Номер 1391, страница 288 - гдз по математике 6 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 40. Осевая и центральная симметрии. Глава 4. Рациональные числа - номер 1391, страница 288.

Условие.

1391. Перечертите рисунок 270 в тетрадь и постройте фигуру, симметричную треугольнику $ABC$: 1) относительно точки $O$; 2) относительно точки $D$.

Рис. 270

Решение.

Решение 2.

Для построения фигуры, симметричной треугольнику $ABC$ относительно некоторой точки (центра симметрии), необходимо найти точки, симметричные каждой из вершин треугольника $A$, $B$ и $C$ относительно этого центра. Затем новые точки соединяются, образуя искомый симметричный треугольник.

Точка $A_1$ называется симметричной точке $A$ относительно центра $O$, если точка $O$ является серединой отрезка $AA_1$.

Для решения задачи введем декартову систему координат. Примем точку $A$ за начало координат, а прямую $AC$ — за ось абсцисс. Пусть сторона одной клетки сетки равна 1. Тогда координаты вершин треугольника и данных точек будут следующими:

• $A(0, 0)$
• $B(5, 3)$
• $C(4, 0)$
• $O(3, 1)$
• $D(5, 1.5)$

Координаты $(x_1, y_1)$ точки, симметричной точке $(x, y)$ относительно центра $(x_c, y_c)$, находятся по формулам центральной симметрии:

$x_1 = 2x_c - x$

$y_1 = 2y_c - y$

1) относительно точки O

Построим треугольник $A_1B_1C_1$, симметричный треугольнику $ABC$ относительно точки $O(3, 1)$. Для этого найдем координаты его вершин $A_1$, $B_1$ и $C_1$.

• Для вершины $A(0, 0)$:

  $x_{A_1} = 2 \cdot 3 - 0 = 6$

  $y_{A_1} = 2 \cdot 1 - 0 = 2$

  Следовательно, координаты точки $A_1$ — $(6, 2)$.

• Для вершины $B(5, 3)$:

  $x_{B_1} = 2 \cdot 3 - 5 = 1$

  $y_{B_1} = 2 \cdot 1 - 3 = -1$

  Следовательно, координаты точки $B_1$ — $(1, -1)$.

• Для вершины $C(4, 0)$:

  $x_{C_1} = 2 \cdot 3 - 4 = 2$

  $y_{C_1} = 2 \cdot 1 - 0 = 2$

  Следовательно, координаты точки $C_1$ — $(2, 2)$.

Соединив точки $A_1(6, 2)$, $B_1(1, -1)$ и $C_1(2, 2)$, получим искомый треугольник $A_1B_1C_1$.

Ответ: Треугольник $A_1B_1C_1$ с вершинами в точках $A_1(6, 2)$, $B_1(1, -1)$ и $C_1(2, 2)$.

2) относительно точки D

Построим треугольник $A_2B_2C_2$, симметричный треугольнику $ABC$ относительно точки $D(5, 1.5)$. Для этого найдем координаты его вершин $A_2$, $B_2$ и $C_2$.

• Для вершины $A(0, 0)$:

  $x_{A_2} = 2 \cdot 5 - 0 = 10$

  $y_{A_2} = 2 \cdot 1.5 - 0 = 3$

  Следовательно, координаты точки $A_2$ — $(10, 3)$.

• Для вершины $B(5, 3)$:

  $x_{B_2} = 2 \cdot 5 - 5 = 5$

  $y_{B_2} = 2 \cdot 1.5 - 3 = 0$

  Следовательно, координаты точки $B_2$ — $(5, 0)$.

• Для вершины $C(4, 0)$:

  $x_{C_2} = 2 \cdot 5 - 4 = 6$

  $y_{C_2} = 2 \cdot 1.5 - 0 = 3$

  Следовательно, координаты точки $C_2$ — $(6, 3)$.

Соединив точки $A_2(10, 3)$, $B_2(5, 0)$ и $C_2(6, 3)$, получим искомый треугольник $A_2B_2C_2$.

Ответ: Треугольник $A_2B_2C_2$ с вершинами в точках $A_2(10, 3)$, $B_2(5, 0)$ и $C_2(6, 3)$.