Номер 1384, страница 287 - гдз по математике 6 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 40. Осевая и центральная симметрии. Глава 4. Рациональные числа - номер 1384, страница 287.

Условие.

1384. Начертите отрезок $BD$ и отметьте точку $A$ вне этого отрезка. Постройте отрезок, симметричный отрезку $BD$ относительно точки $A$. Сравните полученный отрезок и отрезок $BD$.

Решение.

Решение 2.

Построение

Для построения отрезка, симметричного отрезку $BD$ относительно точки $A$, необходимо выполнить следующие шаги:

1. Начертить произвольный отрезок $BD$ и отметить точку $A$, не лежащую на этом отрезке.
2. Провести луч из точки $B$ через точку $A$. На этом луче отложить от точки $A$ отрезок $AB'$, равный отрезку $AB$. Точка $B'$ будет симметрична точке $B$ относительно точки $A$.
3. Провести луч из точки $D$ через точку $A$. На этом луче отложить от точки $A$ отрезок $AD'$, равный отрезку $AD$. Точка $D'$ будет симметрична точке $D$ относительно точки $A$.
4. Соединить точки $B'$ и $D'$. Отрезок $B'D'$ является искомым отрезком, симметричным отрезку $BD$ относительно точки $A$.

Ниже представлен пример такого построения:

Сравнение

Сравним полученный отрезок $B'D'$ с исходным отрезком $BD$. Для этого рассмотрим треугольники $\triangle ABD$ и $\triangle AB'D'$.

По построению, точка $A$ является серединой отрезков $BB'$ и $DD'$, следовательно:

• $AB = AB'$
• $AD = AD'$

Углы $\angle BAD$ и $\angle B'AD'$ являются вертикальными, поэтому они равны: $\angle BAD = \angle B'AD'$.

Следовательно, треугольник $\triangle ABD$ равен треугольнику $\triangle AB'D'$ по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними).

Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих элементов:

1. Стороны $BD$ и $B'D'$ равны, то есть отрезки имеют одинаковую длину: $BD = B'D'$.
2. Углы $\angle ABD$ и $\angle AB'D'$ равны. Эти углы являются накрест лежащими при прямых $BD$ и $B'D'$ и секущей $BB'$. Так как эти углы равны, то прямые, содержащие отрезки, параллельны: $BD \parallel B'D'$.

Таким образом, отрезок, симметричный данному относительно точки, равен ему по длине и параллелен ему.

Ответ: Полученный отрезок равен исходному отрезку $BD$ и параллелен ему.