Страница 276 - гдз по математике 6 класс учебник Мерзляк, Полонский

1341. Перерисуйте в тетрадь рисунок 219. Проведите через точку $M$ прямую, перпендикулярную прямой $a$.

Рис. 219

а

На рисунке изображена прямая $a$ и точка $M$, не лежащая на ней.

б

На рисунке изображена прямая $a$ и точка $M$, не лежащая на ней.

в

На рисунке изображена прямая $a$ и точка $M$, не лежащая на ней. Показан прямой угол.

г

На рисунке изображена прямая $a$ и точка $M$, лежащая на ней.

Для построения прямой, перпендикулярной данной прямой a и проходящей через точку M, удобнее всего использовать чертёжный угольник (прямоугольный треугольник) и линейку. Назовём искомую прямую b. По определению, перпендикулярные прямые пересекаются под прямым углом (90°), что обозначается как $b \perp a$.

а
1. Приложим одну из сторон угольника, образующих прямой угол (катет), к прямой a.
2. Будем передвигать угольник вдоль прямой a до тех пор, пока второй катет не пройдёт через точку M.
3. Проведём прямую b вдоль этого второго катета. Построенная прямая b пройдёт через точку M и будет перпендикулярна прямой a.

Ответ: На рисунке красным пунктиром изображена искомая прямая b, проходящая через точку M и перпендикулярная прямой a.

б
1. Приложим один из катетов угольника к прямой a.
2. Передвигая угольник вдоль прямой a, совмещаем второй катет с точкой M.
3. Проводим прямую b вдоль второго катета. Эта прямая пройдёт через точку M и будет перпендикулярна прямой a.

Ответ: На рисунке красным пунктиром изображена искомая прямая b, проходящая через точку M и перпендикулярная прямой a.

в
1. Приложим один из катетов угольника к прямой a.
2. Сдвинем угольник вдоль прямой a так, чтобы второй катет прошёл через точку M.
3. Вдоль второго катета проведём прямую b. Эта прямая будет искомой, так как она проходит через точку M и $b \perp a$.

Ответ: На рисунке красным пунктиром изображена искомая прямая b, проходящая через точку M и перпендикулярная прямой a.

г
1. В этом случае точка M лежит на прямой a. Приложим один из катетов угольника к прямой a.
2. Будем передвигать угольник вдоль прямой a до тех пор, пока вершина прямого угла угольника не совпадёт с точкой M.
3. Проведём прямую b вдоль второго катета, выходящую из точки M. Эта прямая будет перпендикулярна прямой a.

Ответ: На рисунке красным пунктиром изображена искомая прямая b, проходящая через точку M и перпендикулярная прямой a.

1342. Проведите прямую $d$ и отметьте точку $M$, ей не принадлежащую. Проведите через точку $M$ прямую, перпендикулярную прямой $d$.

Задача состоит в том, чтобы построить перпендикуляр к данной прямой $d$ из точки $M$, не лежащей на этой прямой. Такое построение выполняется с помощью циркуля и линейки (без делений) по следующему алгоритму:

1. Проводим произвольную прямую $d$ и отмечаем точку $M$ вне этой прямой.
2. Устанавливаем острие циркуля в точку $M$ и проводим дугу окружности такого радиуса, чтобы она пересекла прямую $d$ в двух различных точках. Обозначим эти точки $A$ и $B$.
3. Теперь с центрами в точках $A$ и $B$ проводим две дуги одинакового радиуса. Важно, чтобы этот радиус был больше половины длины отрезка $AB$ (это гарантирует пересечение дуг). Для удобства можно использовать тот же радиус, что и на предыдущем шаге, то есть равный $MA$.
4. Находим точку пересечения этих двух дуг. Обозначим её $N$.
5. С помощью линейки соединяем точки $M$ и $N$. Полученная прямая $MN$ (обозначим ее $m$) и будет искомым перпендикуляром.

Ниже представлен чертеж, иллюстрирующий процесс построения:

Обоснование: По построению, точка $M$ равноудалена от точек $A$ и $B$ (так как отрезки $MA$ и $MB$ являются радиусами одной дуги с центром в $M$). Точка $N$ также равноудалена от точек $A$ и $B$ (так как $NA$ и $NB$ являются радиусами равных дуг с центрами в $A$ и $B$). Множество всех точек плоскости, равноудаленных от концов отрезка, является его серединным перпендикуляром. Следовательно, прямая, проходящая через точки $M$ и $N$, является серединным перпендикуляром к отрезку $AB$. Поскольку отрезок $AB$ лежит на прямой $d$, то прямая $MN$ перпендикулярна прямой $d$. Таким образом, мы построили прямую $m$, которая удовлетворяет условиям задачи: она проходит через точку $M$ и $m \perp d$.

Ответ: Прямая $m$, построенная по описанному алгоритму, является искомой прямой, так как она проходит через точку $M$ и перпендикулярна прямой $d$.

1343. Проведите прямую $c$ и отметьте точку $K$, принадлежащую ей. Проведите через точку $K$ прямую, перпендикулярную прямой $c$.

Чтобы построить прямую, перпендикулярную данной прямой c и проходящую через точку K, лежащую на этой прямой, нужно выполнить следующие шаги, используя циркуль и линейку:

1. Проведем произвольную прямую и назовем ее c. Отметим на ней точку K.

2. Установим ножку циркуля в точку K. Выберем произвольный, но не слишком маленький, радиус. Проведем окружность (или две дуги) с центром в точке K, чтобы она пересекла прямую c в двух точках. Назовем эти точки A и B. Таким образом, точка K является серединой отрезка AB, так как $AK = BK$.

3. Теперь из точек A и B как из центров проведем две дуги одинаковым радиусом, большим, чем длина отрезка AK (или BK). Эти дуги пересекутся в двух точках, по одной с каждой стороны от прямой c. Нам достаточно одной точки пересечения. Назовем ее M.

4. С помощью линейки соединим точку K и точку M. Полученная прямая KM будет перпендикулярна прямой c. Обозначим эту прямую, например, m.

Обоснование:

Рассмотрим треугольники $\triangle AKM$ и $\triangle BKM$.

• Сторона $KM$ — общая.

• Стороны $AK$ и $BK$ равны по построению (шаг 2).

• Стороны $AM$ и $BM$ равны по построению, так как дуги проводились одинаковым радиусом из точек A и B (шаг 3).

Следовательно, $\triangle AKM = \triangle BKM$ по трем сторонам (третий признак равенства треугольников). Из равенства треугольников следует равенство соответствующих углов: $\angle AKM = \angle BKM$.

Углы $\angle AKM$ и $\angle BKM$ являются смежными, их сумма равна $180^\circ$. Так как эти углы равны, то каждый из них равен $180^\circ / 2 = 90^\circ$. Это означает, что прямая $m$ перпендикулярна прямой $c$, что и требовалось построить.

На рисунке показан результат построения: прямая m проходит через точку K и перпендикулярна прямой c.

Ответ:

Построение перпендикулярной прямой выполнено и представлено на рисунке выше.

1344. Начертите прямоугольник $ABCD$, соедините точки $A$ и $C$. Проведите через точку $B$ прямую, перпендикулярную прямой $AC$.

Для выполнения данного задания необходимо последовательно выполнить следующие шаги построения с помощью чертежных инструментов (линейки, угольника).

1. Начертите прямоугольник ABCD.

   С помощью линейки проведите отрезок AB произвольной длины. Затем, используя угольник, постройте в точках A и B прямые углы. На перпендикулярных лучах отложите равные отрезки AD и BC. Соедините точки D и C. Полученная фигура ABCD будет являться прямоугольником.

2. Соедините точки A и C.

   Проведите отрезок, соединяющий противоположные вершины A и C. Этот отрезок является диагональю прямоугольника.

3. Проведите через точку B прямую, перпендикулярную прямой AC.

   Это построение удобнее всего выполнить с помощью угольника и линейки:

   • Приложите один из катетов угольника к прямой AC.
   • К другому катету угольника плотно приложите линейку.
   • Держите линейку неподвижно, а угольник двигайте вдоль нее, пока его первый катет не окажется на точке B.
   • Проведите прямую через точку B вдоль этого катета. Построенная прямая будет перпендикулярна прямой AC. Пусть H — точка пересечения этой прямой и диагонали AC. Тогда по построению мы имеем $BH \perp AC$.

Результат построений показан на чертеже ниже.

На чертеже изображен прямоугольник ABCD (черным цветом), его диагональ AC (синим цветом) и перпендикуляр BH, проведенный из вершины B к диагонали AC (красным пунктиром).

Ответ: Построение выполнено в соответствии с условиями задачи, результат представлен на чертеже.

1345. Начертите треугольник:

1) остроугольный;

2) тупоугольный;

3) прямоугольный.

Проведите через каждую вершину треугольника прямую, перпендикулярную противоположной стороне.

Задача заключается в том, чтобы для трёх видов треугольников (остроугольного, тупоугольного и прямоугольного) провести через каждую вершину прямую, перпендикулярную противоположной стороне. Такие прямые (или их отрезки от вершины до противоположной стороны) называются высотами треугольника.

1) остроугольный

Начертим остроугольный треугольник $ABC$, в котором все три угла острые (меньше $90^\circ$).

1. Из вершины $A$ опустим перпендикуляр на противоположную сторону $BC$. Получим высоту $AH_1$. Эта высота будет находиться внутри треугольника.
2. Из вершины $B$ опустим перпендикуляр на противоположную сторону $AC$. Получим высоту $BH_2$. Эта высота также будет находиться внутри треугольника.
3. Из вершины $C$ опустим перпендикуляр на противоположную сторону $AB$. Получим высоту $CH_3$. Она тоже будет находиться внутри треугольника.

Можно заметить, что все три проведённые прямые (высоты) пересекаются в одной точке, которая расположена внутри остроугольного треугольника. Эта точка называется ортоцентром.

Ответ: В остроугольном треугольнике все три прямые, проведённые из вершин перпендикулярно противоположным сторонам, являются высотами, которые лежат внутри треугольника и пересекаются в одной точке.

2) тупоугольный

Начертим тупоугольный треугольник $ABC$, в котором один из углов, например $\angle B$, тупой (больше $90^\circ$).

1. Проведём прямую из вершины $B$ перпендикулярно стороне $AC$. Эта высота, $BH_2$, будет лежать внутри треугольника.
2. Чтобы провести прямую из вершины $A$ перпендикулярно стороне $BC$, необходимо сначала продлить сторону $BC$ за пределы треугольника. Затем из точки $A$ опустим перпендикуляр на прямую, содержащую $BC$. Основание этой высоты, точка $H_1$, будет лежать на продолжении стороны $BC$.
3. Аналогично, чтобы провести прямую из вершины $C$ перпендикулярно стороне $AB$, нужно продлить сторону $AB$. Затем из точки $C$ опустим перпендикуляр на прямую, содержащую $AB$. Основание этой высоты, точка $H_3$, будет лежать на продолжении стороны $AB$.

В тупоугольном треугольнике только одна высота (проведённая из вершины тупого угла) находится внутри. Две другие высоты лежат вне треугольника. Прямые, содержащие все три высоты, пересекаются в одной точке (ортоцентре), которая находится вне треугольника.

Ответ: В тупоугольном треугольнике одна высота лежит внутри, а две — снаружи. Для построения двух высот необходимо продлевать стороны треугольника. Все три прямые, содержащие высоты, пересекаются в одной точке вне треугольника.

3) прямоугольный

Начертим прямоугольный треугольник $ABC$, в котором $\angle C = 90^\circ$. Стороны $AC$ и $BC$ являются катетами, а $AB$ — гипотенузой.

1. Прямая, проведённая через вершину $A$ перпендикулярно противоположной стороне $BC$, совпадает с катетом $AC$. Таким образом, катет $AC$ является высотой.
2. Прямая, проведённая через вершину $B$ перпендикулярно противоположной стороне $AC$, совпадает с катетом $BC$. Таким образом, катет $BC$ является второй высотой.
3. Проведём прямую из вершины прямого угла $C$ перпендикулярно гипотенузе $AB$. Эта высота, $CH_3$, будет лежать внутри треугольника.

В прямоугольном треугольнике две высоты совпадают с его катетами. Все три прямые, содержащие высоты, пересекаются в одной точке — в вершине прямого угла треугольника (в данном случае, в точке $C$).

Ответ: В прямоугольном треугольнике две из трёх искомых прямых совпадают с катетами, а третья является высотой, проведённой к гипотенузе. Все три прямые пересекаются в вершине прямого угла.

1346. Начертите угол $ABK$, градусная мера которого равна: 1) $73^\circ$; 2) $146^\circ$.

Отметьте на луче $BK$ точку $C$ и проведите через неё прямые, перпендикулярные прямым $AB$ и $BK$.

Данная задача представляет собой задачу на построение. Для ее решения необходимо выполнить последовательность действий с использованием чертежных инструментов: линейки, транспортира и циркуля (или угольника).

1) $73^\circ$

Выполним построение по шагам:

1. Начертим луч ВК, исходящий из точки В.
2. С помощью транспортира от луча ВК отложим угол, равный $73^\circ$. Для этого совмещаем центр транспортира с точкой В, а нулевую отметку на его шкале — с лучом ВК. Находим на шкале отметку $73^\circ$ и ставим точку А.
3. Проведем луч ВА. Полученный угол $\angle АВК$ равен $73^\circ$.
4. На луче ВК выберем произвольную точку С, не совпадающую с точкой В.
5. Теперь через точку С проведем две прямые: одну перпендикулярно прямой ВК, другую — прямой АВ.
6. Построение прямой, перпендикулярной ВК: Так как точка С лежит на прямой ВК, прикладываем угольник одной стороной к прямой ВК и двигаем его до тех пор, пока вторая сторона не пройдет через точку С. Проводим прямую вдоль этой стороны. Эта прямая будет перпендикулярна ВК. Обозначим ее $c_1$. Таким образом, $c_1 \perp ВК$.
7. Построение прямой, перпендикулярной АВ: Для построения перпендикуляра из точки С к прямой АВ, установим ножку циркуля в точку С и проведем дугу так, чтобы она пересекла прямую АВ в двух токах (назовем их M и N). Затем из точек M и N как из центров проведем две дуги одинакового радиуса (большего половины длины отрезка MN) так, чтобы они пересеклись в некоторой точке Р. Соединяем точки С и Р. Прямая СР будет перпендикулярна прямой АВ. Обозначим ее $c_2$. Таким образом, $c_2 \perp АВ$.

В результате на чертеже изображен угол $\angle АВК = 73^\circ$, точка С на луче ВК, и две прямые $c_1$ и $c_2$, проходящие через точку С, такие что $c_1 \perp ВК$ и $c_2 \perp АВ$.

Ответ: Построен угол $\angle АВК = 73^\circ$, на луче ВК отмечена точка С, через которую проведены две прямые: одна перпендикулярна прямой ВК, а другая — прямой АВ.

2) $146^\circ$

Построение для тупого угла выполняется аналогично предыдущему пункту.

1. Начертим луч ВК с началом в точке В.
2. С помощью транспортира отложим от луча ВК угол, равный $146^\circ$. Проведем луч ВА. Полученный угол $\angle АВК = 146^\circ$ является тупым.
3. На луче ВК произвольно выберем точку С.
4. Построение прямой, перпендикулярной ВК: Аналогично пункту 1, проводим через точку С прямую $c_1$, перпендикулярную прямой ВК. Получаем $c_1 \perp ВК$.
5. Построение прямой, перпендикулярной АВ: Проводим перпендикуляр из точки С к прямой АВ. Алгоритм построения тот же. Из точки С проводим дугу, пересекающую прямую АВ в двух точках. Из этих двух точек пересечения проводим новые дуги одинакового радиуса до их взаимного пересечения. Прямая, соединяющая точку С и новую точку пересечения дуг, и будет искомым перпендикуляром. Обозначим ее $c_2$. Получаем $c_2 \perp АВ$.

В результате на чертеже изображен угол $\angle АВК = 146^\circ$, точка С на луче ВК, и две прямые $c_1$ и $c_2$, проходящие через точку С, такие что $c_1 \perp ВК$ и $c_2 \perp АВ$.

Ответ: Построен угол $\angle АВК = 146^\circ$, на луче ВК отмечена точка С, через которую проведены две прямые: одна перпендикулярна прямой ВК, а другая — прямой АВ.

1347. Перерисуйте в тетрадь рисунок 220. Проведите через точку O прямые, перпендикулярные прямым AB, CD и EF.

Рис. 220

Для решения этой задачи необходимо выполнить геометрическое построение перпендикулярных прямых. Построение будем выполнять для каждой из заданных прямых (AB, CD, EF) так, чтобы построенные прямые проходили через точку O. Для этого удобно использовать чертежный угольник (с прямым углом) и линейку.

Проведение прямой, перпендикулярной прямой AB

1. Приложите одну из сторон угольника, образующих прямой угол (катет), к прямой AB.
2. Перемещайте угольник вдоль прямой AB до тех пор, пока его вторая сторона, образующая прямой угол, не пройдет через точку O.
3. Проведите прямую через точку O вдоль этой второй стороны угольника. Обозначим эту прямую буквой $m$.
4. По построению, полученная прямая $m$ проходит через точку O и перпендикулярна прямой AB. Это записывается как $m \perp AB$.

Проведение прямой, перпендикулярной прямой CD

1. Повторите аналогичные действия для прямой CD.
2. Приложите один из катетов угольника к прямой CD.
3. Двигайте угольник вдоль прямой CD, пока его второй катет не будет проходить через точку O.
4. Проведите новую прямую через точку O вдоль этого катета. Обозначим эту прямую буквой $n$.
5. По построению, прямая $n$ перпендикулярна прямой CD ($n \perp CD$).

Проведение прямой, перпендикулярной прямой EF

1. Выполните те же шаги для последней прямой EF.
2. Приложите катет угольника к прямой EF.
3. Совместите второй катет с точкой O, двигая угольник вдоль прямой EF.
4. Проведите прямую через точку O вдоль этого катета. Обозначим ее буквой $k$.
5. По построению, прямая $k$ перпендикулярна прямой EF ($k \perp EF$).

В результате на чертеже будут построены три новые прямые $m, n, k$, которые проходят через точку O и перпендикулярны исходным прямым AB, CD и EF соответственно.

Ответ:

На рисунке ниже представлен итоговый чертеж. Исходные прямые AB, CD, EF и точка O изображены черным цветом. Построенные перпендикулярные прямые $m$, $n$ и $k$ изображены красным цветом. Прямые углы между перпендикулярными прямыми обозначены специальным символом (квадратиком).

Построенные прямые удовлетворяют условиям: $m \perp AB$, $n \perp CD$ и $k \perp EF$.

1348. Начертите остроугольный треугольник и отметьте внутри него точку.

Проведите через эту точку прямые, перпендикулярные сторонам треугольника.

Для решения этой задачи выполним построение по шагам.

1. Начертите остроугольный треугольник и отметьте внутри него точку.

   Сначала нарисуем треугольник $△ABC$, у которого все углы меньше $90^\circ$ (острые). Затем внутри этого треугольника выберем произвольное место и поставим точку $M$.

2. Проведите через эту точку прямые, перпендикулярные сторонам треугольника.

   Далее, используя угольник или циркуль с линейкой, построим три прямые, проходящие через точку $M$ и перпендикулярные каждой из сторон треугольника:

   • Проведем прямую $l$, проходящую через $M$ и перпендикулярную стороне $AB$ ($l \perp AB$).
   • Проведем прямую $m$, проходящую через $M$ и перпендикулярную стороне $BC$ ($m \perp BC$).
   • Проведем прямую $k$, проходящую через $M$ и перпендикулярную стороне $AC$ ($k \perp AC$).

   Для построения, например, прямой $l$, нужно приложить одну сторону угольника к стороне $AB$ и перемещать его, пока вторая сторона не пройдет через точку $M$. Затем по этой второй стороне провести прямую.

Результат построений показан на чертеже ниже:

Ответ: Чертеж с выполненным построением представлен выше.