (совпадает с одной из диагоналей).
2. Горизонтальная ось, проходящая через левую и правую вершины (совпадает с другой диагональю).
Таким образом, у фигуры 2 оси симметрии.

Ответ: 2.

б)

Многоугольник на рисунке б является правильным пятиугольником. У правильного многоугольника с $n$ сторонами (правильного $n$-угольника) количество осей симметрии равно $n$. В данном случае $n=5$. Каждая ось симметрии проходит через вершину и середину противоположной стороны. Поскольку у пятиугольника 5 вершин, у него 5 осей симметрии.

Ответ: 5.

в)

Многоугольник на рисунке в является правильным шестиугольником. Для правильного $n$-угольника число осей симметрии равно $n$. В данном случае $n=6$. У правильного шестиугольника оси симметрии бывают двух видов:
1. 3 оси, проходящие через противоположные вершины.
2. 3 оси, проходящие через середины противоположных сторон.
Всего получается $3 + 3 = 6$ осей симметрии.

Ответ: 6.

1378. На рисунке 260 отмечены точки $A, B, C, D, E$ и $F$. С помощью линейки определите, симметричны ли точки:

1) $A$ и $E$ относительно точки $C$;

2) $B$ и $D$ относительно точки $C$;

3) $C$ и $F$ относительно точки $E$;

4) $A$ и $F$ относительно точки $E$.

Рис. 260

Для определения симметричности точек относительно центра симметрии необходимо проверить выполнение двух условий:
1. Три точки (две исходные и центр симметрии) должны лежать на одной прямой.
2. Расстояния от каждой из двух исходных точек до центра симметрии должны быть равны.
Проверим эти условия для каждого случая с помощью визуального анализа и измерений по рисунку.

Точки A и E будут симметричны относительно точки C, если точка C является серединой отрезка AE. Это означает, что точки A, C, E должны лежать на одной прямой и должно выполняться равенство расстояний $|AC| = |CE|$.
Приложив линейку к точкам A и E, можно увидеть, что точка C не лежит на полученном отрезке. Так как первое условие (коллинеарность) не выполняется, точки не являются симметричными.
Ответ: нет.

Точки B и D будут симметричны относительно точки C, если точка C является серединой отрезка BD. Для этого необходимо, чтобы точки B, C, D лежали на одной прямой и выполнялось равенство $|BC| = |DC|$.
Измерив расстояния с помощью линейки, можно увидеть, что отрезок BC значительно длиннее отрезка DC. Так как условие равенства расстояний не выполняется, точки B и D не симметричны относительно точки C.
Ответ: нет.

Точки C и F будут симметричны относительно точки E, если точка E является серединой отрезка CF. Это означает, что точки C, E, F должны лежать на одной прямой и должно выполняться равенство $|CE| = |FE|$.
Проведя прямую через точки C и F, можно заметить, что точка E не лежит на этой прямой. Кроме того, измерение показывает, что расстояние $|CE|$ больше расстояния $|FE|$. Точки не симметричны.
Ответ: нет.

Точки A и F будут симметричны относительно точки E, если точка E является серединой отрезка AF. Для этого необходимо, чтобы точки A, E, F лежали на одной прямой и выполнялось равенство $|AE| = |FE|$.
Измерив расстояния линейкой, можно увидеть, что отрезок AE значительно длиннее отрезка FE. Так как условие равенства расстояний $|AE| = |FE|$ не выполняется, точки A и F не симметричны относительно точки E.
Ответ: нет.

1379.Перечертите рисунок 261 в тетрадь и постройте точку, симметричную точке:

1) $A$ относительно точки $B$;

2) $K$ относительно точки $B$;

3) $B$ относительно точки $K$;

4) $M$ относительно точки $B$;

5) $M$ относительно точки $K$;

6) $A$ относительно точки $K$.

Рис. 261

Для решения задачи введем систему координат. Примем левый нижний узел сетки за начало координат (0, 0), а сторону одной клетки за единичный отрезок. В этой системе координат данные точки имеют следующие координаты:

• A(1, 1)
• B(3, 3)
• K(4, 2)
• M(4, 5)

Точка $P'(x', y')$ называется симметричной точке $P(x, y)$ относительно центра симметрии $C(x_c, y_c)$, если точка $C$ является серединой отрезка $PP'$. Координаты симметричной точки $P'$ можно найти, используя формулы координат середины отрезка:

$x_c = \frac{x + x'}{2} \implies x' = 2x_c - x$

$y_c = \frac{y + y'}{2} \implies y' = 2y_c - y$

Применим эти формулы для каждого случая.

1) A относительно точки B;
Нужно построить точку $A'$, симметричную точке $A(1, 1)$ относительно точки $B(3, 3)$.
Координаты точки $A'$ будут:
$x_{A'} = 2x_B - x_A = 2 \cdot 3 - 1 = 6 - 1 = 5$
$y_{A'} = 2y_B - y_A = 2 \cdot 3 - 1 = 6 - 1 = 5$
Следовательно, искомая точка $A'$ имеет координаты (5, 5).
Ответ: Точка с координатами (5, 5).

2) K относительно точки B;
Нужно построить точку $K'$, симметричную точке $K(4, 2)$ относительно точки $B(3, 3)$.
Координаты точки $K'$ будут:
$x_{K'} = 2x_B - x_K = 2 \cdot 3 - 4 = 6 - 4 = 2$
$y_{K'} = 2y_B - y_K = 2 \cdot 3 - 2 = 6 - 2 = 4$
Следовательно, искомая точка $K'$ имеет координаты (2, 4).
Ответ: Точка с координатами (2, 4).

3) B относительно точки K;
Нужно построить точку $B'$, симметричную точке $B(3, 3)$ относительно точки $K(4, 2)$.
Координаты точки $B'$ будут:
$x_{B'} = 2x_K - x_B = 2 \cdot 4 - 3 = 8 - 3 = 5$
$y_{B'} = 2y_K - y_B = 2 \cdot 2 - 3 = 4 - 3 = 1$
Следовательно, искомая точка $B'$ имеет координаты (5, 1).
Ответ: Точка с координатами (5, 1).

4) M относительно точки B;
Нужно построить точку $M'$, симметричную точке $M(4, 5)$ относительно точки $B(3, 3)$.
Координаты точки $M'$ будут:
$x_{M'} = 2x_B - x_M = 2 \cdot 3 - 4 = 6 - 4 = 2$
$y_{M'} = 2y_B - y_M = 2 \cdot 3 - 5 = 6 - 5 = 1$
Следовательно, искомая точка $M'$ имеет координаты (2, 1).
Ответ: Точка с координатами (2, 1).

5) M относительно точки K;
Нужно построить точку $M''$, симметричную точке $M(4, 5)$ относительно точки $K(4, 2)$.
Координаты точки $M''$ будут:
$x_{M''} = 2x_K - x_M = 2 \cdot 4 - 4 = 8 - 4 = 4$
$y_{M''} = 2y_K - y_M = 2 \cdot 2 - 5 = 4 - 5 = -1$
Следовательно, искомая точка $M''$ имеет координаты (4, -1).
Ответ: Точка с координатами (4, -1).

6) A относительно точки K.
Нужно построить точку $A''$, симметричную точке $A(1, 1)$ относительно точки $K(4, 2)$.
Координаты точки $A''$ будут:
$x_{A''} = 2x_K - x_A = 2 \cdot 4 - 1 = 8 - 1 = 7$
$y_{A''} = 2y_K - y_A = 2 \cdot 2 - 1 = 4 - 1 = 3$
Следовательно, искомая точка $A''$ имеет координаты (7, 3).
Ответ: Точка с координатами (7, 3).

1380. Начертите координатную прямую и отметьте на ней точки $M (4)$ и $K (-3)$. Постройте точки, симметричные точкам $M$ и $K$ относительно начала отсчёта. Определите координаты полученных точек.

Для решения задачи сначала начертим координатную прямую. Это прямая линия с отмеченным на ней началом отсчёта (точка О с координатой 0), единичным отрезком и положительным направлением (обычно вправо).

Отметим на этой прямой точку $M$ с координатой $4$. Для этого от начала отсчёта отложим 4 единичных отрезка в положительном направлении (вправо).

Затем отметим точку $K$ с координатой $-3$. Для этого от начала отсчёта отложим 3 единичных отрезка в отрицательном направлении (влево).

Визуально это будет выглядеть так (где $M'$ и $K'$ - искомые симметричные точки):

Построение точки, симметричной точке M относительно начала отсчёта

Точка, симметричная данной точке относительно начала отсчёта, находится на таком же расстоянии от нуля, но с противоположной стороны. Расстояние от точки $M(4)$ до начала отсчёта равно $|4| = 4$. Следовательно, симметричная ей точка $M'$ также должна находиться на расстоянии 4 от нуля, но в отрицательном направлении. Координата этой точки будет $-4$. Обозначим её $M'(-4)$.

Построение точки, симметричной точке K относительно начала отсчёта

Аналогично, найдём точку, симметричную точке $K(-3)$. Расстояние от точки $K(-3)$ до начала отсчёта равно $|-3| = 3$. Симметричная ей точка $K'$ должна находиться на расстоянии 3 от нуля, но в положительном направлении. Координата этой точки будет $3$. Обозначим её $K'(3)$.

Таким образом, мы получили две новые точки: $M'(-4)$ и $K'(3)$.

Ответ: Координата точки, симметричной точке М, равна -4. Координата точки, симметричной точке К, равна 3.

1381. Начертите координатную прямую и отметьте на ней точки $A (5)$, $B (1)$ и $C (-2)$. Постройте точку, симметричную точке:

1) A относительно точки B;

2) C относительно точки B;

3) B относительно точки C;

4) B относительно точки A.

Определите координаты полученных точек.

Для решения задачи воспользуемся правилом нахождения координаты точки, симметричной другой точке относительно третьей. Если точка $M(x_M)$ является центром симметрии для точек $P(x_P)$ и $P'(x_{P'})$, то $M$ — середина отрезка $PP'$. Координата середины отрезка равна полусумме координат его концов:

$x_M = \frac{x_P + x_{P'}}{2}$

Из этой формулы можно выразить координату искомой симметричной точки $P'$:

$2 \cdot x_M = x_P + x_{P'}$

$x_{P'} = 2 \cdot x_M - x_P$

Нам даны точки $A(5)$, $B(1)$ и $C(-2)$.

1) A относительно точки B

Нужно найти координату точки $A'$, симметричной точке $A(5)$ относительно точки $B(1)$. В этом случае точка $B$ является центром симметрии.

Используем формулу $x_{A'} = 2 \cdot x_B - x_A$.

Подставим координаты точек $A$ и $B$:

$x_{A'} = 2 \cdot 1 - 5 = 2 - 5 = -3$

Ответ: -3.

2) C относительно точки B

Нужно найти координату точки $C'$, симметричной точке $C(-2)$ относительно точки $B(1)$. Точка $B$ снова является центром симметрии.

Используем формулу $x_{C'} = 2 \cdot x_B - x_C$.

Подставим координаты точек $C$ и $B$:

$x_{C'} = 2 \cdot 1 - (-2) = 2 + 2 = 4$

Ответ: 4.

3) B относительно точки C

Нужно найти координату точки $B'$, симметричной точке $B(1)$ относительно точки $C(-2)$. Теперь центром симметрии является точка $C$.

Используем формулу $x_{B'} = 2 \cdot x_C - x_B$.

Подставим координаты точек $B$ и $C$:

$x_{B'} = 2 \cdot (-2) - 1 = -4 - 1 = -5$

Ответ: -5.

4) B относительно точки A

Нужно найти координату точки $B''$, симметричной точке $B(1)$ относительно точки $A(5)$. Центром симметрии является точка $A$.

Используем формулу $x_{B''} = 2 \cdot x_A - x_B$.

Подставим координаты точек $B$ и $A$:

$x_{B''} = 2 \cdot 5 - 1 = 10 - 1 = 9$

Ответ: 9.