Номер 1405, страница 290 - гдз по математике 6 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 40. Осевая и центральная симметрии. Глава 4. Рациональные числа - номер 1405, страница 290.

Условие.

1405. На прямой отметили несколько точек. Затем между каждыми двумя соседними точками поставили ещё по точке, и так поступили несколько раз. Докажите, что после каждой такой операции общее количество точек на прямой будет нечётным.

Решение.

Решение 2.

Обозначим количество точек на прямой перед очередной операцией как $N$.

На прямой имеется $N$ точек. Между этими точками существует $N-1$ промежутков между соседними точками.

По условию задачи, в каждый такой промежуток ставится ещё по одной точке. Следовательно, в ходе одной операции добавляется $N-1$ новых точек.

Новое общее количество точек после операции, обозначим его $N'$, будет равно сумме исходного количества точек и количества добавленных точек:
$N' = N + (N-1) = 2N - 1$.

Эта формула показывает, как изменяется количество точек за одну операцию. Проанализируем результат этой формулы с точки зрения чётности. Для любого целого числа $N$ произведение $2N$ является чётным числом. Если из чётного числа вычесть 1, результат всегда будет нечётным числом.

Таким образом, независимо от того, было ли количество точек $N$ до операции чётным или нечётным, после выполнения операции новое количество точек $N'$ всегда будет нечётным.

Пусть $N_0$ — начальное количество точек.
После первой операции количество точек станет $N_1 = 2N_0 - 1$. Это число нечётное.
После второй операции количество точек станет $N_2 = 2N_1 - 1$. Так как $N_1$ — целое число, $N_2$ также будет нечётным числом.
После каждой последующей операции мы будем применять ту же формулу к нечётному числу точек, полученному на предыдущем шаге, и результат снова будет нечётным.

Следовательно, после каждой такой операции общее количество точек на прямой будет нечётным.

Ответ: Если перед операцией было $N$ точек, то после неё станет $N' = N + (N - 1) = 2N - 1$. Поскольку для любого целого $N$ число $2N$ является чётным, то число $2N - 1$ всегда будет нечётным. Таким образом, после первой же операции количество точек становится нечётным и остаётся нечётным после всех последующих операций.