Номер 1397, страница 289 - гдз по математике 6 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 40. Осевая и центральная симметрии. Глава 4. Рациональные числа - номер 1397, страница 289.

Условие.

1397. На рисунке 274 изображены сторона $AB$ и центр симметрии $O$ четырёхугольника $ABCD$. Перечертите рисунок в тетрадь и постройте четырёхугольник $ABCD$.

Рис. 274

Решение.

Решение 2.

Поскольку четырёхугольник $ABCD$ имеет центр симметрии $O$, он является параллелограммом. Центр симметрии параллелограмма — это точка пересечения его диагоналей, которая делит каждую диагональ пополам. Следовательно, точка $O$ является серединой диагоналей $AC$ и $BD$.

Для построения четырёхугольника $ABCD$ необходимо найти недостающие вершины $C$ и $D$. Вершина $C$ будет симметрична вершине $A$ относительно точки $O$, а вершина $D$ будет симметрична вершине $B$ относительно точки $O$.

Построение

1. Построение вершины C.

   Вершина $C$ симметрична вершине $A$ относительно центра $O$. Это означает, что точка $O$ является серединой отрезка $AC$. Чтобы найти точку $C$, нужно из точки $A$ провести луч через точку $O$ и отложить на его продолжении отрезок $OC$, равный отрезку $AO$.
   Для точности воспользуемся координатным методом. Введём систему координат с началом в левом нижнем углу сетки. Тогда координаты заданных точек: $A(1, 1)$, $B(4, 4)$ и $O(4, 2)$.
   Пусть координаты точки $C$ будут $(x_C, y_C)$. Так как $O$ — середина $AC$, то её координаты равны полусуммам соответствующих координат точек $A$ и $C$:
   $x_O = \frac{x_A + x_C}{2} \implies 4 = \frac{1 + x_C}{2} \implies 8 = 1 + x_C \implies x_C = 7$.
   $y_O = \frac{y_A + y_C}{2} \implies 2 = \frac{1 + y_C}{2} \implies 4 = 1 + y_C \implies y_C = 3$.
   Таким образом, вершина $C$ имеет координаты $(7, 3)$.

2. Построение вершины D.

   Аналогично, вершина $D$ симметрична вершине $B$ относительно центра $O$, значит, точка $O$ — середина отрезка $BD$. Проведём луч из точки $B$ через точку $O$ и отложим на его продолжении отрезок $OD$, равный отрезку $BO$.
   Найдём координаты точки $D(x_D, y_D)$:
   $x_O = \frac{x_B + x_D}{2} \implies 4 = \frac{4 + x_D}{2} \implies 8 = 4 + x_D \implies x_D = 4$.
   $y_O = \frac{y_B + y_D}{2} \implies 2 = \frac{4 + y_D}{2} \implies 4 = 4 + y_D \implies y_D = 0$.
   Таким образом, вершина $D$ имеет координаты $(4, 0)$.

3. Завершение построения.

   Соединив последовательно точки $A(1, 1)$, $B(4, 4)$, $C(7, 3)$ и $D(4, 0)$, мы получим искомый четырёхугольник $ABCD$.

Результат построения показан на рисунке ниже:

Ответ: Для построения четырёхугольника $ABCD$ нужно найти точки $C$ и $D$, которые симметричны точкам $A$ и $B$ соответственно относительно центра $O$. Это делается построением отрезков $AC$ и $BD$ так, чтобы точка $O$ была их общей серединой. После нахождения вершин $C$ и $D$ их необходимо последовательно соединить с вершинами $A$ и $B$ для получения искомого четырёхугольника.