Номер 1400, страница 289 - гдз по математике 6 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 40. Осевая и центральная симметрии. Глава 4. Рациональные числа - номер 1400, страница 289.

Условие.

1400. Два мальчика по очереди кладут одинаковые монетки на круглый стол так, чтобы они не накладывались друг на друга. Проигрывает тот, кто не может сделать ход. Кто из двух игроков может обеспечить себе выигрыш и как это сделать?

Решение.

Решение 2.

В этой игре выигрыш может обеспечить себе первый игрок. Для этого он должен использовать стратегию, основанную на симметрии круглого стола.

Выигрышная стратегия для первого игрока:

1. Своим первым ходом первый игрок должен положить монетку точно в центр стола.
2. На каждый последующий ход второго игрока первый игрок должен отвечать, кладя свою монетку на место, которое симметрично месту, куда положил монетку второй игрок, относительно центра стола.

Обоснование стратегии:

Круглый стол является центрально-симметричной фигурой. Когда первый игрок кладет монету в центр, он сохраняет эту симметрию.

После этого, куда бы второй игрок ни положил свою монету (назовем это место $A$), для этой точки всегда будет существовать симметричная ей точка $A'$ относительно центра стола. Поскольку второй игрок смог сделать ход, значит место $A$ было свободно. Место $A'$ также гарантированно будет свободно:

• Оно не может быть занято центральной монетой (так как центр симметричен сам себе).
• Оно не может быть занято одной из предыдущих монет. Если бы на месте $A'$ уже лежала монета второго игрока, то на месте $A$ уже лежала бы ответная монета первого игрока, и второй игрок не смог бы сделать туда ход.

Таким образом, если у второго игрока есть возможность сделать ход, то у первого игрока всегда будет возможность сделать симметричный ответный ход. Поскольку количество монет, которое можно разместить на столе, конечно, игра обязательно закончится. Так как первый игрок всегда может ответить на ход второго, именно второй игрок первым окажется в ситуации, когда не сможет сделать ход.

Ответ: Выигрыш может обеспечить себе первый игрок. Для этого ему нужно первым ходом положить монету в центр стола, а затем класть свои монеты симметрично ходам второго игрока относительно центра стола.