Страница 283 - гдз по математике 6 класс учебник Мерзляк, Полонский

1. Какие точки называют симметричными относительно прямой?

Две точки $A$ и $A_1$ называются симметричными относительно прямой $l$ (которую также называют осью симметрии), если эта прямая является серединным перпендикуляром к отрезку, соединяющему эти точки ($AA_1$).

Это определение означает, что для симметричных точек должны одновременно выполняться два условия:

1. Отрезок, соединяющий эти две точки ($AA_1$), должен быть перпендикулярен прямой $l$. Математически это записывается как $AA_1 \perp l$.

2. Прямая $l$ должна проходить через середину отрезка $AA_1$. Если точка $O$ — это точка пересечения прямой $l$ и отрезка $AA_1$, то расстояние от точки $A$ до точки $O$ должно быть равно расстоянию от точки $A_1$ до точки $O$. То есть, должно выполняться равенство $AO = OA_1$.

Таким образом, точки $A$ и $A_1$ находятся на одинаковом расстоянии от прямой $l$ и лежат на одном перпендикуляре к этой прямой по разные стороны от неё.

Если точка лежит непосредственно на прямой $l$, то она считается симметричной самой себе относительно этой прямой.

Ответ: Две точки называют симметричными относительно прямой, если эта прямая проходит через середину отрезка, соединяющего эти точки, и перпендикулярна этому отрезку.

2. Какие вы знаете фигуры, имеющие ось симметрии?

Осью симметрии фигуры называется такая прямая, которая делит фигуру на две части, являющиеся зеркальным отражением друг друга. При мысленном перегибании плоскости по этой прямой эти части полностью совмещаются. Существует множество геометрических фигур, имеющих одну, несколько или даже бесконечное число осей симметрии.

Вот некоторые примеры таких фигур:

• Отрезок: имеет две оси симметрии. Одна ось – это прямая, на которой лежит сам отрезок. Вторая ось – это прямая, перпендикулярная отрезку и проходящая через его середину (серединный перпендикуляр).

• Угол (неразвернутый): имеет одну ось симметрии – прямую, содержащую биссектрису этого угла.

• Равнобедренный треугольник: имеет одну ось симметрии – прямую, содержащую высоту, медиану и биссектрису, проведенную к его основанию.

• Равносторонний треугольник: имеет три оси симметрии. Каждая ось проходит через одну из вершин и середину противоположной стороны.

• Прямоугольник: имеет две оси симметрии. Каждая из них проходит через середины противоположных сторон.

• Ромб: имеет две оси симметрии, которыми являются прямые, содержащие его диагонали.

• Квадрат: как частный случай прямоугольника и ромба, имеет четыре оси симметрии: две проходят через середины противоположных сторон, а две другие – по диагоналям.

• Равнобедренная трапеция: имеет одну ось симметрии – прямую, проходящую через середины ее оснований.

• Окружность: имеет бесконечное множество осей симметрии. Любая прямая, проходящая через центр окружности, является ее осью симметрии.

• Правильный n-угольник: число осей симметрии равно числу его сторон, то есть $n$. Характер расположения осей зависит от четности $n$: если $n$ – нечетное, оси проходят через вершину и середину противолежащей стороны; если $n$ – четное, то $n/2$ осей проходят через противолежащие вершины, а другие $n/2$ – через середины противолежащих сторон.

Ответ: Фигуры, имеющие ось симметрии: отрезок, угол, равнобедренный и равносторонний треугольники, прямоугольник, ромб, квадрат, равнобедренная трапеция, окружность, правильные многоугольники и другие.

3. Сколько осей симметрии имеет:

Прямоугольник, отличный от квадрата?

Квадрат?

Равносторонний треугольник?

Прямоугольник, отличный от квадрата
Осью симметрии геометрической фигуры называется прямая, которая делит фигуру на две зеркально равные части. У прямоугольника, который не является квадратом, есть две оси симметрии. Одна ось проходит через середины двух более длинных сторон, а вторая — через середины двух более коротких сторон. Диагонали такого прямоугольника не являются осями симметрии, так как при сгибании вдоль диагонали части фигуры не совпадают.
Ответ: $2$.

Квадрат
Квадрат — это частный случай прямоугольника, у которого все стороны равны. Он обладает всеми осями симметрии прямоугольника (две прямые, проходящие через середины противоположных сторон), а также имеет две дополнительные оси симметрии, которыми являются его диагонали. Всего у квадрата $4$ оси симметрии.
Ответ: $4$.

Равносторонний треугольник
Равносторонний (или правильный) треугольник имеет три оси симметрии. Каждая ось симметрии проходит через одну из вершин треугольника и середину противоположной стороны. Эта линия является для треугольника одновременно и высотой, и медианой, и биссектрисой. Поскольку у треугольника три вершины, то и осей симметрии у него три.
Ответ: $3$.

4. Какие точки называют симметричными относительно точки?

Две точки $A$ и $A'$ называют симметричными относительно точки $O$, если точка $O$ является серединой отрезка $AA'$. Это определение означает, что одновременно выполняются два условия: во-первых, точки $A$, $O$ и $A'$ лежат на одной прямой, и, во-вторых, расстояния от центра симметрии $O$ до точек $A$ и $A'$ равны. Математически второе условие записывается как $AO = OA'$.

Точку $O$ называют центром симметрии. Сам центр симметрии $O$ считается симметричным самому себе. Для построения точки $A'$, симметричной точке $A$ относительно центра $O$, нужно провести луч $AO$ и на его продолжении за точку $O$ отложить отрезок $OA'$, равный отрезку $AO$.

Ответ: Две точки называют симметричными относительно третьей точки, если эта третья точка является серединой отрезка, соединяющего две первые точки.

5. Приведите примеры фигур, имеющих центр симметрии.

Фигура имеет центр симметрии, если существует такая точка $O$ (центр симметрии), что для любой точки $A$ фигуры точка $A'$, симметричная точке $A$ относительно $O$, также принадлежит этой фигуре. Иначе говоря, фигура совпадает сама с собой при повороте на $180^\circ$ вокруг своего центра симметрии.

Вот несколько примеров таких фигур:

• Отрезок: центром симметрии отрезка является его середина.

• Окружность (и круг): центром симметрии является геометрический центр окружности.

• Параллелограмм: центром симметрии является точка пересечения его диагоналей. Это также справедливо для частных случаев параллелограмма: прямоугольника, ромба и квадрата.

• Прямая: любая точка, лежащая на прямой, является ее центром симметрии.

• Правильный многоугольник с четным числом сторон: например, правильный шестиугольник или восьмиугольник. Центром симметрии таких фигур является их геометрический центр (точка пересечения диагоналей, центр вписанной и описанной окружностей).

• Эллипс: центром симметрии является точка пересечения его большой и малой осей.

Ответ: отрезок, окружность, параллелограмм, прямоугольник, ромб, квадрат, прямая, правильный многоугольник с четным числом сторон.