Страница 290 - гдз по математике 6 класс учебник Мерзляк, Полонский

1402. В лесу растёт 720 деревьев, из которых $\frac{5}{18}$ хвойные. Ели составляют 34 % хвойных деревьев. Сколько елей растёт в лесу?

Для того чтобы найти количество елей в лесу, необходимо сначала определить общее количество хвойных деревьев, а затем вычислить, какую часть от них составляют ели.

1. Найдём общее количество хвойных деревьев.

В лесу всего 720 деревьев. Известно, что хвойные составляют $\frac{5}{18}$ от общего числа. Чтобы найти количество хвойных деревьев, умножим общее число деревьев на эту дробь:

$720 \cdot \frac{5}{18} = \frac{720 \cdot 5}{18}$

Сократим 720 и 18. Так как $720 \div 18 = 40$, получаем:

$40 \cdot 5 = 200$ (хвойных деревьев)

Итак, в лесу растёт 200 хвойных деревьев.

2. Найдём количество елей.

Ели составляют 34% от количества хвойных деревьев. Чтобы найти, сколько это деревьев, нужно найти 34% от 200. Для этого можно 200 умножить на десятичное представление процента ($34\% = 0,34$):

$200 \cdot 0,34 = 68$ (елей)

Другой способ — представить проценты в виде обыкновенной дроби и умножить на неё:

$200 \cdot \frac{34}{100} = \frac{200 \cdot 34}{100} = 2 \cdot 34 = 68$ (елей)

Таким образом, в лесу растёт 68 елей.

Ответ: 68

1403. Укажите трёхзначное число:

1) первая цифра которого 6 и которое делится нацело на 5 и на 9, но не делится нацело на 2;

2) первая цифра которого 5 и которое делится нацело на 2, на 5 и на 9.

1) Обозначим искомое трёхзначное число как $6xy$, где $x$ и $y$ — это цифры десятков и единиц соответственно.

Для решения задачи воспользуемся признаками делимости чисел:

• Число делится на 5, если его последняя цифра 0 или 5.
• Число не делится на 2, если оно нечётное, то есть его последняя цифра 1, 3, 5, 7 или 9.

Из этих двух условий следует, что последняя цифра числа ($y$) может быть только 5.
Теперь число имеет вид $6x5$.

По условию, число должно делиться на 9. Признак делимости на 9 гласит, что сумма цифр числа должна быть кратна 9.
Найдём сумму цифр нашего числа:
$S = 6 + x + 5 = 11 + x$

Нам нужно найти такую цифру $x$ (от 0 до 9), чтобы сумма $(11 + x)$ делилась на 9.
Ближайшее к 11 число, которое делится на 9, — это 18.
$11 + x = 18$
$x = 18 - 11$
$x = 7$

Таким образом, искомое число — 675.
Проверим: первая цифра 6; делится на 5 (оканчивается на 5); не делится на 2 (нечётное); сумма цифр $6+7+5=18$, делится на 9. Все условия выполнены.
Ответ: 675

2) Обозначим искомое трёхзначное число как $5xy$, где $x$ и $y$ — это цифры десятков и единиц соответственно.

Используем признаки делимости:

• Число делится на 2, если его последняя цифра чётная (0, 2, 4, 6, 8).
• Число делится на 5, если его последняя цифра 0 или 5.

Число, которое делится и на 2, и на 5, должно оканчиваться на 0. Следовательно, $y=0$.
Теперь число имеет вид $5x0$.

По условию, это число должно делиться на 9. Значит, сумма его цифр должна быть кратна 9.
Найдём сумму цифр:
$S = 5 + x + 0 = 5 + x$

Нам нужно найти такую цифру $x$ (от 0 до 9), чтобы сумма $(5 + x)$ делилась на 9.
Ближайшее к 5 число, которое делится на 9, — это 9.
$5 + x = 9$
$x = 9 - 5$
$x = 4$

Таким образом, искомое число — 540.
Проверим: первая цифра 5; делится на 2 и на 5 (оканчивается на 0); сумма цифр $5+4+0=9$, делится на 9. Все условия выполнены.
Ответ: 540

1404. Найдите значение выражения:

1) $(6\frac{7}{12} - 3\frac{17}{36}) \cdot 2,5 - 4\frac{1}{3} : 0,65;$

2) $3\frac{3}{4} \cdot 1\frac{1}{5} + (2,55 + 2,7) : (0,1 - \frac{1}{80}).$

1)

Решим выражение по действиям, соблюдая порядок операций: сначала действия в скобках, затем умножение и деление, и в конце вычитание.

1. Выполним вычитание в скобках. Для этого приведем дроби к общему знаменателю 36:
$6\frac{7}{12} - 3\frac{17}{36} = 6\frac{7 \cdot 3}{12 \cdot 3} - 3\frac{17}{36} = 6\frac{21}{36} - 3\frac{17}{36} = (6-3) + (\frac{21-17}{36}) = 3\frac{4}{36}$
Сократим дробную часть:
$3\frac{4}{36} = 3\frac{1}{9}$

2. Теперь выполним умножение. Переведем смешанную дробь и десятичную дробь в неправильные дроби:
$3\frac{1}{9} = \frac{3 \cdot 9 + 1}{9} = \frac{28}{9}$
$2,5 = 2\frac{5}{10} = 2\frac{1}{2} = \frac{5}{2}$
$3\frac{1}{9} \cdot 2,5 = \frac{28}{9} \cdot \frac{5}{2} = \frac{28 \cdot 5}{9 \cdot 2} = \frac{14 \cdot 5}{9} = \frac{70}{9}$

3. Выполним деление. Переведем смешанную дробь и десятичную дробь в неправильные дроби:
$4\frac{1}{3} = \frac{4 \cdot 3 + 1}{3} = \frac{13}{3}$
$0,65 = \frac{65}{100} = \frac{13}{20}$
$4\frac{1}{3} : 0,65 = \frac{13}{3} : \frac{13}{20} = \frac{13}{3} \cdot \frac{20}{13} = \frac{13 \cdot 20}{3 \cdot 13} = \frac{20}{3}$

4. Выполним последнее действие — вычитание результатов второго и третьего действий. Приведем дроби к общему знаменателю 9:
$\frac{70}{9} - \frac{20}{3} = \frac{70}{9} - \frac{20 \cdot 3}{3 \cdot 3} = \frac{70}{9} - \frac{60}{9} = \frac{10}{9}$
Выделим целую часть:
$\frac{10}{9} = 1\frac{1}{9}$

Ответ: $1\frac{1}{9}$

2)

Решим выражение по действиям, соблюдая правильный порядок:

1. Сначала выполним действия в скобках. Сложение в первых скобках:
$2,55 + 2,7 = 5,25$

2. Вычитание во вторых скобках. Переведем 0,1 в обыкновенную дробь и приведем к общему знаменателю:
$0,1 - \frac{1}{80} = \frac{1}{10} - \frac{1}{80} = \frac{8}{80} - \frac{1}{80} = \frac{7}{80}$

3. Теперь, согласно порядку действий, выполним умножение и деление.
Выполним умножение:
$3\frac{3}{4} \cdot 1\frac{1}{5} = \frac{15}{4} \cdot \frac{6}{5} = \frac{15 \cdot 6}{4 \cdot 5} = \frac{3 \cdot 3}{2} = \frac{9}{2} = 4,5$

4. Выполним деление результата из действия (1) на результат из действия (2):
$5,25 : \frac{7}{80} = 5\frac{25}{100} : \frac{7}{80} = 5\frac{1}{4} : \frac{7}{80} = \frac{21}{4} \cdot \frac{80}{7} = \frac{21 \cdot 80}{4 \cdot 7} = 3 \cdot 20 = 60$

5. Наконец, сложим результаты действий (3) и (4):
$4,5 + 60 = 64,5$

Ответ: 64,5

1405. На прямой отметили несколько точек. Затем между каждыми двумя соседними точками поставили ещё по точке, и так поступили несколько раз. Докажите, что после каждой такой операции общее количество точек на прямой будет нечётным.

Обозначим количество точек на прямой перед очередной операцией как $N$.

На прямой имеется $N$ точек. Между этими точками существует $N-1$ промежутков между соседними точками.

По условию задачи, в каждый такой промежуток ставится ещё по одной точке. Следовательно, в ходе одной операции добавляется $N-1$ новых точек.

Новое общее количество точек после операции, обозначим его $N'$, будет равно сумме исходного количества точек и количества добавленных точек:
$N' = N + (N-1) = 2N - 1$.

Эта формула показывает, как изменяется количество точек за одну операцию. Проанализируем результат этой формулы с точки зрения чётности. Для любого целого числа $N$ произведение $2N$ является чётным числом. Если из чётного числа вычесть 1, результат всегда будет нечётным числом.

Таким образом, независимо от того, было ли количество точек $N$ до операции чётным или нечётным, после выполнения операции новое количество точек $N'$ всегда будет нечётным.

Пусть $N_0$ — начальное количество точек.
После первой операции количество точек станет $N_1 = 2N_0 - 1$. Это число нечётное.
После второй операции количество точек станет $N_2 = 2N_1 - 1$. Так как $N_1$ — целое число, $N_2$ также будет нечётным числом.
После каждой последующей операции мы будем применять ту же формулу к нечётному числу точек, полученному на предыдущем шаге, и результат снова будет нечётным.

Следовательно, после каждой такой операции общее количество точек на прямой будет нечётным.

Ответ: Если перед операцией было $N$ точек, то после неё станет $N' = N + (N - 1) = 2N - 1$. Поскольку для любого целого $N$ число $2N$ является чётным, то число $2N - 1$ всегда будет нечётным. Таким образом, после первой же операции количество точек становится нечётным и остаётся нечётным после всех последующих операций.