Номер 1394, страница 288 - гдз по математике 6 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 40. Осевая и центральная симметрии. Глава 4. Рациональные числа - номер 1394, страница 288.

Условие.

1394. На рисунке 271 изображены сторона $AB$ и ось симметрии $l$ треугольника $ABC$. Перечертите рисунок в тетрадь и постройте треугольник $ABC$. Определите вид треугольника $ABC$.

Рис. 271

Решение.

Решение 2.

Для решения задачи необходимо построить треугольник ABC, симметричный относительно оси l, и определить его вид. Введем систему координат, приняв за начало отсчета левый нижний угол сетки. Тогда точка A имеет координаты (1, 1), точка B – (3, 4), а ось симметрии l является вертикальной прямой, заданной уравнением $x=4$.

Построение треугольника ABC

Если прямая l является осью симметрии треугольника ABC, то треугольник является равнобедренным. Ось симметрии равнобедренного треугольника проходит через одну из его вершин и является серединным перпендикуляром к противолежащей стороне. Это означает, что одна вершина должна лежать на оси симметрии, а две другие должны быть симметричны относительно этой оси.

В условии задачи даны вершины A и B. Ни одна из этих точек не лежит на оси симметрии l (так как их абсциссы не равны 4). Точки A и B также не симметричны относительно оси l, так как они находятся на разном расстоянии от нее. Это указывает на неточность в условии или на рисунке. Наиболее вероятное предположение состоит в том, что одна из данных вершин на самом деле должна лежать на оси симметрии.

Предположим, что вершина B лежит на оси симметрии l. Тогда третья вершина C должна быть симметрична вершине A относительно прямой l.

Найдем координаты точки C, симметричной точке A(1, 1) относительно прямой $x=4$.

1. Ось симметрии l вертикальна, поэтому ордината (координата y) точки C будет такой же, как и у точки A: $y_C = y_A = 1$.
2. Расстояние от точки A до оси l равно $4 - x_A = 4 - 1 = 3$. Точка C должна находиться на таком же расстоянии от оси l, но с другой стороны. Ее абсцисса (координата x) будет равна $x_C = 4 + 3 = 7$.

Таким образом, координаты вершины C – (7, 1). Соединив точки A, B и C, мы получим искомый треугольник ABC. (Для определенности вида треугольника далее будем считать, что вершина B находится на оси симметрии, например в точке B(4, 4), что близко к ее положению на рисунке).

Ответ: Вершина C имеет координаты (7, 1) и является симметричной вершине A относительно оси l. Треугольник ABC построен соединением вершин A(1,1), B и C(7,1), где B - вершина, лежащая на оси симметрии l.

Определение вида треугольника ABC

По построению треугольник ABC является равнобедренным, так как точки A и C симметричны относительно оси l, на которой лежит вершина B. Следовательно, стороны AB и CB равны.

Чтобы определить вид треугольника более точно, найдем длины его сторон, используя координаты вершин: A(1, 1), B(4, 4) и C(7, 1).

Длина стороны AB:

$AB = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2} = \sqrt{(4 - 1)^2 + (4 - 1)^2} = \sqrt{3^2 + 3^2} = \sqrt{9 + 9} = \sqrt{18}$.

Длина стороны BC:

$BC = \sqrt{(x_C - x_B)^2 + (y_C - y_B)^2} = \sqrt{(7 - 4)^2 + (1 - 4)^2} = \sqrt{3^2 + (-3)^2} = \sqrt{9 + 9} = \sqrt{18}$.

Длина стороны AC:

$AC = \sqrt{(x_C - x_A)^2 + (y_C - y_A)^2} = \sqrt{(7 - 1)^2 + (1 - 1)^2} = \sqrt{6^2 + 0^2} = \sqrt{36} = 6$.

Мы видим, что $AB = BC = \sqrt{18}$, что подтверждает, что треугольник равнобедренный.

Проверим, выполняется ли для этого треугольника теорема Пифагора. Возведем длины сторон в квадрат:

$AB^2 = 18$

$BC^2 = 18$

$AC^2 = 36$

Поскольку $AB^2 + BC^2 = 18 + 18 = 36 = AC^2$, по обратной теореме Пифагора треугольник ABC является прямоугольным, с прямым углом при вершине B.

Ответ: Треугольник ABC — равнобедренный и прямоугольный.