Страница 284 - гдз по математике 6 класс учебник Мерзляк, Полонский

1. На координатной прямой (рис. 253) отметили числа a, b и с. Каким числом, положительным или отрицательным, является разность чисел:

1) a и b

2) a и c

3) b и c

4) a и 1

5) c и -1

Рис. 253

Для определения знака разности двух чисел, $x - y$, необходимо сравнить их положение на координатной прямой. Если число $x$ находится правее числа $y$, то $x > y$ и разность $x - y$ будет положительной. Если число $x$ находится левее числа $y$, то $x < y$ и разность $x - y$ будет отрицательной.

Из рисунка 253 видно, что числа на координатной прямой расположены в следующем порядке: $ -1 < a < 0 < 1 < c < b $.

1) a и b

Определим знак разности $ a - b $. На координатной прямой точка $ a $ расположена левее точки $ b $, следовательно, $ a < b $. Так как уменьшаемое меньше вычитаемого, разность будет отрицательной.

Ответ: отрицательным.

2) a и c

Определим знак разности $ a - c $. На координатной прямой точка $ a $ расположена левее точки $ c $, следовательно, $ a < c $. Разность $ a - c $ является отрицательным числом.

Ответ: отрицательным.

3) b и c

Определим знак разности $ b - c $. На координатной прямой точка $ b $ расположена правее точки $ c $, следовательно, $ b > c $. Так как уменьшаемое больше вычитаемого, разность будет положительной.

Ответ: положительным.

4) a и 1

Определим знак разности $ a - 1 $. На координатной прямой точка $ a $ (отрицательное число) расположена левее точки $ 1 $ (положительное число), следовательно, $ a < 1 $. Разность $ a - 1 $ является отрицательным числом.

Ответ: отрицательным.

5) c и -1

Определим знак разности $ c - (-1) $. На координатной прямой точка $ c $ (положительное число, большее 1) расположена правее точки $ -1 $, следовательно, $ c > -1 $. Разность $ c - (-1) = c + 1 $ будет положительной.

Ответ: положительным.

2. Решите уравнение:

1) $-3x + 0,8 = -0,7$;

2) $11 - 5y = 15$;

3) $-0,9 \cdot |x| = -0,18$.

1) $-3x + 0,8 = -0,7$

Это линейное уравнение. Для его решения необходимо изолировать переменную $x$.

Сначала перенесем число $0,8$ из левой части уравнения в правую, изменив при этом его знак на противоположный:

$-3x = -0,7 - 0,8$

Выполним вычитание в правой части уравнения:

$-3x = -1,5$

Теперь, чтобы найти $x$, разделим обе части уравнения на коэффициент при $x$, то есть на $-3$:

$x = \frac{-1,5}{-3}$

В результате деления двух отрицательных чисел получится положительное число:

$x = 0,5$

Ответ: $0,5$

2) $11 - 5y = 15$

Это также линейное уравнение. Сначала изолируем слагаемое, содержащее переменную $y$. Для этого перенесем число $11$ из левой части в правую со сменой знака:

$-5y = 15 - 11$

Вычислим значение в правой части:

$-5y = 4$

Теперь разделим обе части уравнения на коэффициент при $y$, то есть на $-5$:

$y = \frac{4}{-5}$

Представим полученную дробь в виде десятичной дроби:

$y = -0,8$

Ответ: $-0,8$

3) $-0,9 \cdot |x| = -0,18$

Это уравнение содержит переменную под знаком модуля. Сначала найдем, чему равен $|x|$. Для этого разделим обе части уравнения на $-0,9$:

$|x| = \frac{-0,18}{-0,9}$

Выполним деление в правой части:

$|x| = 0,2$

Уравнение вида $|x| = a$, где $a > 0$, имеет два корня: $x = a$ и $x = -a$. В нашем случае $a = 0,2$.

Следовательно, уравнение имеет два решения:

$x_1 = 0,2$ и $x_2 = -0,2$

Ответ: $0,2; -0,2$

3. При каких целых положительных значениях $y$ верно неравенство $-0.7y > -3$?

Для того чтобы найти, при каких целых положительных значениях y верно неравенство, необходимо его решить, а затем выбрать из полученного множества решений только те, которые удовлетворяют заданным условиям.

Начнем с решения неравенства:
$-0,7y > -3$

Чтобы найти y, разделим обе части неравенства на коэффициент при y, то есть на $-0,7$. Важно помнить, что при умножении или делении обеих частей неравенства на отрицательное число, знак неравенства необходимо изменить на противоположный (в данном случае знак > меняется на <).
$y < \frac{-3}{-0,7}$

Теперь упростим правую часть выражения:
$y < \frac{3}{0,7}$

Для удобства вычислений представим десятичную дробь $0,7$ в виде обыкновенной дроби $\frac{7}{10}$:
$y < \frac{3}{\frac{7}{10}}$

Разделить число на дробь — это то же самое, что умножить это число на дробь, обратную делителю:
$y < 3 \cdot \frac{10}{7}$
$y < \frac{30}{7}$

Чтобы лучше понять, какие целые числа удовлетворяют этому условию, преобразуем неправильную дробь в смешанное число:
$\frac{30}{7} = 4 \frac{2}{7}$

Таким образом, решением неравенства является промежуток $y < 4 \frac{2}{7}$.

По условию задачи, нам нужно найти только целые положительные значения y. Положительными целыми числами являются 1, 2, 3, 4, 5, ...

Выберем из этого ряда те числа, которые меньше, чем $4 \frac{2}{7}$.
Такими числами являются 1, 2, 3 и 4.

Ответ: 1, 2, 3, 4.

4. Чему равна сумма всех целых чисел, расположенных на координатной прямой между числами $-72$ и $70$?

Нам нужно найти сумму всех целых чисел, которые больше -72 и меньше 70.

Первое целое число, которое больше -72, это -71. Последнее целое число, которое меньше 70, это 69. Следовательно, нам нужно найти сумму всех целых чисел от -71 до 69 включительно.

Запишем эту сумму: $S = (-71) + (-70) + (-69) + \dots + (-1) + 0 + 1 + \dots + 68 + 69$

В этом ряду чисел можно заметить, что для каждого положительного числа от 1 до 69 есть соответствующее ему отрицательное число. Сумма каждой такой пары противоположных чисел равна нулю: $(-1) + 1 = 0$ $(-2) + 2 = 0$ ... $(-69) + 69 = 0$

Таким образом, сумма всех целых чисел от -69 до 69 равна нулю: $(-69) + (-68) + \dots + 68 + 69 = 0$

Тогда исходная сумма упрощается, и в ней остаются только те слагаемые, у которых не нашлось пары: -71 и -70. $S = (-71) + (-70) + ((-69) + \dots + 69)$ $S = (-71) + (-70) + 0$ $S = -71 - 70 = -141$

Ответ: -141

1370. Прямая $l$ проходит через середину отрезка $AB$. Обязательно ли точки $A$ и $B$ симметричны относительно прямой $l$?

По определению, две точки A и B называются симметричными относительно прямой l, если эта прямая является серединным перпендикуляром к отрезку AB. Это означает, что для симметрии должны одновременно выполняться два условия:

1. Прямая l проходит через середину отрезка AB.
2. Прямая l перпендикулярна отрезку AB (то есть $l \perp AB$).

В условии задачи сказано только, что прямая l проходит через середину отрезка AB. Это гарантирует выполнение только первого условия. Второе условие (перпендикулярность) может не выполняться.

Например, если прямая l проходит через середину отрезка AB, но не под прямым углом к нему, то точки A и B не будут симметричны относительно этой прямой. Простейший контрпример — когда прямая l совпадает с прямой, содержащей отрезок AB. Она проходит через его середину, но не является его серединным перпендикуляром.

Таким образом, одного лишь факта прохождения прямой через середину отрезка недостаточно для того, чтобы точки, являющиеся концами этого отрезка, были симметричны относительно данной прямой.

Ответ: Нет, не обязательно. Для того чтобы точки A и B были симметричны относительно прямой l, эта прямая должна быть не просто проходящей через середину отрезка AB, а быть его серединным перпендикуляром.

1371. Определите на глаз, а затем проверьте, используя линейку и угольник, симметричны ли относительно прямой $l$ (рис. 254) точки:

1) A и B;

2) M и K;

3) E и F;

4) C и D.

Рис. 254

Две точки называются симметричными относительно прямой (оси симметрии), если эта прямая перпендикулярна отрезку, соединяющему эти точки, и проходит через его середину.

1) A и B
Визуально кажется, что точки A и B могут быть симметричны. Для проверки соединим точки отрезком AB. С помощью угольника проверим, будет ли отрезок AB перпендикулярен прямой $l$. Приложим один катет угольника к прямой $l$ и заметим, что отрезок AB не лежит на втором катете. Следовательно, отрезок AB не перпендикулярен прямой $l$, а значит, точки A и B не симметричны.
Ответ: точки A и B не симметричны.

2) M и K
Визуально кажется, что точки M и K симметричны. Проверим это. Соединим точки отрезком MK. С помощью угольника убедимся, что отрезок MK перпендикулярен прямой $l$. Затем с помощью линейки измерим расстояние от точки M до точки пересечения отрезка MK с прямой $l$ и расстояние от точки K до этой же точки. Расстояния оказываются равными. Оба условия симметрии выполняются.
Ответ: точки M и K симметричны.

3) E и F
Визуально видно, что отрезок, соединяющий точки E и F, не перпендикулярен прямой $l$. Проверка с помощью угольника подтверждает, что угол между отрезком EF и прямой $l$ не является прямым ($90^\circ$). Следовательно, точки не симметричны.
Ответ: точки E и F не симметричны.

4) C и D
Визуально очевидно, что отрезок CD не перпендикулярен прямой $l$. Проверим с помощью угольника: приложив один катет к прямой $l$, мы видим, что отрезок CD не совпадает с другим катетом. Угол между ними острый, а не прямой. Значит, точки не симметричны.
Ответ: точки C и D не симметричны.

1372. Начертите прямую $m$ и отметьте точки $P$ и $S$ по разные стороны от неё. Постройте точки, симметричные точкам $P$ и $S$ относительно прямой $m$.

Для выполнения этого задания потребуется циркуль и линейка. Построение точек, симметричных данным относительно прямой, основано на определении осевой симметрии: точка $P'$ симметрична точке $P$ относительно прямой $m$, если прямая $m$ является серединным перпендикуляром к отрезку $PP'$.

Построение точки, симметричной точке P

Сначала начертим прямую $m$ и отметим точку $P$ с одной стороны от нее. Чтобы построить симметричную ей точку $P'$, выполним следующие действия:
1. Установим иглу циркуля в точку $P$ и начертим дугу так, чтобы она пересекла прямую $m$ в двух точках. Назовем эти точки $A$ и $B$.
2. Теперь из точек $A$ и $B$ как из центров проведем две дуги одинакового радиуса (можно использовать тот же радиус, что и в шаге 1). Эти дуги должны пересечься с той стороны от прямой $m$, где не лежит точка $P$.
3. Точка пересечения этих двух дуг и есть искомая точка $P'$, симметричная точке $P$ относительно прямой $m$.
Это верно, так как по построению точка $P$ и точка $P'$ равноудалены от точек $A$ и $B$, а значит, обе лежат на серединном перпендикуляре к отрезку $AB$. В то же время, прямая $m$ (содержащая отрезок $AB$) является осью симметрии для отрезка $PP'$-.
Ответ: Точка $P'$, симметричная точке $P$ относительно прямой $m$, построена.

Построение точки, симметричной точке S

Теперь отметим точку $S$ с другой стороны от прямой $m$. Построение симметричной ей точки $S'$ выполняется абсолютно аналогично:
1. Установим иглу циркуля в точку $S$ и начертим дугу, пересекающую прямую $m$ в двух точках. Назовем их $C$ и $D$.
2. Из точек $C$ и $D$ как из центров проведем две дуги одинакового радиуса так, чтобы они пересеклись с той стороны от прямой $m$, где не лежит точка $S$.
3. Точка пересечения этих дуг является искомой точкой $S'$, симметричной точке $S$ относительно прямой $m$.
Поскольку исходная точка $S$ находилась по другую сторону от прямой $m$ относительно точки $P$, построенная точка $S'$ окажется на той же стороне, что и исходная точка $P$.
Ответ: Точка $S'$, симметричная точке $S$ относительно прямой $m$, построена.

1373. Перерисуйте рисунок 255 в тетрадь и постройте отрезки, симметричные отрезкам $AB$ и $CD$ относительно прямой $a$.

Рис. 255

Чтобы построить отрезок, симметричный данному относительно прямой (оси симметрии), необходимо построить точки, симметричные концам этого отрезка, и соединить их. Точка $A'$ называется симметричной точке $A$ относительно прямой $a$, если прямая $a$ является серединным перпендикуляром к отрезку $AA'$. Для построения симметричной точки нужно из исходной точки опустить перпендикуляр на ось симметрии и продлить его на такое же расстояние по другую сторону. Если точка лежит на оси симметрии, она симметрична самой себе.

Для построения отрезка $A'B'$, симметричного отрезку $AB$, находим точки $A'$ и $B'$, симметричные точкам $A$ и $B$ соответственно. Для этого из каждой точки ($A$ и $B$) опускаем перпендикуляр на прямую $a$ и откладываем на его продолжении отрезок такой же длины. Соединив точки $A'$ и $B'$, получаем искомый отрезок $A'B'$.

Для построения отрезка $C'D'$, симметричного отрезку $CD$, выполняем аналогичные действия. Точка $C$ лежит на оси симметрии $a$, поэтому она отображается сама в себя, то есть $C' = C$. Точку $D'$ строим, опустив перпендикуляр из $D$ на прямую $a$ и продлив его на такое же расстояние. Соединяем точки $C'$ (то есть $C$) и $D'$, получая отрезок $C'D'$.

Ответ: Построены отрезки $A'B'$ и $C'D'$, симметричные отрезкам $AB$ и $CD$ относительно прямой $a$.

Построение выполняется по тому же общему правилу. Для отрезка $AB$ находим симметричные точки $A'$ и $B'$, проводя перпендикуляры из $A$ и $B$ к прямой $a$ и продолжая их на равные расстояния за прямую. Соединяем $A'$ и $B'$ и получаем отрезок $A'B'$.

Аналогично строим отрезок $C'D'$. Находим точки $C'$ и $D'$, симметричные точкам $C$ и $D$. В данном случае отрезок $CD$ пересекает ось симметрии $a$. Точка пересечения отрезка $CD$ с прямой $a$ является неподвижной, поэтому симметричный отрезок $C'D'$ также пройдет через эту точку. Соединяем точки $C'$ и $D'$, получая искомый отрезок.

Ответ: Построены отрезки $A'B'$ и $C'D'$, симметричные отрезкам $AB$ и $CD$ относительно прямой $a$.

Ось симметрии $a$ в этом случае — горизонтальная прямая. Перпендикуляры к ней будут вертикальными линиями.

Для построения $A'B'$ из точек $A$ и $B$ проводим вертикальные линии до пересечения с осью $a$ и продлеваем их на такое же расстояние вверх. Получаем точки $A'$ и $B'$. Отрезок $A'B'$ — искомый.

Для построения $C'D'$ из точек $C$ и $D$ проводим вертикальные перпендикуляры к оси $a$. Точка $C$ находится над осью, поэтому ее симметричный образ $C'$ будет под осью на том же расстоянии. Точка $D$ находится под осью, поэтому ее образ $D'$ будет над осью. Соединяем точки $C'$ и $D'$. Так как исходный отрезок $CD$ был перпендикулярен оси симметрии, его симметричный образ $C'D'$ будет лежать на той же прямой.

Ответ: Построены отрезки $A'B'$ и $C'D'$, симметричные отрезкам $AB$ и $CD$ относительно прямой $a$.