Страница 275 - гдз по математике 6 класс учебник Мерзляк, Полонский

1. Какие две прямые называют перпендикулярными?

1.

Две прямые на плоскости называют перпендикулярными (или взаимно перпендикулярными), если они пересекаются под прямым углом. Величина прямого угла составляет $90$ градусов ($90^\circ$).

Когда две прямые пересекаются, они образуют четыре неразвернутых угла. Если один из этих углов прямой, то и остальные три угла также будут прямыми. Это следует из свойств смежных и вертикальных углов:

• Смежные углы (углы, имеющие общую сторону, а две другие стороны которых являются дополнительными лучами) в сумме дают $180^\circ$. Если один угол равен $90^\circ$, то смежный с ним тоже равен $180^\circ - 90^\circ = 90^\circ$.
• Вертикальные углы (углы, у которых стороны одного являются продолжением сторон другого) равны. Поэтому угол, вертикальный прямому углу, также равен $90^\circ$.

Для обозначения перпендикулярности прямых, например, прямых $a$ и $b$, используется специальный символ $\perp$. Запись $a \perp b$ читается как «прямая $a$ перпендикулярна прямой $b$».

Понятие перпендикулярности также распространяется на отрезки и лучи. Два отрезка (или луча) называются перпендикулярными, если они лежат на перпендикулярных прямых.

Ответ: Две прямые называют перпендикулярными, если они пересекаются под прямым углом, то есть под углом в $90^\circ$.

2. Как читают запись $m \perp n$?

2. Запись $m \perp n$ является стандартным математическим обозначением в геометрии и читается как: "прямая m перпендикулярна прямой n".

Разберем эту запись подробнее:

• Буквами $m$ и $n$ обычно обозначают прямые. Они читаются как "эм" и "эн".
• Символ $\perp$ является знаком перпендикулярности.

Перпендикулярными называют две прямые, которые пересекаются под прямым углом ($90^\circ$). Таким образом, запись $m \perp n$ кратко и однозначно передает информацию о взаимном расположении этих двух прямых.

Ответ: Прямая m перпендикулярна прямой n.

3. Какие отрезки называют перпендикулярными?

Два отрезка называют перпендикулярными, если они лежат на перпендикулярных прямых.

В свою очередь, две прямые считаются перпендикулярными, если при пересечении они образуют прямой угол. Величина прямого угла равна $90^\circ$.

Таким образом, чтобы определить, являются ли два отрезка перпендикулярными, нужно рассмотреть прямые, на которых они лежат. Если эти прямые пересекаются под углом $90^\circ$, то отрезки перпендикулярны. При этом сами отрезки могут как пересекаться, так и не иметь общих точек.

Для обозначения перпендикулярности используется специальный символ $\perp$. Если отрезок $AB$ перпендикулярен отрезку $CD$, это записывают так: $AB \perp CD$.

Ответ: Два отрезка называются перпендикулярными, если прямые, на которых они лежат, пересекаются под прямым углом ($90^\circ$).

1. При каких значениях а верно равенство $a : 5 = 5 : a$?

Данное равенство $a : 5 = 5 : a$ представляет собой пропорцию.

Запишем эту пропорцию в виде равенства дробей:

$\frac{a}{5} = \frac{5}{a}$

Важным условием является то, что знаменатель дроби не может быть равен нулю, следовательно, $a \neq 0$.

Чтобы решить это уравнение, воспользуемся основным свойством пропорции (правилом перекрестного умножения), согласно которому произведение крайних членов пропорции равно произведению ее средних членов.

$a \cdot a = 5 \cdot 5$

$a^2 = 25$

Теперь найдем значения $a$, извлекая квадратный корень из обеих частей уравнения. У этого уравнения есть два решения:

$a_1 = \sqrt{25} = 5$

$a_2 = -\sqrt{25} = -5$

Оба значения ($5$ и $-5$) удовлетворяют начальному условию $a \neq 0$.

Сделаем проверку:

• При $a = 5$: $5 : 5 = 1$ и $5 : 5 = 1$. Равенство $1 = 1$ верно.
• При $a = -5$: $-5 : 5 = -1$ и $5 : (-5) = -1$. Равенство $-1 = -1$ верно.

Таким образом, равенство верно при $a = 5$ и $a = -5$.

Ответ: -5; 5.

2. Приготовили блины и сырники, причём блинов было в 3 раза больше, чем сырников. Сколько блинов и сколько сырников приготовили, если сырников было на 20 меньше, чем блинов?

Для решения задачи составим систему уравнений. Пусть $Б$ — это количество блинов, а $С$ — это количество сырников.

Из первого условия задачи известно, что блинов было в 3 раза больше, чем сырников. Это можно записать в виде уравнения:

$Б = 3С$

Из второго условия известно, что сырников было на 20 меньше, чем блинов. Это можно записать в виде второго уравнения:

$Б - С = 20$

Теперь у нас есть система из двух уравнений:

$\begin{cases} Б = 3С \\ Б - С = 20 \end{cases}$

Подставим значение $Б$ из первого уравнения во второе:

$(3С) - С = 20$

Упростим и решим полученное уравнение:

$2С = 20$

$С = 20 / 2$

$С = 10$

Таким образом, мы нашли, что приготовили 10 сырников.

Теперь найдем количество блинов, подставив значение $С$ в первое уравнение:

$Б = 3 * 10$

$Б = 30$

Следовательно, приготовили 30 блинов.

Выполним проверку:

1. Количество блинов (30) в 3 раза больше количества сырников (10): $30 = 3 \times 10$. Верно.

2. Количество сырников (10) на 20 меньше количества блинов (30): $30 - 10 = 20$. Верно.

Ответ: приготовили 30 блинов и 10 сырников.

3. Найдите периметр треугольника $ABC$, если сторона $BC$ в 2 раза меньше стороны $AB$ и $AB = AC = 5$ см.

По условию задачи нам даны длины двух сторон треугольника $ABC$: $AB = 5$ см и $AC = 5$ см.

Также известно, что сторона $BC$ в 2 раза меньше стороны $AB$. Это означает, что для нахождения длины $BC$ нужно разделить длину $AB$ на 2.
$BC = \frac{AB}{2} = \frac{5 \text{ см}}{2} = 2,5 \text{ см}$

Периметр треугольника ($P$) равен сумме длин всех его сторон. Для треугольника $ABC$ формула периметра выглядит так:
$P_{ABC} = AB + BC + AC$

Подставим известные значения длин сторон в эту формулу:
$P_{ABC} = 5 \text{ см} + 2,5 \text{ см} + 5 \text{ см} = 12,5 \text{ см}$

Ответ: 12,5 см.

4. Площади полей, вспаханных тремя трактористами, относятся как $2 : 3 : 7$. За всю работу им заплатили 48 000 р. Сколько рублей получил каждый тракторист, если деньги были распределены пропорционально выполненному объёму работы?

Поскольку деньги были распределены пропорционально выполненному объёму работы, общую сумму в 48 000 рублей нужно разделить в отношении $2:3:7$.

1. Найдём общее количество частей в отношении.
Для этого сложим все части отношения: $2 + 3 + 7 = 12$ (частей).

2. Определим, какая сумма приходится на одну часть.
Разделим общую сумму денег на общее количество частей: $48000 / 12 = 4000$ (рублей).

3. Рассчитаем, сколько денег получил каждый тракторист.
Умножим сумму, приходящуюся на одну часть, на количество частей каждого тракториста:

• Первый тракторист (2 части):
  $2 \times 4000 = 8000$ рублей.
• Второй тракторист (3 части):
  $3 \times 4000 = 12000$ рублей.
• Третий тракторист (7 частей):
  $7 \times 4000 = 28000$ рублей.

Проверка: $8000 + 12000 + 28000 = 48000$ рублей. Сумма верна.

Ответ: первый тракторист получил 8000 рублей, второй – 12000 рублей, третий – 28000 рублей.

1339. На рисунке 217 изображён квадрат $MNKP$. Запишите все пары перпендикулярных прямых.

Рис. 217

Чтобы найти все пары перпендикулярных прямых на рисунке, необходимо использовать свойства квадрата MNKP. Перпендикулярными называются прямые, которые пересекаются под прямым углом ($90^\circ$).

1. Смежные стороны квадрата. По определению, все углы квадрата являются прямыми. Это означает, что прямые, на которых лежат смежные (соседние) стороны квадрата, перпендикулярны.

• Прямая MN перпендикулярна прямой NK (так как угол при вершине N прямой: $ \angle MNK = 90^\circ $).
• Прямая NK перпендикулярна прямой KP (так как угол при вершине K прямой: $ \angle NKP = 90^\circ $).
• Прямая KP перпендикулярна прямой PM (так как угол при вершине P прямой: $ \angle KPM = 90^\circ $).
• Прямая PM перпендикулярна прямой MN (так как угол при вершине M прямой: $ \angle PMN = 90^\circ $).

2. Диагонали квадрата. Одним из ключевых свойств квадрата является то, что его диагонали взаимно перпендикулярны. В квадрате MNKP диагоналями являются отрезки MK и NP. Следовательно, прямые, на которых лежат эти диагонали, также перпендикулярны.

• Прямая MK перпендикулярна прямой NP.

Собрав все найденные пары, получаем полный список.

Ответ: $MN \perp NK$, $NK \perp KP$, $KP \perp PM$, $PM \perp MN$, $MK \perp NP$.

1340. Найдите на рисунке 218 пары перпендикулярных прямых и запишите их.

Рис. 218

Перпендикулярные прямые — это прямые, которые пересекаются под прямым углом ($90^\circ$). Для нахождения таких прямых на рисунке 218 необходимо проанализировать углы, образованные при пересечении изображенных прямых.

На рисунке можно выделить следующие прямые, названные по точкам, через которые они проходят:
- прямая AC (проходит через точки A и C);
- прямая FT (проходит через точки F, E и T);
- прямая KE (проходит через точки K и E);
- прямая MO (проходит через точки M и O).

Визуальный анализ показывает, что прямая FT расположена горизонтально, а прямая MO — вертикально. Угол между ними в точке их пересечения выглядит как прямой. Пересечения других пар прямых (например, AC и KE, или FT и KE) образуют острые и тупые углы, но не прямые.

Таким образом, на рисунке есть одна пара перпендикулярных прямых: FT и MO. Запись этого факта с использованием математического символа перпендикулярности ($ \perp $) выглядит следующим образом: $FT \perp MO$.

Ответ: $FT \perp MO$.