Страница 287 - гдз по математике 6 класс учебник Мерзляк, Полонский

1382. Какие из отмеченных точек окружности (рис. 262) образуют пары точек, симметричных относительно её центра $O$?

Рис. 262

Две точки называются симметричными относительно центра окружности (центральная симметрия), если они лежат на одной прямой с центром, на равном расстоянии от него. Для точек, лежащих на окружности, это означает, что они должны быть концами одного и того же диаметра. Диаметр — это отрезок, соединяющий две точки на окружности и проходящий через её центр.

Рассмотрим пары точек, отмеченных на окружности с центром $O$ на рисунке 262:

• Соединим точки $A$ и $E$ отрезком. Видно, что отрезок $AE$ проходит через центр окружности $O$. Следовательно, $AE$ — диаметр, а точки $A$ и $E$ симметричны относительно центра $O$.
• Соединим точки $B$ и $F$ отрезком. Отрезок $BF$ также проходит через центр $O$. Следовательно, $BF$ — диаметр, а точки $B$ и $F$ симметричны относительно центра $O$.
• Остальные точки ($C$ и $D$) не образуют пар, симметричных относительно центра, так как прямые, проведенные из этих точек через центр $O$, не проходят через какие-либо другие отмеченные точки.

Ответ: Пары точек, симметричных относительно центра $O$, образуют точки $A$ и $E$, а также точки $B$ и $F$.

1383.Постройте точки, симметричные точкам $M$, $N$, $K$, $P$ окружности (рис. 263) относительно её центра $O$.

Рис. 263

Для решения этой задачи необходимо использовать определение центральной симметрии. Точка $A'$ называется симметричной точке $A$ относительно центра $O$, если точка $O$ является серединой отрезка $AA'$. Это означает, что точки $A, O, A'$ лежат на одной прямой, и расстояние $AO$ равно расстоянию $OA'$.

В данном случае, точки $M, N, K, P$ лежат на окружности, а центром симметрии является центр этой окружности $O$.

Рассмотрим алгоритм построения на примере точки $M$:

1. Соединяем точку $M$ с центром окружности $O$ при помощи линейки.
2. Продолжаем полученный отрезок $MO$ за точку $O$ до пересечения с окружностью.
3. Точку пересечения обозначаем $M'$. Эта точка и является симметричной точке $M$ относительно центра $O$.

Проверим, почему это так. Отрезок $MOM'$ является диаметром окружности. По определению окружности, все её точки равноудалены от центра, значит, отрезки $OM$ и $OM'$ равны радиусу окружности. Таким образом, $OM = OM'$. Так как точки $M, O, M'$ лежат на одной прямой и точка $O$ делит отрезок $MM'$ пополам, то точка $M'$ симметрична точке $M$ относительно центра $O$.

Построение для остальных точек ($N, K, P$) выполняется абсолютно аналогично:

• Для точки $N$ проводим диаметр $NON'$, и точка $N'$ будет симметрична точке $N$.
• Для точки $K$ проводим диаметр $KOK'$, и точка $K'$ будет симметрична точке $K$.
• Для точки $P$ проводим диаметр $POP'$, и точка $P'$ будет симметрична точке $P$.

Таким образом, для любой точки на окружности симметричная ей точка относительно центра — это диаметрально противоположная точка.

Ответ: Чтобы построить точки, симметричные точкам $M, N, K, P$ относительно центра окружности $O$, необходимо для каждой из этих точек провести прямую через нее и центр $O$. Другая точка пересечения этой прямой с окружностью и будет искомой симметричной точкой. В результате получатся диаметры $MM'$, $NN'$, $KK'$ и $PP'$, где $M', N', K', P'$ — точки, симметричные точкам $M, N, K, P$ соответственно.

1384. Начертите отрезок $BD$ и отметьте точку $A$ вне этого отрезка. Постройте отрезок, симметричный отрезку $BD$ относительно точки $A$. Сравните полученный отрезок и отрезок $BD$.

Построение

Для построения отрезка, симметричного отрезку $BD$ относительно точки $A$, необходимо выполнить следующие шаги:

1. Начертить произвольный отрезок $BD$ и отметить точку $A$, не лежащую на этом отрезке.
2. Провести луч из точки $B$ через точку $A$. На этом луче отложить от точки $A$ отрезок $AB'$, равный отрезку $AB$. Точка $B'$ будет симметрична точке $B$ относительно точки $A$.
3. Провести луч из точки $D$ через точку $A$. На этом луче отложить от точки $A$ отрезок $AD'$, равный отрезку $AD$. Точка $D'$ будет симметрична точке $D$ относительно точки $A$.
4. Соединить точки $B'$ и $D'$. Отрезок $B'D'$ является искомым отрезком, симметричным отрезку $BD$ относительно точки $A$.

Ниже представлен пример такого построения:

Сравнение

Сравним полученный отрезок $B'D'$ с исходным отрезком $BD$. Для этого рассмотрим треугольники $\triangle ABD$ и $\triangle AB'D'$.

По построению, точка $A$ является серединой отрезков $BB'$ и $DD'$, следовательно:

• $AB = AB'$
• $AD = AD'$

Углы $\angle BAD$ и $\angle B'AD'$ являются вертикальными, поэтому они равны: $\angle BAD = \angle B'AD'$.

Следовательно, треугольник $\triangle ABD$ равен треугольнику $\triangle AB'D'$ по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними).

Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих элементов:

1. Стороны $BD$ и $B'D'$ равны, то есть отрезки имеют одинаковую длину: $BD = B'D'$.
2. Углы $\angle ABD$ и $\angle AB'D'$ равны. Эти углы являются накрест лежащими при прямых $BD$ и $B'D'$ и секущей $BB'$. Так как эти углы равны, то прямые, содержащие отрезки, параллельны: $BD \parallel B'D'$.

Таким образом, отрезок, симметричный данному относительно точки, равен ему по длине и параллелен ему.

Ответ: Полученный отрезок равен исходному отрезку $BD$ и параллелен ему.

1385. Перечертите рисунок 264 в тетрадь и постройте треугольник, симметричный треугольнику $ABC$ относительно прямой $l$.

Рис. 264

Для построения треугольника, симметричного треугольнику $ABC$ относительно прямой $l$, необходимо построить точки $A'$, $B'$ и $C'$, симметричные соответственно вершинам $A$, $B$ и $C$ относительно этой прямой. Точка $P'$ называется симметричной точке $P$ относительно прямой $l$, если прямая $l$ является серединным перпендикуляром к отрезку $PP'$. Построение удобно выполнять на клетчатой бумаге, так как это упрощает проведение перпендикуляров и измерение расстояний.

Заметим, что прямая $l$ на рисунке проходит через узлы сетки и имеет угловой коэффициент $-1$ (при движении на одну клетку вправо, прямая опускается на одну клетку вниз). Прямая, перпендикулярная ей, будет иметь угловой коэффициент $1$ и будет проходить по диагоналям клеток в перпендикулярном направлении.

1. Из точки $A$ опускаем перпендикуляр на прямую $l$. Для этого проводим через точку $A$ прямую, идущую по диагоналям клеток в направлении "вниз и влево".

2. Находим точку пересечения этого перпендикуляра с прямой $l$.

3. Измеряем расстояние от точки $A$ до прямой $l$ вдоль этого перпендикуляра. Оно равно полутора диагоналям клетки ($1.5$ диагонали).

4. Откладываем такое же расстояние ($1.5$ диагонали) от прямой $l$ по перпендикуляру в ту же сторону. Полученная точка является искомой точкой $A'$.

1. Из точки $B$ опускаем перпендикуляр на прямую $l$. Эта прямая также пойдет по диагоналям клеток в направлении "вниз и влево".

2. Расстояние от точки $B$ до прямой $l$ вдоль этого перпендикуляра равно двум диагоналям клетки ($2$ диагонали).

3. Откладываем от прямой $l$ расстояние в $2$ диагонали в том же направлении, чтобы найти точку $B'$.

1. Из точки $C$ опускаем перпендикуляр на прямую $l$. В этом случае перпендикуляр пойдет по диагоналям клеток в направлении "вверх и вправо".

2. Расстояние от точки $C$ до прямой $l$ вдоль перпендикуляра равно половине диагонали клетки ($0.5$ диагонали).

3. Откладываем от прямой $l$ расстояние в $0.5$ диагонали в том же направлении, чтобы найти точку $C'$.

Соединяем полученные точки $A'$, $B'$ и $C'$ отрезками. Треугольник $A'B'C'$ является симметричным треугольнику $ABC$ относительно прямой $l$.

На рисунке ниже показан исходный треугольник $ABC$ (черный), прямая симметрии $l$ (красная) и построенный симметричный треугольник $A'B'C'$ (зеленый). Пунктирными линиями показаны перпендикуляры, опущенные из вершин треугольника $ABC$ на прямую $l$.

Ответ: Треугольник $A'B'C'$, построенный согласно описанному выше методу и показанный на рисунке зеленым цветом, является искомым треугольником, симметричным треугольнику $ABC$ относительно прямой $l$.

1386. Перечертите рисунок 265 в тетрадь и постройте треугольник, симметричный треугольнику $ABC$ относительно прямой $l$.

Рис. 265

Для построения треугольника, симметричного треугольнику $ABC$ относительно прямой $l$, необходимо построить точки $A'$, $B'$, $C'$, симметричные вершинам $A$, $B$, $C$ соответственно, и соединить их отрезками.

Точка $X'$ называется симметричной точке $X$ относительно прямой $l$, если прямая $l$ является серединным перпендикуляром к отрезку $XX'$. Это означает, что отрезок $XX'$ перпендикулярен прямой $l$ и делится ею пополам. В случае, когда ось симметрии $l$ является вертикальной линией на клетчатой бумаге, симметричную точку найти очень просто: она будет лежать на той же горизонтали, что и исходная точка, но по другую сторону от оси $l$ и на таком же расстоянии от нее (в клетках).

Выполним построение по шагам для каждой вершины.

Вершина $A$ находится на расстоянии 2 клеток слева от прямой $l$. Чтобы построить симметричную ей точку $A'$, отложим от прямой $l$ 2 клетки вправо по той же горизонтальной линии, на которой лежит точка $A$. Отмечаем полученную точку как $A'$.

Вершина $B$ находится на расстоянии 1 клетки слева от прямой $l$. Для построения симметричной точки $B'$, отложим от прямой $l$ 1 клетку вправо по той же горизонтальной линии. Отмечаем полученную точку как $B'$.

Вершина $C$ находится на расстоянии 1 клетки справа от прямой $l$. Для построения симметричной точки $C'$, отложим от прямой $l$ 1 клетку влево по той же горизонтальной линии. Отмечаем полученную точку как $C'$.

Соединяем полученные точки $A'$, $B'$ и $C'$ отрезками. Полученный треугольник $A'B'C'$ является искомым треугольником, симметричным треугольнику $ABC$ относительно прямой $l$.

Результат построения показан на рисунке ниже (искомый треугольник $A'B'C'$ выделен зеленым цветом):

Ответ: Треугольник $A'B'C'$, симметричный треугольнику $ABC$ относительно прямой $l$, построен.

1387. Сколько осей симметрии имеет фигура, изображённая на рисунке 266?

Рис. 266

а

$4$ оси симметрии

б

$6$ осей симметрии

в

$5$ осей симметрии

Г

$6$ осей симметрии

а) Фигура представляет собой четырёхконечную звезду, вписанную в квадрат. У этой фигуры есть четыре оси симметрии: вертикальная, горизонтальная и две диагональные, проходящие через центр фигуры. Вертикальная и горизонтальная оси проходят через противоположные вершины звезды. Диагональные оси проходят через противоположные внутренние углы звезды.
Ответ: $4$.

б) Данная фигура имеет ту же симметрию, что и правильный шестиугольник. У неё есть 6 осей симметрии. Три оси проходят через противоположные внешние вершины фигуры, и ещё три оси проходят через противоположные внутренние вершины.
Ответ: $6$.

в) Фигура является правильной пятиконечной звездой. У неё 5 осей симметрии. Каждая ось симметрии проходит через одну из вершин звезды и середину противолежащего ей отрезка, соединяющего две другие вершины.
Ответ: $5$.

г) Фигура, напоминающая цветок с шестью лепестками, обладает шестью осями симметрии. Три оси проходят вдоль пар противоположных лепестков, а три другие оси проходят ровно посередине между парами противоположных лепестков.
Ответ: $6$.

1388. Перерисуйте в тетрадь фигуру, изображённую на рисунке 267. Проведите все оси симметрии данной фигуры.

Рис. 267

а

б

а
Ось симметрии — это прямая, при отражении относительно которой фигура переходит сама в себя. Фигура 'а' имеет две оси симметрии. Одна из них — горизонтальная прямая, проходящая через середину фигуры. При отражении относительно этой прямой верхняя часть фигуры совмещается с нижней. Вторая ось — вертикальная прямая, проходящая ровно посередине фигуры. Она делит фигуру на левую и правую части, которые являются зеркальным отражением друг друга. Обе оси симметрии показаны на рисунке красными пунктирными линиями.



Ответ: Фигура 'а' имеет две оси симметрии: одну горизонтальную и одну вертикальную.

б
Фигура 'б', имеющая форму креста, обладает четырьмя осями симметрии. Две из них проходят через центр фигуры параллельно сторонам составляющих ее квадратов: одна горизонтально, другая вертикально. Ещё две оси являются диагональными, они проходят через центр фигуры под углами $45^\circ$ и $135^\circ$ к горизонтали, соединяя противоположные углы фигуры. Все четыре оси симметрии показаны на рисунке красными пунктирными линиями.



Ответ: Фигура 'б' имеет четыре оси симметрии: одну горизонтальную, одну вертикальную и две диагональные.