Страница 285 - гдз по математике 6 класс учебник Мерзляк, Полонский

1374. Перечертите рисунок 256 в тетрадь и постройте отрезок, симметричный отрезку $AB$ относительно прямой $m$.

Рис. 256

а

б

в

Для построения отрезка, симметричного отрезку AB относительно прямой m, необходимо найти точки A' и B', которые симметричны концам отрезка (точкам A и B), и затем соединить новые точки A' и B' отрезком.

Чтобы найти точку, симметричную данной точке относительно прямой, нужно из данной точки опустить перпендикуляр на эту прямую и продлить его на такое же расстояние по другую сторону от прямой. Полученная точка будет симметричной.

а

1. Чтобы построить точку A', симметричную точке A, проводим через точку A прямую, перпендикулярную прямой m. На клетчатой бумаге прямая m проходит по диагоналям клеток (под углом 45°), следовательно, перпендикуляр к ней также будет идти по диагоналям клеток, но в другом направлении.

2. Измеряем кратчайшее расстояние от точки A до прямой m, двигаясь по этому перпендикуляру. Оно равно 2,5 диагоналям клетки.

3. Откладываем такое же расстояние (2,5 диагонали) от прямой m дальше по перпендикуляру и ставим точку A'.

4. Аналогично строим точку B'. Расстояние от B до прямой m вдоль перпендикуляра составляет 0,5 диагонали клетки. Отложив это расстояние по другую сторону от прямой m, получаем точку B'.

5. Соединяем точки A' и B', чтобы получить искомый отрезок A'B'.

Ответ: Построение показано на рисунке ниже.

б

1. Прямая m — горизонтальная, поэтому перпендикуляры к ней будут вертикальными.

2. Точка A находится на расстоянии 3 клеток выше прямой m. Значит, симметричная ей точка A' будет находиться на той же вертикальной линии, но на 3 клетки ниже прямой m.

3. Точка B находится на расстоянии 2 клеток выше прямой m. Симметричная ей точка B' будет находиться на той же вертикали, но на 2 клетки ниже прямой m.

4. Соединяем точки A' и B' и получаем искомый отрезок A'B'.

Ответ: Построение показано на рисунке ниже.

в

1. Прямая m — вертикальная, поэтому перпендикуляры к ней будут горизонтальными.

2. Точка A находится на расстоянии 2 клеток правее прямой m. Значит, симметричная ей точка A' будет находиться на той же горизонтальной линии, но на 2 клетки левее прямой m.

3. Точка B находится на расстоянии 3 клеток левее прямой m. Симметричная ей точка B' будет находиться на той же горизонтали, но на 3 клетки правее прямой m.

4. Соединяем точки A' и B' и получаем искомый отрезок A'B'.

Ответ: Построение показано на рисунке ниже.

На рисунке исходные отрезки AB показаны черным цветом, ось симметрии m — красным, а построенные симметричные отрезки A'B' — синим.

1375. Симметричны ли изображённые на рисунке 257 фигуры относительно прямой $l$?

Рис. 257

а

б

в

г

Чтобы определить, симметрична ли фигура относительно прямой $l$, необходимо проверить, является ли эта прямая осью симметрии для данной фигуры. Это означает, что для каждой точки фигуры точка, симметричная ей относительно прямой $l$, также должна принадлежать этой фигуре.

а) На рисунке изображены два треугольника. Если для любой вершины левого треугольника построить точку, симметричную ей относительно прямой $l$, то эта точка окажется вершиной правого треугольника. То же самое верно и для всех остальных точек. Правый треугольник является точным зеркальным отражением левого относительно прямой $l$. Следовательно, фигура, состоящая из этих двух треугольников, симметрична относительно прямой $l$.

Ответ: да.

б) На рисунке изображены два одинаковых параллелограмма. Однако правый параллелограмм не является зеркальным отражением левого. Он получен из левого путем параллельного переноса вправо. При зеркальном отражении относительно вертикальной прямой $l$ наклон боковых сторон левого параллелограмма изменился бы на противоположный, но у правого параллелограмма наклон сторон такой же, как у левого. Следовательно, фигуры не симметричны относительно прямой $l$.

Ответ: нет.

в) Фигура состоит из двух полукругов, расположенных в разных местах. Верхний полукруг находится слева от прямой $l$, а нижний — справа и ниже. Если взять любую точку верхнего полукруга и отразить ее симметрично относительно прямой $l$, то полученная точка не попадет на нижний полукруг, так как он смещен вниз. Таким образом, фигура не является симметричной относительно прямой $l$.

Ответ: нет.

г) На рисунке изображена фигура, напоминающая букву V. Прямая $l$ проходит вертикально через ее нижнюю точку. Левая и правая части фигуры являются зеркальными отражениями друг друга относительно этой прямой. Если мысленно согнуть рисунок по прямой $l$, то обе половины фигуры полностью совпадут. Следовательно, данная фигура симметрична относительно прямой $l$.

Ответ: да.