Номер 1399, страница 289 - гдз по математике 6 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 40. Осевая и центральная симметрии. Глава 4. Рациональные числа - номер 1399, страница 289.

Условие.

1399.Есть две одинаковые полоски в клетку (рис. 276). Два мальчика играют в такую игру: за один ход можно зачеркнуть любое количество клеток, но в одной полоске. Проигрывает тот, кому уже нечего зачеркнуть. Кто из двух игроков может обеспечить себе выигрыш и как это сделать?

Решение.

Решение 2.

Данная задача является классическим примером комбинаторной игры, решение которой основано на поиске выигрышной стратегии. В этой игре выигрыш может обеспечить себе второй игрок.

Стратегия второго игрока заключается в том, чтобы поддерживать симметрию в игре. Поскольку изначально обе полоски одинаковы (имеют одинаковое количество клеток, обозначим его за $n$), второй игрок всегда может повторять ходы первого, но на другой полоске.

Алгоритм выигрышной стратегии для второго игрока:

1. Первый игрок делает свой ход, зачеркивая $k$ клеток в одной из полосок (пусть в первой). После его хода количество незачеркнутых клеток в полосках становится разным: в первой $n-k$, во второй $n$.
2. Второй игрок своим ответным ходом зачеркивает точно такое же количество клеток ($k$) в другой (второй) полоске. Таким образом, он восстанавливает симметрию: в обеих полосках снова становится одинаковое количество незачеркнутых клеток, а именно $n-k$.
3. Этот процесс повторяется. После каждого хода второго игрока количество незачеркнутых клеток в обеих полосках будет одинаковым.

Почему эта стратегия приводит к победе:

Поскольку общее количество клеток конечно, игра обязательно закончится. Так как второй игрок всегда может сделать ход, если перед этим его сделал первый (если в одной полоске есть клетки для зачеркивания, то и в другой, симметричной, они тоже есть), он никогда не окажется в ситуации, когда ему нечего зачеркнуть, если только первый игрок не зачеркнул последние клетки.

Рассмотрим конец игры. В какой-то момент первый игрок будет вынужден зачеркнуть последние клетки в одной из полосок. Например, после хода второго игрока на поле осталась ситуация, где в каждой полоске по одной клетке. Первый игрок зачеркивает клетку в первой полоске. Второй игрок, следуя своей стратегии, зачеркивает последнюю клетку во второй полоске. В итоге все клетки на обеих полосках зачеркнуты. Ход переходит к первому игроку, но ему уже нечего зачеркивать. Согласно правилам, он проигрывает.

Ответ: Выигрыш может обеспечить себе второй игрок. Его стратегия — симметричная: на каждый ход первого игрока (зачеркивание определенного количества клеток в одной полоске) второй игрок должен отвечать зачеркиванием точно такого же количества клеток в другой полоске.