Страница 289 - гдз по математике 6 класс учебник Мерзляк, Полонский

1396. На рисунке 273 изображены стороны $AB$ и $BC$ и ось симметрии $l$ шестиугольника $ABCDEF$. Перерисуйте рисунок в тетрадь и постройте шестиугольник $ABCDEF$.

Рис. 273

Для построения шестиугольника ABCDEF, симметричного относительно оси l, необходимо найти недостающие вершины D, E, и F. Исходя из условия симметрии и названия вершин, можно заключить, что вершина D симметрична вершине C, вершина E симметрична вершине B, а вершина F симметрична вершине A относительно оси l.

Построение симметричной точки заключается в том, чтобы отложить от оси симметрии такое же расстояние, на котором находится исходная точка, но в противоположном направлении по перпендикуляру к оси.

Выполним построение по шагам:

1. Построение вершины D. Точка C находится на расстоянии 1 клетки над осью l. Следовательно, симметричная ей точка D будет находиться на расстоянии 1 клетки под осью l на той же вертикальной линии.

2. Построение вершины E. Точка B находится на расстоянии 3 клеток над осью l. Симметричная ей точка E будет находиться на расстоянии 3 клеток под осью l на той же вертикальной линии.

3. Построение вершины F. Точка A находится на расстоянии 1 клетки над осью l. Симметричная ей точка F будет находиться на расстоянии 1 клетки под осью l на той же вертикальной линии.

4. Завершение построения. Последовательно соединяем все шесть вершин отрезками: A → B → C → D → E → F → A. Полученная замкнутая ломаная и является искомым шестиугольником ABCDEF.

Ответ:

Построенный шестиугольник ABCDEF изображен на рисунке ниже.

1397. На рисунке 274 изображены сторона $AB$ и центр симметрии $O$ четырёхугольника $ABCD$. Перечертите рисунок в тетрадь и постройте четырёхугольник $ABCD$.

Рис. 274

Поскольку четырёхугольник $ABCD$ имеет центр симметрии $O$, он является параллелограммом. Центр симметрии параллелограмма — это точка пересечения его диагоналей, которая делит каждую диагональ пополам. Следовательно, точка $O$ является серединой диагоналей $AC$ и $BD$.

Для построения четырёхугольника $ABCD$ необходимо найти недостающие вершины $C$ и $D$. Вершина $C$ будет симметрична вершине $A$ относительно точки $O$, а вершина $D$ будет симметрична вершине $B$ относительно точки $O$.

1. Построение вершины C.

   Вершина $C$ симметрична вершине $A$ относительно центра $O$. Это означает, что точка $O$ является серединой отрезка $AC$. Чтобы найти точку $C$, нужно из точки $A$ провести луч через точку $O$ и отложить на его продолжении отрезок $OC$, равный отрезку $AO$.
   Для точности воспользуемся координатным методом. Введём систему координат с началом в левом нижнем углу сетки. Тогда координаты заданных точек: $A(1, 1)$, $B(4, 4)$ и $O(4, 2)$.
   Пусть координаты точки $C$ будут $(x_C, y_C)$. Так как $O$ — середина $AC$, то её координаты равны полусуммам соответствующих координат точек $A$ и $C$:
   $x_O = \frac{x_A + x_C}{2} \implies 4 = \frac{1 + x_C}{2} \implies 8 = 1 + x_C \implies x_C = 7$.
   $y_O = \frac{y_A + y_C}{2} \implies 2 = \frac{1 + y_C}{2} \implies 4 = 1 + y_C \implies y_C = 3$.
   Таким образом, вершина $C$ имеет координаты $(7, 3)$.

2. Построение вершины D.

   Аналогично, вершина $D$ симметрична вершине $B$ относительно центра $O$, значит, точка $O$ — середина отрезка $BD$. Проведём луч из точки $B$ через точку $O$ и отложим на его продолжении отрезок $OD$, равный отрезку $BO$.
   Найдём координаты точки $D(x_D, y_D)$:
   $x_O = \frac{x_B + x_D}{2} \implies 4 = \frac{4 + x_D}{2} \implies 8 = 4 + x_D \implies x_D = 4$.
   $y_O = \frac{y_B + y_D}{2} \implies 2 = \frac{4 + y_D}{2} \implies 4 = 4 + y_D \implies y_D = 0$.
   Таким образом, вершина $D$ имеет координаты $(4, 0)$.

3. Завершение построения.

   Соединив последовательно точки $A(1, 1)$, $B(4, 4)$, $C(7, 3)$ и $D(4, 0)$, мы получим искомый четырёхугольник $ABCD$.

Результат построения показан на рисунке ниже:

Ответ: Для построения четырёхугольника $ABCD$ нужно найти точки $C$ и $D$, которые симметричны точкам $A$ и $B$ соответственно относительно центра $O$. Это делается построением отрезков $AC$ и $BD$ так, чтобы точка $O$ была их общей серединой. После нахождения вершин $C$ и $D$ их необходимо последовательно соединить с вершинами $A$ и $B$ для получения искомого четырёхугольника.

1398. На рисунке 275 изображены стороны AB и BC и центр симметрии O шестиугольника ABCDEF. Перечертите рисунок в тетрадь и постройте шестиугольник ABCDEF.

Рис. 275

Поскольку шестиугольник ABCDEF имеет центр симметрии O, каждая его вершина имеет симметричную ей вершину относительно этого центра. В частности, вершина D симметрична вершине A, вершина E — вершине B, а вершина F — вершине C. Это означает, что точка O является серединой отрезков AD, BE и CF.

Для построения недостающих вершин D, E, F выполним следующие шаги:

1. Построение вершины D: Проведем луч AO из точки A через центр симметрии O. На этом луче отложим отрезок OD, равный отрезку AO. Точка D будет искомой вершиной, симметричной A.
2. Построение вершины E: Аналогично проведем луч BO и отложим на нем отрезок OE, равный отрезку BO. Точка E будет вершиной, симметричной B.
3. Построение вершины F: Проведем луч CO и отложим на нем отрезок OF, равный отрезку CO. Точка F будет вершиной, симметричной C.

После нахождения всех вершин соединим их последовательно: A → B → C → D → E → F → A.

Также можно решить задачу, используя координаты. Введем систему координат, приняв одну клетку за единицу. Пусть точка B имеет координаты $(0, 0)$. Тогда:

• Координаты точки A: $(-2, 2)$
• Координаты точки B: $(0, 0)$
• Координаты точки C: $(3, 0)$
• Координаты центра симметрии O: $(1, 2)$

Координаты симметричной точки $P'(x', y')$ для точки $P(x, y)$ относительно центра $O(x_O, y_O)$ находятся по формулам: $x' = 2x_O - x$
$y' = 2y_O - y$

Найдем координаты вершины D, симметричной A:
$x_D = 2 \cdot 1 - (-2) = 2 + 2 = 4$
$y_D = 2 \cdot 2 - 2 = 4 - 2 = 2$
Таким образом, D имеет координаты $(4, 2)$.

Найдем координаты вершины E, симметричной B:
$x_E = 2 \cdot 1 - 0 = 2$
$y_E = 2 \cdot 2 - 0 = 4$
Таким образом, E имеет координаты $(2, 4)$.

Найдем координаты вершины F, симметричной C:
$x_F = 2 \cdot 1 - 3 = -1$
$y_F = 2 \cdot 2 - 0 = 4$
Таким образом, F имеет координаты $(-1, 4)$.

Теперь мы имеем все вершины и можем построить шестиугольник.

Ответ: Построенный шестиугольник ABCDEF показан на рисунке выше. Вершины D, E и F являются точками, симметричными вершинам A, B и C относительно центра O.

1399.Есть две одинаковые полоски в клетку (рис. 276). Два мальчика играют в такую игру: за один ход можно зачеркнуть любое количество клеток, но в одной полоске. Проигрывает тот, кому уже нечего зачеркнуть. Кто из двух игроков может обеспечить себе выигрыш и как это сделать?

Данная задача является классическим примером комбинаторной игры, решение которой основано на поиске выигрышной стратегии. В этой игре выигрыш может обеспечить себе второй игрок.

Стратегия второго игрока заключается в том, чтобы поддерживать симметрию в игре. Поскольку изначально обе полоски одинаковы (имеют одинаковое количество клеток, обозначим его за $n$), второй игрок всегда может повторять ходы первого, но на другой полоске.

Алгоритм выигрышной стратегии для второго игрока:

1. Первый игрок делает свой ход, зачеркивая $k$ клеток в одной из полосок (пусть в первой). После его хода количество незачеркнутых клеток в полосках становится разным: в первой $n-k$, во второй $n$.
2. Второй игрок своим ответным ходом зачеркивает точно такое же количество клеток ($k$) в другой (второй) полоске. Таким образом, он восстанавливает симметрию: в обеих полосках снова становится одинаковое количество незачеркнутых клеток, а именно $n-k$.
3. Этот процесс повторяется. После каждого хода второго игрока количество незачеркнутых клеток в обеих полосках будет одинаковым.

Почему эта стратегия приводит к победе:

Поскольку общее количество клеток конечно, игра обязательно закончится. Так как второй игрок всегда может сделать ход, если перед этим его сделал первый (если в одной полоске есть клетки для зачеркивания, то и в другой, симметричной, они тоже есть), он никогда не окажется в ситуации, когда ему нечего зачеркнуть, если только первый игрок не зачеркнул последние клетки.

Рассмотрим конец игры. В какой-то момент первый игрок будет вынужден зачеркнуть последние клетки в одной из полосок. Например, после хода второго игрока на поле осталась ситуация, где в каждой полоске по одной клетке. Первый игрок зачеркивает клетку в первой полоске. Второй игрок, следуя своей стратегии, зачеркивает последнюю клетку во второй полоске. В итоге все клетки на обеих полосках зачеркнуты. Ход переходит к первому игроку, но ему уже нечего зачеркивать. Согласно правилам, он проигрывает.

Ответ: Выигрыш может обеспечить себе второй игрок. Его стратегия — симметричная: на каждый ход первого игрока (зачеркивание определенного количества клеток в одной полоске) второй игрок должен отвечать зачеркиванием точно такого же количества клеток в другой полоске.

1400. Два мальчика по очереди кладут одинаковые монетки на круглый стол так, чтобы они не накладывались друг на друга. Проигрывает тот, кто не может сделать ход. Кто из двух игроков может обеспечить себе выигрыш и как это сделать?

В этой игре выигрыш может обеспечить себе первый игрок. Для этого он должен использовать стратегию, основанную на симметрии круглого стола.

Выигрышная стратегия для первого игрока:

1. Своим первым ходом первый игрок должен положить монетку точно в центр стола.
2. На каждый последующий ход второго игрока первый игрок должен отвечать, кладя свою монетку на место, которое симметрично месту, куда положил монетку второй игрок, относительно центра стола.

Обоснование стратегии:

Круглый стол является центрально-симметричной фигурой. Когда первый игрок кладет монету в центр, он сохраняет эту симметрию.

После этого, куда бы второй игрок ни положил свою монету (назовем это место $A$), для этой точки всегда будет существовать симметричная ей точка $A'$ относительно центра стола. Поскольку второй игрок смог сделать ход, значит место $A$ было свободно. Место $A'$ также гарантированно будет свободно:

• Оно не может быть занято центральной монетой (так как центр симметричен сам себе).
• Оно не может быть занято одной из предыдущих монет. Если бы на месте $A'$ уже лежала монета второго игрока, то на месте $A$ уже лежала бы ответная монета первого игрока, и второй игрок не смог бы сделать туда ход.

Таким образом, если у второго игрока есть возможность сделать ход, то у первого игрока всегда будет возможность сделать симметричный ответный ход. Поскольку количество монет, которое можно разместить на столе, конечно, игра обязательно закончится. Так как первый игрок всегда может ответить на ход второго, именно второй игрок первым окажется в ситуации, когда не сможет сделать ход.

Ответ: Выигрыш может обеспечить себе первый игрок. Для этого ему нужно первым ходом положить монету в центр стола, а затем класть свои монеты симметрично ходам второго игрока относительно центра стола.

1401. В 1792 г. учёные Парижской академии наук измерили длину земного меридиана, проходящего через Париж. Одна десятимиллионная доля четверти парижского меридиана составляла 1 м. Найдите длину земного меридиана, проходящего через Париж.

По условию задачи, один метр был определен как одна десятимиллионная доля четверти земного меридиана, проходящего через Париж.

Пусть $L$ — это полная длина парижского меридиана.

1. Найдем длину четверти меридиана. Если $1/10 000 000$ часть от четверти меридиана равна 1 метру, то вся четверть меридиана будет в $10 000 000$ раз больше.

Длина четверти меридиана $= 1 \text{ м} \times 10 000 000 = 10 000 000 \text{ м}$.

2. Полная длина меридиана (окружности, проходящей через полюса) состоит из четырех таких четвертей. Чтобы найти полную длину, нужно умножить длину четверти на 4.

$L = 10 000 000 \text{ м} \times 4 = 40 000 000 \text{ м}$.

Это значение также можно выразить в километрах: $40 000 000 \text{ м} = 40 000 \text{ км}$.

Ответ: 40 000 000 м.