Номер 1379, страница 286 - гдз по математике 6 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 40. Осевая и центральная симметрии. Глава 4. Рациональные числа - номер 1379, страница 286.

Условие.

1379.Перечертите рисунок 261 в тетрадь и постройте точку, симметричную точке:

1) $A$ относительно точки $B$;

2) $K$ относительно точки $B$;

3) $B$ относительно точки $K$;

4) $M$ относительно точки $B$;

5) $M$ относительно точки $K$;

6) $A$ относительно точки $K$.

Рис. 261

Решение.

Решение 2.

Для решения задачи введем систему координат. Примем левый нижний узел сетки за начало координат (0, 0), а сторону одной клетки за единичный отрезок. В этой системе координат данные точки имеют следующие координаты:

• A(1, 1)
• B(3, 3)
• K(4, 2)
• M(4, 5)

Точка $P'(x', y')$ называется симметричной точке $P(x, y)$ относительно центра симметрии $C(x_c, y_c)$, если точка $C$ является серединой отрезка $PP'$. Координаты симметричной точки $P'$ можно найти, используя формулы координат середины отрезка:

$x_c = \frac{x + x'}{2} \implies x' = 2x_c - x$

$y_c = \frac{y + y'}{2} \implies y' = 2y_c - y$

Применим эти формулы для каждого случая.

1) A относительно точки B;
Нужно построить точку $A'$, симметричную точке $A(1, 1)$ относительно точки $B(3, 3)$.
Координаты точки $A'$ будут:
$x_{A'} = 2x_B - x_A = 2 \cdot 3 - 1 = 6 - 1 = 5$
$y_{A'} = 2y_B - y_A = 2 \cdot 3 - 1 = 6 - 1 = 5$
Следовательно, искомая точка $A'$ имеет координаты (5, 5).
Ответ: Точка с координатами (5, 5).

2) K относительно точки B;
Нужно построить точку $K'$, симметричную точке $K(4, 2)$ относительно точки $B(3, 3)$.
Координаты точки $K'$ будут:
$x_{K'} = 2x_B - x_K = 2 \cdot 3 - 4 = 6 - 4 = 2$
$y_{K'} = 2y_B - y_K = 2 \cdot 3 - 2 = 6 - 2 = 4$
Следовательно, искомая точка $K'$ имеет координаты (2, 4).
Ответ: Точка с координатами (2, 4).

3) B относительно точки K;
Нужно построить точку $B'$, симметричную точке $B(3, 3)$ относительно точки $K(4, 2)$.
Координаты точки $B'$ будут:
$x_{B'} = 2x_K - x_B = 2 \cdot 4 - 3 = 8 - 3 = 5$
$y_{B'} = 2y_K - y_B = 2 \cdot 2 - 3 = 4 - 3 = 1$
Следовательно, искомая точка $B'$ имеет координаты (5, 1).
Ответ: Точка с координатами (5, 1).

4) M относительно точки B;
Нужно построить точку $M'$, симметричную точке $M(4, 5)$ относительно точки $B(3, 3)$.
Координаты точки $M'$ будут:
$x_{M'} = 2x_B - x_M = 2 \cdot 3 - 4 = 6 - 4 = 2$
$y_{M'} = 2y_B - y_M = 2 \cdot 3 - 5 = 6 - 5 = 1$
Следовательно, искомая точка $M'$ имеет координаты (2, 1).
Ответ: Точка с координатами (2, 1).

5) M относительно точки K;
Нужно построить точку $M''$, симметричную точке $M(4, 5)$ относительно точки $K(4, 2)$.
Координаты точки $M''$ будут:
$x_{M''} = 2x_K - x_M = 2 \cdot 4 - 4 = 8 - 4 = 4$
$y_{M''} = 2y_K - y_M = 2 \cdot 2 - 5 = 4 - 5 = -1$
Следовательно, искомая точка $M''$ имеет координаты (4, -1).
Ответ: Точка с координатами (4, -1).

6) A относительно точки K.
Нужно построить точку $A''$, симметричную точке $A(1, 1)$ относительно точки $K(4, 2)$.
Координаты точки $A''$ будут:
$x_{A''} = 2x_K - x_A = 2 \cdot 4 - 1 = 8 - 1 = 7$
$y_{A''} = 2y_K - y_A = 2 \cdot 2 - 1 = 4 - 1 = 3$
Следовательно, искомая точка $A''$ имеет координаты (7, 3).
Ответ: Точка с координатами (7, 3).