Страница 268 - гдз по математике 6 класс учебник Мерзляк, Полонский

1301. На изготовление мечей для Ильи Муромца, Алёши Поповича и Добрыни Никитича пошло 250 пудов железа. Меч Ильи Муромца в 2 раза тяжелее меча Алёши Поповича, а меч Добрыни Никитича на 14 пудов тяжелее меча Алёши Поповича. Сколько пудов железа пошло на меч Ильи Муромца?

Решение:

Для решения задачи введём переменную и составим уравнение. Пусть вес меча Алёши Поповича равен $x$ пудов. Исходя из условий задачи, мы можем выразить вес мечей других богатырей через $x$:

• Вес меча Алёши Поповича: $x$ пудов.
• Меч Ильи Муромца в 2 раза тяжелее меча Алёши Поповича, значит его вес: $2x$ пудов.
• Меч Добрыни Никитича на 14 пудов тяжелее меча Алёши Поповича, значит его вес: $(x + 14)$ пудов.

Общий вес всех трёх мечей составляет 250 пудов. Составим уравнение, сложив вес всех мечей:

$x + 2x + (x + 14) = 250$

Теперь решим это уравнение:

$4x + 14 = 250$

Перенесём число 14 в правую часть уравнения, изменив его знак:

$4x = 250 - 14$

$4x = 236$

Найдём $x$, разделив обе части на 4:

$x = 236 / 4$

$x = 59$

Мы нашли вес меча Алёши Поповича — он равен 59 пудов. Вопрос задачи — найти вес меча Ильи Муромца. Его вес равен $2x$.

$2 \times 59 = 118$ (пудов)

Таким образом, на меч Ильи Муромца пошло 118 пудов железа.

Ответ: 118 пудов.

1302. В 2017 г. в России действовали 1794 искусствоведческих, краеведческих и естественно-научных музея. Естественно-научных музеев было в 8,5 раза меньше, чем искусствоведческих, и на 1374 музея меньше, чем краеведческих. Сколько действовало музеев каждого из этих трёх видов?

Пермский краеведческий музей

Для решения задачи введем переменную. Пусть $x$ — количество естественно-научных музеев. Тогда, исходя из условий задачи:

Количество искусствоведческих музеев составляет $8.5x$, так как естественно-научных музеев в 8,5 раз меньше.

Количество краеведческих музеев составляет $x + 1374$, так как естественно-научных музеев на 1374 меньше.

Общее число музеев всех трех видов равно 1794. Составим и решим уравнение:

$x + 8.5x + (x + 1374) = 1794$

Сгруппируем слагаемые с переменной $x$ и решим уравнение:

$(1 + 8.5 + 1)x + 1374 = 1794$

$10.5x + 1374 = 1794$

$10.5x = 1794 - 1374$

$10.5x = 420$

$x = \frac{420}{10.5}$

$x = 40$

Зная значение $x$, можем найти количество музеев каждого вида.

Естественно-научные музеи
Количество этих музеев равно $x$.
$x = 40$ музеев.
Ответ: 40 естественно-научных музеев.

Искусствоведческие музеи
Количество этих музеев равно $8.5x$.
$8.5 \times 40 = 340$ музеев.
Ответ: 340 искусствоведческих музеев.

Краеведческие музеи
Количество этих музеев равно $x + 1374$.
$40 + 1374 = 1414$ музеев.
Ответ: 1414 краеведческих музеев.

1303. Периметр треугольника равен 166 см. Одна из его сторон в 5 раз больше второй, которая на 68 см меньше третьей. Вычислите длины сторон треугольника.

Для решения задачи обозначим длину второй стороны треугольника через переменную $x$ см.

Согласно условию, одна из сторон (назовем ее первой) в 5 раз больше второй. Следовательно, ее длина составляет $5x$ см.

Также по условию, вторая сторона на 68 см меньше третьей. Это означает, что третья сторона на 68 см длиннее второй, и ее длина равна $(x + 68)$ см.

Периметр треугольника — это сумма длин всех его сторон. Зная, что периметр равен 166 см, можем составить уравнение:

$x + 5x + (x + 68) = 166$

Теперь решим это уравнение. Сначала упростим левую часть:

$7x + 68 = 166$

Перенесем 68 в правую часть уравнения, изменив знак на противоположный:

$7x = 166 - 68$

$7x = 98$

Найдем $x$, разделив обе части уравнения на 7:

$x = \frac{98}{7}$

$x = 14$

Таким образом, длина второй стороны треугольника составляет 14 см.

Теперь найдем длины двух других сторон:

Длина первой стороны: $5x = 5 \cdot 14 = 70$ см.

Длина третьей стороны: $x + 68 = 14 + 68 = 82$ см.

Проверим, соответствует ли сумма найденных сторон заданному периметру:

$14 \text{ см} + 70 \text{ см} + 82 \text{ см} = 166 \text{ см}$

Сумма сторон равна периметру, значит, задача решена верно.

Ответ: длины сторон треугольника равны 14 см, 70 см и 82 см.

1304. Одна сторона треугольника в 7 раз меньше второй и на 66 см меньше третьей. Найдите стороны треугольника, если его периметр равен 174 см.

Пусть длина первой, самой меньшей, стороны треугольника равна $x$ см.

Из условия задачи известно, что первая сторона в 7 раз меньше второй. Это означает, что вторая сторона в 7 раз больше первой, и ее длина составляет $7x$ см.

Также известно, что первая сторона на 66 см меньше третьей. Следовательно, третья сторона на 66 см больше первой, и ее длина равна $(x + 66)$ см.

Периметр треугольника — это сумма длин всех его сторон. По условию, периметр равен 174 см. Можем составить уравнение, приравняв сумму длин сторон к периметру:

$x + 7x + (x + 66) = 174$

Теперь решим это уравнение. Сначала сложим все слагаемые с переменной $x$:

$9x + 66 = 174$

Перенесем число 66 в правую часть уравнения, изменив его знак на противоположный:

$9x = 174 - 66$

$9x = 108$

Чтобы найти $x$, разделим обе части уравнения на 9:

$x = 108 / 9$

$x = 12$

Итак, мы нашли длину первой стороны — она равна 12 см.

Теперь найдем длины двух других сторон:

Вторая сторона: $7x = 7 \cdot 12 = 84$ см.

Третья сторона: $x + 66 = 12 + 66 = 78$ см.

Проверим полученный результат, сложив длины сторон: $12 + 84 + 78 = 96 + 78 = 174$ см. Периметр совпадает с заданным в условии, значит, задача решена верно.

Ответ: стороны треугольника равны 12 см, 84 см и 78 см.

1305. Килограмм апельсинов дороже килограмма яблок на 64 р. За 5 кг апельсинов заплатили столько, сколько заплатили за 9 кг яблок. Сколько стоит 1 кг апельсинов? 1 кг яблок?

Для решения задачи введем переменные. Пусть $x$ — цена 1 кг яблок в рублях, а $y$ — цена 1 кг апельсинов в рублях.

Согласно условию, килограмм апельсинов дороже килограмма яблок на 64 рубля. Составим первое уравнение:

$y = x + 64$

Также по условию, за 5 кг апельсинов заплатили столько же, сколько за 9 кг яблок. Стоимость 5 кг апельсинов — это $5y$, а стоимость 9 кг яблок — это $9x$. Составим второе уравнение:

$5y = 9x$

Получаем систему из двух линейных уравнений с двумя переменными:

$\begin{cases} y = x + 64 \\ 5y = 9x \end{cases}$

Для решения системы используем метод подстановки. Подставим выражение для $y$ из первого уравнения во второе:

$5(x + 64) = 9x$

Раскроем скобки:

$5x + 320 = 9x$

Перенесем слагаемые с $x$ в одну сторону уравнения, а известные числа — в другую:

$320 = 9x - 5x$

$320 = 4x$

Теперь найдем $x$:

$x = \frac{320}{4}$

$x = 80$

Итак, цена 1 кг яблок составляет 80 рублей.

Теперь найдем цену 1 кг апельсинов, подставив найденное значение $x$ в первое уравнение:

$y = 80 + 64$

$y = 144$

Таким образом, цена 1 кг апельсинов составляет 144 рубля.

Выполним проверку:

1. Разница в цене: $144 - 80 = 64$ рубля. Условие выполняется.

2. Стоимость 5 кг апельсинов: $5 \times 144 = 720$ рублей.

3. Стоимость 9 кг яблок: $9 \times 80 = 720$ рублей.

Стоимости равны, что также соответствует условию задачи.

Сколько стоит 1 кг апельсинов? 1 кг яблок?

Ответ: 1 кг апельсинов стоит 144 рубля, 1 кг яблок стоит 80 рублей.

1306. За 6 кг мармелада заплатили столько, сколько заплатили за 3,5 кг шоколадных конфет. Какова цена каждого вида сладостей, если 1 кг мармелада дешевле 1 кг шоколадных конфет на 250 р.?

Пусть цена 1 кг шоколадных конфет составляет $x$ рублей.
Поскольку 1 кг мармелада дешевле 1 кг шоколадных конфет на 250 рублей, то цена 1 кг мармелада составляет $(x - 250)$ рублей.

Стоимость 6 кг мармелада равна $6 \cdot (x - 250)$ рублей.
Стоимость 3,5 кг шоколадных конфет равна $3,5 \cdot x$ рублей.

Согласно условию задачи, эти стоимости равны. Составим и решим уравнение:
$6(x - 250) = 3,5x$

Раскроем скобки в левой части уравнения:
$6x - 1500 = 3,5x$

Перенесем слагаемые с переменной $x$ в левую часть уравнения, а свободные члены — в правую:
$6x - 3,5x = 1500$

Приведем подобные слагаемые:
$2,5x = 1500$

Найдем $x$:
$x = \frac{1500}{2,5}$
$x = \frac{15000}{25}$
$x = 600$

Таким образом, цена 1 кг шоколадных конфет составляет 600 рублей.

Теперь найдем цену 1 кг мармелада:
$x - 250 = 600 - 250 = 350$ рублей.

Проверка:
$6 \text{ кг мармелада} \cdot 350 \text{ р./кг} = 2100 \text{ р.}$
$3,5 \text{ кг конфет} \cdot 600 \text{ р./кг} = 2100 \text{ р.}$
$2100 = 2100$. Решение верное.

Ответ: цена 1 кг мармелада — 350 р., цена 1 кг шоколадных конфет — 600 р.

1307.Машина бабушка засолила 122 кг капусты в 7 больших и 4 маленьких кадках. Сколько килограммов капусты входило в каждую кадку, если в большой кадке было на 8 кг капусты больше, чем в маленькой?

Для решения задачи составим уравнение.

Пусть $x$ кг капусты входило в маленькую кадку.

Поскольку в большой кадке было на 8 кг капусты больше, то в большую кадку входило $(x + 8)$ кг капусты.

В 7 больших кадках было $7 \cdot (x + 8)$ кг капусты, а в 4 маленьких кадках — $4 \cdot x$ кг.

Всего засолили 122 кг капусты. Составим и решим уравнение:

$7 \cdot (x + 8) + 4x = 122$

$7x + 56 + 4x = 122$

$11x + 56 = 122$

$11x = 122 - 56$

$11x = 66$

$x = 66 / 11$

$x = 6$

Таким образом, в маленькую кадку входило 6 кг капусты.

Теперь найдем, сколько килограммов капусты входило в большую кадку:

$6 + 8 = 14$ (кг)

Проверим: 7 больших кадок по 14 кг это $7 \cdot 14 = 98$ кг. 4 маленькие кадки по 6 кг это $4 \cdot 6 = 24$ кг. Всего: $98 + 24 = 122$ кг. Решение верное.

Ответ: в маленькую кадку входило 6 кг капусты, а в большую — 14 кг капусты.

1308. Фермер продал 8 кг свинины и 15 кг говядины за 10 380 р. Сколько стоил 1 кг свинины и сколько стоил 1 кг говядины, если свинина дешевле говядины на 140 р. за килограмм?

Для решения задачи введем переменные. Пусть $x$ — цена 1 кг говядины в рублях, а $y$ — цена 1 кг свинины в рублях.

Согласно условию, фермер продал 8 кг свинины и 15 кг говядины за 10 380 рублей. На основе этого можно составить первое уравнение:

$8y + 15x = 10380$

Также из условия известно, что свинина дешевле говядины на 140 рублей за килограмм. Это позволяет нам составить второе уравнение:

$y = x - 140$

Мы получили систему из двух линейных уравнений с двумя переменными:

$\begin{cases}8y + 15x = 10380 \\y = x - 140\end{cases}$

Для решения системы воспользуемся методом подстановки. Подставим выражение для $y$ из второго уравнения в первое:

$8(x - 140) + 15x = 10380$

Теперь решим полученное уравнение относительно $x$. Сначала раскроем скобки:

$8x - 8 \cdot 140 + 15x = 10380$

$8x - 1120 + 15x = 10380$

Приведем подобные слагаемые:

$23x - 1120 = 10380$

Перенесем -1120 в правую часть уравнения, изменив знак на противоположный:

$23x = 10380 + 1120$

$23x = 11500$

Найдем $x$, разделив обе части уравнения на 23:

$x = \frac{11500}{23}$

$x = 500$

Таким образом, цена 1 кг говядины составляет 500 рублей.

Теперь найдем цену 1 кг свинины, подставив найденное значение $x = 500$ во второе уравнение системы:

$y = x - 140$

$y = 500 - 140$

$y = 360$

Следовательно, цена 1 кг свинины составляет 360 рублей.

Ответ: 1 кг свинины стоил 360 рублей, а 1 кг говядины — 500 рублей.

1309. Пешеход преодолел расстояние между двумя посёлками за 7 ч, а всадник — за 3 ч. Найдите скорости пешехода и всадника, если скорость пешехода на 5,6 км/ч меньше скорости всадника.

Пусть скорость пешехода равна $x$ км/ч. Согласно условию, скорость пешехода на 5,6 км/ч меньше скорости всадника, значит, скорость всадника равна $(x + 5,6)$ км/ч.

Расстояние (S) равно произведению скорости (v) на время (t): $S = v \cdot t$.

Пешеход преодолел расстояние за 7 часов, следовательно, расстояние равно $7x$ км.

Всадник преодолел то же самое расстояние за 3 часа, следовательно, расстояние равно $3(x + 5,6)$ км.

Так как они прошли одно и то же расстояние, мы можем приравнять эти два выражения и составить уравнение:

$7x = 3(x + 5,6)$

Раскроем скобки в правой части уравнения:

$7x = 3x + 3 \cdot 5,6$

$7x = 3x + 16,8$

Перенесём слагаемые с переменной $x$ в левую часть уравнения:

$7x - 3x = 16,8$

$4x = 16,8$

Теперь найдём $x$, разделив обе части уравнения на 4:

$x = \frac{16,8}{4}$

$x = 4,2$

Итак, скорость пешехода равна 4,2 км/ч.

Теперь найдём скорость всадника, подставив значение $x$:

$x + 5,6 = 4,2 + 5,6 = 9,8$ км/ч.

Проверим решение. Расстояние, пройденное пешеходом: $4,2 \text{ км/ч} \cdot 7 \text{ ч} = 29,4 \text{ км}$. Расстояние, пройденное всадником: $9,8 \text{ км/ч} \cdot 3 \text{ ч} = 29,4 \text{ км}$. Расстояния равны, значит, задача решена верно.

Ответ: скорость пешехода — 4,2 км/ч, скорость всадника — 9,8 км/ч.

1310. Для перевозки школьников в спортивный лагерь надо заказать 12 микроавтобусов или 5 больших автобусов. Сколько школьников нужно перевезти, если в большом автобусе на 35 мест больше, чем в микроавтобусе (в автобусах не должно быть свободных мест)?

Для решения задачи составим уравнение. Пусть $x$ — это количество мест в одном микроавтобусе.

Из условия известно, что в большом автобусе на 35 мест больше, следовательно, количество мест в большом автобусе можно выразить как $x + 35$.

Общее количество школьников можно вычислить двумя способами:

1. Через микроавтобусы: для перевозки всех школьников нужно 12 микроавтобусов, значит, общее число школьников равно $12 \times x$.

2. Через большие автобусы: для перевозки всех школьников нужно 5 больших автобусов, значит, общее число школьников равно $5 \times (x + 35)$.

Так как общее количество школьников в обоих случаях одинаково, мы можем приравнять эти два выражения и решить получившееся уравнение:

$12x = 5(x + 35)$

Раскроем скобки в правой части уравнения:

$12x = 5x + 175$

Перенесем все слагаемые с переменной $x$ в левую часть уравнения:

$12x - 5x = 175$

$7x = 175$

Найдем значение $x$:

$x = \frac{175}{7}$

$x = 25$

Таким образом, в одном микроавтобусе 25 мест.

Теперь, чтобы найти общее количество школьников, умножим количество мест в микроавтобусе на количество микроавтобусов:

$12 \times 25 = 300$

Проверим результат, вычислив общее количество школьников через большие автобусы. Сначала найдем количество мест в одном большом автобусе:

$25 + 35 = 60$ мест.

Теперь умножим количество мест в большом автобусе на их количество:

$5 \times 60 = 300$

Оба результата совпали.

Ответ: 300 школьников.