Страница 288 - гдз по математике 6 класс учебник Мерзляк, Полонский

1389. Перерисуйте в тетрадь фигуру, изображённую на рисунке 268. Проведите все оси симметрии данной фигуры.

Рис. 268

a

б

Ось симметрии фигуры — это прямая, которая делит фигуру на две равные части, такие, что если перегнуть фигуру по этой прямой, то обе части совпадут.

Для нахождения осей симметрии данной фигуры, рассмотрим возможные варианты.

1. Вертикальная ось симметрии.

Мысленно проведём вертикальную прямую через середину фигуры. Фигура имеет ширину в 8 клеток. Её середина будет проходить точно между 4-й и 5-й колонками клеток (если считать слева). Левая часть фигуры является зеркальным отражением её правой части относительно этой линии. Следовательно, эта вертикальная прямая является осью симметрии.

2. Горизонтальная ось симметрии.

Попробуем провести горизонтальную прямую через середину фигуры. Верхняя часть фигуры не является зеркальным отражением нижней. Например, два верхних квадратика при отражении вниз не совпадут ни с какими другими квадратиками фигуры. Значит, горизонтальной оси симметрии у фигуры нет.

3. Диагональная ось симметрии.

Фигура не имеет диагональной симметрии. При отражении относительно диагональных прямых (проходящих под углом $45^{\circ}$), фигура не совпадёт сама с собой.

Таким образом, данная фигура имеет только одну ось симметрии.

Ниже представлена фигура с проведённой осью симметрии (красная пунктирная линия).

Ответ: Фигура имеет одну ось симметрии — вертикальную прямую, проходящую через её центр.

1390.Перерисуйте в тетрадь рисунок 269 и постройте фигуру, симметричную треугольнику $ABC$ относительно точки $O$.

Рис. 269

а

б

Чтобы построить фигуру, симметричную треугольнику относительно точки, необходимо построить точки, симметричные каждой вершине исходного треугольника относительно этой точки, а затем соединить полученные вершины отрезками.

Точка $A'$ называется симметричной точке $A$ относительно центра симметрии $O$, если точка $O$ является серединой отрезка $AA'$.

Для построения треугольника $A'B'C'$, симметричного треугольнику $ABC$ относительно точки $O$, выполним следующие шаги:

1. Построение точки $A'$: Соединим точки $A$ и $O$ отрезком и продлим его за точку $O$. На этом продолжении отложим отрезок $OA'$, равный отрезку $AO$. На клетчатой бумаге это можно сделать, посчитав смещение: чтобы попасть из точки $A$ в точку $O$, нужно сместиться на 2 клетки вправо и 1 клетку вниз. Чтобы найти точку $A'$, повторим это смещение от точки $O$: 2 клетки вправо и 1 клетку вниз.
2. Построение точки $B'$: Аналогично, чтобы попасть из точки $B$ в точку $O$, нужно сместиться на 4 клетки вправо и 1 клетку вверх. Откладываем такое же смещение от точки $O$ и получаем точку $B'$.
3. Построение точки $C'$: Чтобы попасть из точки $C$ в точку $O$, нужно сместиться на 1 клетку вправо и 2 клетки вверх. Откладываем такое же смещение от точки $O$ и получаем точку $C'$.

Соединяем точки $A'$, $B'$ и $C'$ и получаем искомый треугольник $A'B'C'$.

Ответ:

Построение выполняется аналогично. Для каждой вершины треугольника $ABC$ находим симметричную ей точку относительно центра $O$.

1. Построение точки $A'$: Точка $O$ является серединой отрезка $AC$. По определению центральной симметрии, точка, симметричная $A$ относительно $O$, является точка $C$. Таким образом, $A' = C$.
2. Построение точки $B'$: Соединим $B$ и $O$ и продлим отрезок на его длину. Смещение от точки $B$ до точки $O$ составляет 1 клетку влево и 3 клетки вниз. Чтобы найти точку $B'$, откладываем такое же смещение от точки $O$.
3. Построение точки $C'$: Так как $O$ — середина $AC$, точка, симметричная $C$ относительно $O$, является точка $A$. Таким образом, $C' = A$.

Соединив точки $A'$, $B'$ и $C'$, получаем искомый треугольник $A'B'C'$, который в данном случае является треугольником $CB'A$.

Ответ:

1391. Перечертите рисунок 270 в тетрадь и постройте фигуру, симметричную треугольнику $ABC$: 1) относительно точки $O$; 2) относительно точки $D$.

Рис. 270

Для построения фигуры, симметричной треугольнику $ABC$ относительно некоторой точки (центра симметрии), необходимо найти точки, симметричные каждой из вершин треугольника $A$, $B$ и $C$ относительно этого центра. Затем новые точки соединяются, образуя искомый симметричный треугольник.

Точка $A_1$ называется симметричной точке $A$ относительно центра $O$, если точка $O$ является серединой отрезка $AA_1$.

Для решения задачи введем декартову систему координат. Примем точку $A$ за начало координат, а прямую $AC$ — за ось абсцисс. Пусть сторона одной клетки сетки равна 1. Тогда координаты вершин треугольника и данных точек будут следующими:

• $A(0, 0)$
• $B(5, 3)$
• $C(4, 0)$
• $O(3, 1)$
• $D(5, 1.5)$

Координаты $(x_1, y_1)$ точки, симметричной точке $(x, y)$ относительно центра $(x_c, y_c)$, находятся по формулам центральной симметрии:

$x_1 = 2x_c - x$

$y_1 = 2y_c - y$

Построим треугольник $A_1B_1C_1$, симметричный треугольнику $ABC$ относительно точки $O(3, 1)$. Для этого найдем координаты его вершин $A_1$, $B_1$ и $C_1$.

• Для вершины $A(0, 0)$:

  $x_{A_1} = 2 \cdot 3 - 0 = 6$

  $y_{A_1} = 2 \cdot 1 - 0 = 2$

  Следовательно, координаты точки $A_1$ — $(6, 2)$.

• Для вершины $B(5, 3)$:

  $x_{B_1} = 2 \cdot 3 - 5 = 1$

  $y_{B_1} = 2 \cdot 1 - 3 = -1$

  Следовательно, координаты точки $B_1$ — $(1, -1)$.

• Для вершины $C(4, 0)$:

  $x_{C_1} = 2 \cdot 3 - 4 = 2$

  $y_{C_1} = 2 \cdot 1 - 0 = 2$

  Следовательно, координаты точки $C_1$ — $(2, 2)$.

Соединив точки $A_1(6, 2)$, $B_1(1, -1)$ и $C_1(2, 2)$, получим искомый треугольник $A_1B_1C_1$.

Ответ: Треугольник $A_1B_1C_1$ с вершинами в точках $A_1(6, 2)$, $B_1(1, -1)$ и $C_1(2, 2)$.

Построим треугольник $A_2B_2C_2$, симметричный треугольнику $ABC$ относительно точки $D(5, 1.5)$. Для этого найдем координаты его вершин $A_2$, $B_2$ и $C_2$.

• Для вершины $A(0, 0)$:

  $x_{A_2} = 2 \cdot 5 - 0 = 10$

  $y_{A_2} = 2 \cdot 1.5 - 0 = 3$

  Следовательно, координаты точки $A_2$ — $(10, 3)$.

• Для вершины $B(5, 3)$:

  $x_{B_2} = 2 \cdot 5 - 5 = 5$

  $y_{B_2} = 2 \cdot 1.5 - 3 = 0$

  Следовательно, координаты точки $B_2$ — $(5, 0)$.

• Для вершины $C(4, 0)$:

  $x_{C_2} = 2 \cdot 5 - 4 = 6$

  $y_{C_2} = 2 \cdot 1.5 - 0 = 3$

  Следовательно, координаты точки $C_2$ — $(6, 3)$.

Соединив точки $A_2(10, 3)$, $B_2(5, 0)$ и $C_2(6, 3)$, получим искомый треугольник $A_2B_2C_2$.

Ответ: Треугольник $A_2B_2C_2$ с вершинами в точках $A_2(10, 3)$, $B_2(5, 0)$ и $C_2(6, 3)$.

1392. Начертите треугольник $ABC$. Постройте фигуру, симметричную этому треугольнику относительно точки $C$.

Чтобы построить фигуру, симметричную треугольнику $ \triangle ABC $ относительно точки $C$, необходимо для каждой вершины исходного треугольника ($A$, $B$ и $C$) найти симметричную ей точку ($A'$, $B'$ и $C'$) относительно центра симметрии (точки $C$) и затем соединить полученные точки.

Алгоритм построения:

1. Построение точки, симметричной вершине $A$. Через точки $A$ и $C$ проводим прямую. На этой прямой откладываем от точки $C$ отрезок $CA'$, равный по длине отрезку $AC$, так, чтобы точка $C$ оказалась между точками $A$ и $A'$. Точка $C$ будет являться серединой отрезка $AA'$.

2. Построение точки, симметричной вершине $B$. Аналогично, проводим прямую через точки $B$ и $C$. На этой прямой откладываем от точки $C$ отрезок $CB'$, равный по длине отрезку $BC$, так, чтобы точка $C$ оказалась между точками $B$ и $B'$. Точка $C$ будет являться серединой отрезка $BB'$.

3. Построение точки, симметричной вершине $C$. Точка, симметричная точке $C$ относительно самой себя, есть сама точка $C$. Таким образом, $C' = C$.

4. Построение искомого треугольника. Соединяем полученные точки $A'$, $B'$ и $C$ (которая совпадает с $C'$). Полученный $ \triangle A'B'C $ и есть фигура, симметричная $ \triangle ABC $ относительно точки $C$.

В результате построения получается $ \triangle A'B'C $, который равен исходному $ \triangle ABC $. Четырехугольник $ABA'B'$ является параллелограммом, так как его диагонали $AA'$ и $BB'$ пересекаются в точке $C$ и делятся ею пополам.

Ответ:
Искомая фигура — это $ \triangle A'B'C $, построенный таким образом, что точка $C$ является серединой отрезков $AA'$ и $BB'$, а вершина $C$ у исходного и построенного треугольников общая.

1393. Начертите квадрат $ABCD$. Постройте фигуру, симметричную этому квадрату относительно точки $C$.

Для построения фигуры, симметричной квадрату $ABCD$ относительно точки $C$, необходимо для каждой вершины исходного квадрата ($A$, $B$, $D$) найти симметричную ей точку относительно $C$. Сама точка $C$ при симметрии относительно себя останется на месте.

Центральная симметрия относительно точки $O$ переводит любую точку $M$ в такую точку $M'$, что $O$ является серединой отрезка $MM'$.

Процесс построения будет следующим:

1. Начертим квадрат $ABCD$. Точка $C$ является центром симметрии.
2. Построим точку $A'$, симметричную вершине $A$. Для этого проведем луч из точки $A$ через точку $C$. На этом луче отложим отрезок $CA'$ так, чтобы его длина была равна длине диагонали $AC$. Точка $C$ будет серединой отрезка $AA'$.
3. Построим точку $B'$, симметричную вершине $B$. Для этого продлим сторону $BC$ за точку $C$ и отложим отрезок $CB'$, равный по длине стороне $BC$. Точка $C$ будет серединой отрезка $BB'$.
4. Построим точку $D'$, симметричную вершине $D$. Для этого продлим сторону $DC$ за точку $C$ и отложим отрезок $CD'$, равный по длине стороне $DC$. Точка $C$ будет серединой отрезка $DD'$.
5. Вершина $C$ симметрична сама себе, то есть ее образ совпадает с ней самой ($C' = C$).
6. Последовательно соединим полученные точки: $C$ с $B'$, $B'$ с $A'$, $A'$ с $D'$ и $D'$ с $C$.

Полученная фигура $CB'A'D'$ также является квадратом, равным исходному квадрату $ABCD$. Эти два квадрата имеют общую вершину $C$.

Ответ: Фигура, симметричная квадрату $ABCD$ относительно точки $C$, – это квадрат $CB'A'D'$, построенный на продолжениях сторон $BC$, $DC$ и диагонали $AC$.

1394. На рисунке 271 изображены сторона $AB$ и ось симметрии $l$ треугольника $ABC$. Перечертите рисунок в тетрадь и постройте треугольник $ABC$. Определите вид треугольника $ABC$.

Рис. 271

Для решения задачи необходимо построить треугольник ABC, симметричный относительно оси l, и определить его вид. Введем систему координат, приняв за начало отсчета левый нижний угол сетки. Тогда точка A имеет координаты (1, 1), точка B – (3, 4), а ось симметрии l является вертикальной прямой, заданной уравнением $x=4$.

Построение треугольника ABC

Если прямая l является осью симметрии треугольника ABC, то треугольник является равнобедренным. Ось симметрии равнобедренного треугольника проходит через одну из его вершин и является серединным перпендикуляром к противолежащей стороне. Это означает, что одна вершина должна лежать на оси симметрии, а две другие должны быть симметричны относительно этой оси.

В условии задачи даны вершины A и B. Ни одна из этих точек не лежит на оси симметрии l (так как их абсциссы не равны 4). Точки A и B также не симметричны относительно оси l, так как они находятся на разном расстоянии от нее. Это указывает на неточность в условии или на рисунке. Наиболее вероятное предположение состоит в том, что одна из данных вершин на самом деле должна лежать на оси симметрии.

Предположим, что вершина B лежит на оси симметрии l. Тогда третья вершина C должна быть симметрична вершине A относительно прямой l.

Найдем координаты точки C, симметричной точке A(1, 1) относительно прямой $x=4$.

1. Ось симметрии l вертикальна, поэтому ордината (координата y) точки C будет такой же, как и у точки A: $y_C = y_A = 1$.
2. Расстояние от точки A до оси l равно $4 - x_A = 4 - 1 = 3$. Точка C должна находиться на таком же расстоянии от оси l, но с другой стороны. Ее абсцисса (координата x) будет равна $x_C = 4 + 3 = 7$.

Таким образом, координаты вершины C – (7, 1). Соединив точки A, B и C, мы получим искомый треугольник ABC. (Для определенности вида треугольника далее будем считать, что вершина B находится на оси симметрии, например в точке B(4, 4), что близко к ее положению на рисунке).

Ответ: Вершина C имеет координаты (7, 1) и является симметричной вершине A относительно оси l. Треугольник ABC построен соединением вершин A(1,1), B и C(7,1), где B - вершина, лежащая на оси симметрии l.

Определение вида треугольника ABC

По построению треугольник ABC является равнобедренным, так как точки A и C симметричны относительно оси l, на которой лежит вершина B. Следовательно, стороны AB и CB равны.

Чтобы определить вид треугольника более точно, найдем длины его сторон, используя координаты вершин: A(1, 1), B(4, 4) и C(7, 1).

Длина стороны AB:

$AB = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2} = \sqrt{(4 - 1)^2 + (4 - 1)^2} = \sqrt{3^2 + 3^2} = \sqrt{9 + 9} = \sqrt{18}$.

Длина стороны BC:

$BC = \sqrt{(x_C - x_B)^2 + (y_C - y_B)^2} = \sqrt{(7 - 4)^2 + (1 - 4)^2} = \sqrt{3^2 + (-3)^2} = \sqrt{9 + 9} = \sqrt{18}$.

Длина стороны AC:

$AC = \sqrt{(x_C - x_A)^2 + (y_C - y_A)^2} = \sqrt{(7 - 1)^2 + (1 - 1)^2} = \sqrt{6^2 + 0^2} = \sqrt{36} = 6$.

Мы видим, что $AB = BC = \sqrt{18}$, что подтверждает, что треугольник равнобедренный.

Проверим, выполняется ли для этого треугольника теорема Пифагора. Возведем длины сторон в квадрат:

$AB^2 = 18$

$BC^2 = 18$

$AC^2 = 36$

Поскольку $AB^2 + BC^2 = 18 + 18 = 36 = AC^2$, по обратной теореме Пифагора треугольник ABC является прямоугольным, с прямым углом при вершине B.

Ответ: Треугольник ABC — равнобедренный и прямоугольный.

1395. На рисунке 272 изображены сторо- на $AB$ и ось симметрии $l$ четырёх-угольника $ABCD$. Перечертите рисунок в тетрадь и постройте четырёхугольник $ABCD$.

Рис. 272

По условию задачи, прямая $l$ является осью симметрии четырёхугольника ABCD. Это означает, что если вершины четырёхугольника не лежат на оси симметрии, они должны образовывать пары точек, симметричных относительно этой оси. Вершины A и B находятся по одну сторону от оси $l$, следовательно, две другие вершины, C и D, должны быть их симметричными отражениями.

Поскольку вершины в названии четырёхугольника ABCD перечисляются последовательно, то после A идёт B, затем C и D. Это значит, что вершина C симметрична вершине B, а вершина D симметрична вершине A относительно оси $l$.

Построение

1. Сначала определим положение данных точек A и B относительно оси симметрии $l$. Глядя на рисунок, видим, что точка A находится на расстоянии 3 клеток вправо от оси $l$. Точка B находится на расстоянии 2 клеток вправо от оси $l$.
2. Чтобы найти точку D, симметричную точке A, необходимо построить точку на том же уровне (на той же горизонтальной линии), но по другую сторону от оси $l$ и на таком же расстоянии от неё. Откладываем 3 клетки влево от оси $l$ на той же горизонтали, что и точка A, и отмечаем точку D.
3. Аналогично находим точку C, симметричную точке B. Точка B находится на расстоянии 2 клеток вправо от оси $l$. Следовательно, точка C будет находиться на расстоянии 2 клеток влево от оси $l$ на той же горизонтали, что и точка B. Отмечаем точку C.
4. Последовательно соединяем отрезками точки в порядке A, B, C, D, а затем D с A. Полученный четырёхугольник ABCD является искомым.

В результате построения мы получаем равнобокую трапецию, у которой основания BC и AD параллельны друг другу (так как они оба перпендикулярны оси симметрии $l$), а боковые стороны AB и CD равны по длине, так как являются симметричными отрезками.

Ответ: Искомый четырёхугольник ABCD — это равнобокая трапеция. Для его построения нужно найти вершины D и C, симметричные соответственно вершинам A и B относительно оси $l$. Точка D расположена на 3 клетки левее оси $l$ на той же высоте, что и точка A. Точка C расположена на 2 клетки левее оси $l$ на той же высоте, что и точка B.