Страница 264 - гдз по математике 6 класс учебник Мерзляк, Полонский

1284.При каком значении переменной:

1) значение выражения $5x - 0,4(7x - 9)$ равно $2,94$;

2) выражения $0,4(6 + 4y)$ и $0,5(7 - 3y) - 1,9$ принимают равные значения;

3) значение выражения $-3(2,1x - 4) - 1,6$ на $2,6$ больше значения выражения $1,2(0,5 - 5x)$;

4) значение выражения $a + 8$ в $7$ раз меньше значения выражения $90 - 3a$?

1) значение выражения $5x - 0,4(7x - 9)$ равно 2,94;

Для нахождения искомого значения переменной $x$ составим и решим уравнение на основе условия задачи:

$5x - 0,4(7x - 9) = 2,94$

Сначала раскроем скобки, умножив $-0,4$ на каждый член в скобках:

$5x - 0,4 \cdot 7x - 0,4 \cdot (-9) = 2,94$

$5x - 2,8x + 3,6 = 2,94$

Теперь приведем подобные слагаемые с переменной $x$ в левой части уравнения:

$(5 - 2,8)x + 3,6 = 2,94$

$2,2x + 3,6 = 2,94$

Перенесем константу $3,6$ в правую часть уравнения с противоположным знаком:

$2,2x = 2,94 - 3,6$

$2,2x = -0,66$

Наконец, найдем $x$, разделив обе части уравнения на $2,2$:

$x = \frac{-0,66}{2,2} = -0,3$

Ответ: -0,3.

2) выражения $0,4(6 - 4y)$ и $0,5(7 - 3y) - 1,9$ принимают равные значения;

Чтобы найти значение переменной $y$, при котором выражения равны, составим уравнение, приравняв их:

$0,4(6 - 4y) = 0,5(7 - 3y) - 1,9$

Раскроем скобки в обеих частях уравнения:

$0,4 \cdot 6 - 0,4 \cdot 4y = 0,5 \cdot 7 - 0,5 \cdot 3y - 1,9$

$2,4 - 1,6y = 3,5 - 1,5y - 1,9$

Упростим правую часть, выполнив вычитание констант:

$2,4 - 1,6y = (3,5 - 1,9) - 1,5y$

$2,4 - 1,6y = 1,6 - 1,5y$

Соберем все слагаемые с $y$ в одной части, а свободные члены — в другой. Перенесем $-1,6y$ вправо и $1,6$ влево, меняя знаки:

$2,4 - 1,6 = 1,6y - 1,5y$

$0,8 = 0,1y$

Чтобы найти $y$, разделим обе части на $0,1$:

$y = \frac{0,8}{0,1} = 8$

Ответ: 8.

3) значение выражения $-3(2,1x - 4) - 1,6$ на 2,6 больше значения выражения $1,2(0,5 - 5x)$;

Условие "одно выражение на $2,6$ больше другого" означает, что если к меньшему выражению прибавить $2,6$, оно станет равно большему. Составим уравнение:

$-3(2,1x - 4) - 1,6 = 1,2(0,5 - 5x) + 2,6$

Раскроем скобки в обеих частях:

$-3 \cdot 2,1x - 3 \cdot (-4) - 1,6 = 1,2 \cdot 0,5 - 1,2 \cdot 5x + 2,6$

$-6,3x + 12 - 1,6 = 0,6 - 6x + 2,6$

Упростим обе части, выполнив действия с константами:

$-6,3x + 10,4 = 3,2 - 6x$

Перенесем слагаемые с $x$ в одну сторону, а константы — в другую:

$6,3x - 6x = 10,4 - 3,2$

$0,3x = 7,2$

Найдем $x$, разделив обе части на $0,3$:

$x = \frac{7,2}{0,3} = 24$

Ответ: 24.

4) значение выражения $a + 8$ в 7 раз меньше значения выражения $90 - 3a$?

Условие "одно выражение в 7 раз меньше другого" означает, что если умножить меньшее выражение на 7, оно станет равно большему. Составим уравнение:

$7 \cdot (a + 8) = 90 - 3a$

Раскроем скобки в левой части:

$7a + 56 = 90 - 3a$

Перенесем слагаемые с переменной $a$ влево, а константы — вправо:

$7a + 3a = 90 - 56$

Приведем подобные слагаемые:

$10a = 34$

Найдем $a$, разделив обе части на $10$:

$a = \frac{34}{10} = 3,4$

Ответ: 3,4.

1285. При каком значении переменной:

1) значение выражения $2,5x + 3(0,5x - 1,8)$ равно $-3,8$;

2) выражения $7 - 2x$ и $9x - 8(x + 1)$ принимают равные значения;

3) значение выражения $3(m + 1,4) - 6,4$ на $0,7$ меньше значения выражения $8m - 15(m - 1,1)$;

4) значение выражения $5n - 1$ в $6$ раз больше значения выражения $2n - 13$?

1) Чтобы найти значение переменной, приравняем выражение к заданному значению и решим полученное уравнение:

$2,5x + 3(0,5x - 1,8) = -3,8$

Раскроем скобки, умножив 3 на каждый член в скобках:

$2,5x + 3 \cdot 0,5x - 3 \cdot 1,8 = -3,8$

$2,5x + 1,5x - 5,4 = -3,8$

Приведем подобные слагаемые в левой части уравнения:

$4x - 5,4 = -3,8$

Перенесем $-5,4$ в правую часть уравнения, изменив знак на противоположный:

$4x = -3,8 + 5,4$

$4x = 1,6$

Найдем $x$, разделив обе части на 4:

$x = 1,6 : 4$

$x = 0,4$

Ответ: $0,4$.

2) Если выражения принимают равные значения, мы можем их приравнять друг к другу:

$7 - 2x = 9x - 8(x + 1)$

Раскроем скобки в правой части уравнения:

$7 - 2x = 9x - 8x - 8$

Приведем подобные слагаемые в правой части:

$7 - 2x = x - 8$

Перенесем слагаемые, содержащие $x$, в правую часть, а числа — в левую, меняя их знаки:

$7 + 8 = x + 2x$

$15 = 3x$

Найдем $x$:

$x = 15 : 3$

$x = 5$

Ответ: $5$.

3) Условие "значение выражения А на 0,7 меньше значения выражения B" означает, что если к значению выражения А прибавить 0,7, то оно станет равно значению выражения B. Запишем это в виде уравнения: $A + 0,7 = B$.

$(3(m + 1,4) - 6,4) + 0,7 = 8m - 15(m - 1,1)$

Сначала упростим обе части уравнения, раскрыв скобки:

Левая часть: $3m + 3 \cdot 1,4 - 6,4 + 0,7 = 3m + 4,2 - 6,4 + 0,7 = 3m - 1,5$

Правая часть: $8m - 15m - 15 \cdot (-1,1) = 8m - 15m + 16,5 = -7m + 16,5$

Теперь решим полученное уравнение:

$3m - 1,5 = -7m + 16,5$

Перенесем слагаемые с переменной в левую часть, а числа — в правую:

$3m + 7m = 16,5 + 1,5$

$10m = 18$

Найдем $m$:

$m = 18 : 10$

$m = 1,8$

Ответ: $1,8$.

4) Условие "значение выражения А в 6 раз больше значения выражения B" можно записать как уравнение $A = 6 \cdot B$. Составим уравнение по этому условию:

$5n - 1 = 6 \cdot (2n - 13)$

Раскроем скобки в правой части уравнения:

$5n - 1 = 12n - 78$

Перенесем слагаемые с переменной $n$ в правую часть, а числа — в левую:

$78 - 1 = 12n - 5n$

$77 = 7n$

Найдем $n$:

$n = 77 : 7$

$n = 11$

Ответ: $11$.

1286. При каком значении $a$ уравнение:

1) $5ax = 14 - x$ имеет корень, равный числу 4;

2) $(2a + 1)x = -6a + 2x - 13$ имеет корень, равный числу -1?

1)

Если корень уравнения $5ax = 14 - x$ равен 4, то при подстановке $x = 4$ в уравнение мы получим верное числовое равенство. Подставим это значение и решим полученное уравнение относительно $a$.
$5a \cdot 4 = 14 - 4$
$20a = 10$
$a = \frac{10}{20}$
$a = 0,5$

Ответ: $0,5$.

2)

Если корень уравнения $(2a + 1)x = -6a + 2x - 13$ равен -1, то при подстановке $x = -1$ в уравнение мы получим верное числовое равенство. Подставим это значение и решим полученное уравнение относительно $a$.
$(2a + 1) \cdot (-1) = -6a + 2 \cdot (-1) - 13$
Раскроем скобки:
$-2a - 1 = -6a - 2 - 13$
Упростим правую часть:
$-2a - 1 = -6a - 15$
Перенесем слагаемые с переменной $a$ в левую часть, а числа — в правую:
$-2a + 6a = -15 + 1$
$4a = -14$
$a = \frac{-14}{4}$
$a = -3,5$

Ответ: $-3,5$.

1287. При каком значении $a$ уравнение:

1) $4ax = 84$ имеет корень, равный числу $-3$;

2) $(a - 7)x = 6 + 5a$ имеет корень, равный числу $1$?

1)

По условию, уравнение $4ax = 84$ имеет корень, равный числу -3. Это означает, что если подставить $x = -3$ в уравнение, то получится верное равенство. Наша задача — найти значение параметра $a$, при котором это условие выполняется.

Подставим $x = -3$ в исходное уравнение:

$4 \cdot a \cdot (-3) = 84$

Выполним умножение в левой части уравнения:

$-12a = 84$

Чтобы найти $a$, разделим обе части уравнения на -12:

$a = \frac{84}{-12}$

$a = -7$

Проверим: если $a = -7$, уравнение примет вид $4 \cdot (-7) \cdot x = 84$, или $-28x = 84$. Корень этого уравнения $x = \frac{84}{-28} = -3$, что соответствует условию задачи.

Ответ: -7.

2)

По условию, уравнение $(a - 7)x = 6 + 5a$ имеет корень, равный числу 1. Это означает, что при подстановке $x = 1$ в уравнение мы получим верное равенство, из которого сможем найти $a$.

Подставим $x = 1$ в исходное уравнение:

$(a - 7) \cdot 1 = 6 + 5a$

Упростим левую часть:

$a - 7 = 6 + 5a$

Теперь решим полученное линейное уравнение относительно $a$. Сгруппируем слагаемые с $a$ в левой части, а постоянные члены — в правой. Для этого перенесем $5a$ из правой части в левую и -7 из левой в правую, изменив их знаки:

$a - 5a = 6 + 7$

Приведем подобные слагаемые в обеих частях уравнения:

$-4a = 13$

Чтобы найти $a$, разделим обе части уравнения на -4:

$a = \frac{13}{-4}$

$a = -3,25$

Проверим: если $a = -3,25$, то левая часть уравнения при $x=1$ равна $(-3,25 - 7) \cdot 1 = -10,25$. Правая часть равна $6 + 5 \cdot (-3,25) = 6 - 16,25 = -10,25$. Равенство верно.

Ответ: -3,25.

1288. Решите уравнение:

1) $3(6x - 1) = 2(9x + 1) - 10,$

2) $1,4(2 - 5x) = 15 - (7x + 12,2).$

1) Решим уравнение $3(6x - 1) = 2(9x + 1) - 10$.
Сначала раскроем скобки в обеих частях уравнения, используя распределительное свойство умножения:
$3 \cdot 6x - 3 \cdot 1 = 2 \cdot 9x + 2 \cdot 1 - 10$
$18x - 3 = 18x + 2 - 10$
Теперь упростим правую часть уравнения:
$18x - 3 = 18x - 8$
Перенесем члены с переменной $x$ в левую часть уравнения, а свободные члены — в правую. При переносе член меняет свой знак на противоположный:
$18x - 18x = -8 + 3$
Приведем подобные слагаемые:
$0 \cdot x = -5$
$0 = -5$
Мы получили неверное числовое равенство. Это означает, что исходное уравнение не имеет решений (корней).
Ответ: корней нет.

2) Решим уравнение $1,4(2 - 5x) = 15 - (7x + 12,2)$.
Раскроем скобки в обеих частях уравнения. В левой части применим распределительное свойство, в правой — правило раскрытия скобок, перед которыми стоит знак минус:
$1,4 \cdot 2 - 1,4 \cdot 5x = 15 - 7x - 12,2$
$2,8 - 7x = 15 - 12,2 - 7x$
Упростим правую часть, выполнив вычитание свободных членов:
$2,8 - 7x = 2,8 - 7x$
Перенесем члены с переменной $x$ в левую часть, а свободные члены — в правую:
$-7x + 7x = 2,8 - 2,8$
Приведем подобные слагаемые:
$0 \cdot x = 0$
$0 = 0$
Мы получили верное числовое равенство, которое не зависит от переменной $x$. Это означает, что любое число является решением (корнем) данного уравнения.
Ответ: $x$ — любое число.

1289. Решите уравнение:

1) $20 - 4x = 8(3x + 2,5) - 28x,$

2) $4x + 9 = 5(2x - 7) - 6x.$

1) $20 - 4x = 8(3x + 2,5) - 28x$

Для начала раскроем скобки в правой части уравнения, умножив 8 на каждый член в скобках:

$20 - 4x = 8 \cdot 3x + 8 \cdot 2,5 - 28x$

$20 - 4x = 24x + 20 - 28x$

Теперь приведем подобные слагаемые в правой части уравнения:

$20 - 4x = (24x - 28x) + 20$

$20 - 4x = -4x + 20$

Перенесем все слагаемые с переменной $x$ в левую часть уравнения, а постоянные члены — в правую, меняя их знаки на противоположные:

$-4x + 4x = 20 - 20$

$0x = 0$

Полученное равенство $0 = 0$ является верным при любом значении переменной $x$. Это означает, что исходное уравнение является тождеством.

Ответ: $x$ — любое число.

2) $4x + 9 = 5(2x - 7) - 6x$

Сначала раскроем скобки в правой части уравнения, умножив 5 на каждый член в скобках:

$4x + 9 = 5 \cdot 2x - 5 \cdot 7 - 6x$

$4x + 9 = 10x - 35 - 6x$

Приведем подобные слагаемые в правой части уравнения:

$4x + 9 = (10x - 6x) - 35$

$4x + 9 = 4x - 35$

Перенесем все слагаемые с переменной $x$ в левую часть, а постоянные члены — в правую, меняя их знаки:

$4x - 4x = -35 - 9$

$0x = -44$

Полученное равенство $0 = -44$ является ложным. Не существует такого значения $x$, при котором это равенство было бы верным, так как любое число, умноженное на 0, равно 0, а не -44.

Ответ: нет корней.

1290.При каких значениях $a$ уравнение не имеет корней:

1) $ax = 1$;

2) $(a - 2)x = 3$?

1)

Дано линейное уравнение $ax = 1$.

Линейное уравнение вида $kx = b$ не имеет корней, если коэффициент при $x$ равен нулю ($k=0$), а свободный член не равен нулю ($b \neq 0$). В этом случае уравнение принимает вид $0 \cdot x = b$, что неверно при любом $x$, так как $0 \neq b$.

В нашем случае коэффициент $k = a$, а свободный член $b = 1$.

Уравнение не будет иметь корней, если $a = 0$. Тогда оно примет вид $0 \cdot x = 1$, или $0 = 1$, что является неверным равенством. При любом другом значении $a$ ($a \neq 0$) уравнение будет иметь единственный корень $x = \frac{1}{a}$.

Ответ: при $a = 0$.

2)

Дано линейное уравнение $(a - 2)x = 3$.

Аналогично предыдущему пункту, это уравнение не будет иметь корней, если коэффициент при $x$ равен нулю, а правая часть не равна нулю.

Коэффициент при $x$ равен $(a - 2)$. Приравняем его к нулю:

$a - 2 = 0$

$a = 2$

Правая часть уравнения равна 3, что не равно нулю.

Таким образом, при $a = 2$ уравнение принимает вид $(2-2)x=3$, то есть $0 \cdot x = 3$, или $0 = 3$. Это неверное равенство, следовательно, при $a=2$ уравнение не имеет корней. При всех остальных значениях $a$ ($a \neq 2$) уравнение будет иметь единственный корень $x = \frac{3}{a-2}$.

Ответ: при $a = 2$.

1291. Найдите все целые значения $a$, при которых корень уравнения является целым числом:

1) $ax = -14$;

2) $(a - 2)x = 12$.

1)

Дано уравнение $ax = -14$. Согласно условию, параметр $a$ должен быть целым числом, и корень уравнения $x$ также должен быть целым числом.

Чтобы найти корень $x$, выразим его из уравнения. Для этого необходимо разделить обе части уравнения на $a$. Эта операция возможна только при условии, что $a \neq 0$.

Рассмотрим случай, когда $a = 0$. Уравнение принимает вид $0 \cdot x = -14$, или $0 = -14$. Это равенство неверно, следовательно, при $a = 0$ уравнение не имеет корней. Таким образом, $a$ не может быть равно нулю.

При $a \neq 0$ корень уравнения находится по формуле: $x = -\frac{14}{a}$.

Поскольку по условию $x$ должен быть целым числом, это означает, что результат деления числа $-14$ на $a$ должен быть целым. Это возможно только в том случае, если $a$ является целым делителем числа $-14$.

Найдем все целые делители числа $-14$. Это числа: $\pm 1, \pm 2, \pm 7, \pm 14$.

Ответ: $a \in \{-14, -7, -2, -1, 1, 2, 7, 14\}$.

2)

Дано уравнение $(a - 2)x = 12$. Согласно условию, параметр $a$ должен быть целым числом, и корень уравнения $x$ также должен быть целым числом.

Выразим $x$ из уравнения. Для этого разделим обе части на коэффициент при $x$, то есть на $(a-2)$. Эта операция возможна только если $a - 2 \neq 0$, то есть $a \neq 2$.

Рассмотрим случай, когда $a - 2 = 0$, то есть $a = 2$. Уравнение принимает вид $0 \cdot x = 12$, или $0 = 12$. Это неверное равенство, значит, при $a = 2$ уравнение не имеет корней. Таким образом, $a \neq 2$.

При $a \neq 2$ корень уравнения находится по формуле: $x = \frac{12}{a-2}$.

Для того чтобы корень $x$ был целым числом, необходимо, чтобы знаменатель $(a-2)$ был целым делителем числа $12$. Так как $a$ — целое число, то и $(a-2)$ — целое число.

Найдем все целые делители числа 12: $\pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 4, \pm 6, \pm 12$.

Теперь приравняем выражение $(a-2)$ к каждому из найденных делителей и найдем соответствующие значения $a$:

• $a - 2 = 1 \implies a = 3$
• $a - 2 = -1 \implies a = 1$
• $a - 2 = 2 \implies a = 4$
• $a - 2 = -2 \implies a = 0$
• $a - 2 = 3 \implies a = 5$
• $a - 2 = -3 \implies a = -1$
• $a - 2 = 4 \implies a = 6$
• $a - 2 = -4 \implies a = -2$
• $a - 2 = 6 \implies a = 8$
• $a - 2 = -6 \implies a = -4$
• $a - 2 = 12 \implies a = 14$
• $a - 2 = -12 \implies a = -10$

Ответ: $a \in \{-10, -4, -2, -1, 0, 1, 3, 4, 5, 6, 8, 14\}$.

1292. Найдите все целые значения m, при которых корень уравнения является натуральным числом:

1) $mx = 20$;

2) $(m + 3)x = -18.$

1) $mx = 20;$
По условию задачи, $m$ — целое число ($m \in \mathbb{Z}$), а корень уравнения $x$ — натуральное число ($x \in \mathbb{N}$). Натуральные числа — это целые положительные числа: $1, 2, 3, \dots$.
Сначала выразим $x$ из уравнения. Для этого разделим обе части на $m$:$x = \frac{20}{m}$
Это преобразование возможно только при $m \neq 0$. Если $m=0$, уравнение принимает вид $0 \cdot x = 20$, или $0=20$, что неверно, следовательно, уравнение не имеет корней. Значит, $m \neq 0$.
Теперь применим условия к полученному выражению для $x$:
1. Корень $x$ должен быть натуральным числом, а значит положительным ($x > 0$). Так как числитель дроби $20$ — положительное число, то для того, чтобы вся дробь была положительной, знаменатель $m$ также должен быть положительным: $m > 0$.
2. Корень $x$ должен быть целым числом. Это означает, что $m$ должен быть делителем числа 20.
Объединяя оба условия, мы приходим к выводу, что $m$ должен быть натуральным (положительным целым) делителем числа 20.
Найдем все натуральные делители числа 20: $1, 2, 4, 5, 10, 20$.
Все эти значения $m$ являются целыми и при них корень $x$ будет натуральным числом.
Ответ: 1, 2, 4, 5, 10, 20.

2) $(m + 3)x = -18.$
Так же, как и в предыдущем пункте, $m$ — целое число, а $x$ — натуральное.
Выразим $x$ из уравнения:$x = \frac{-18}{m+3}$
Это уравнение имеет корень, если знаменатель не равен нулю: $m+3 \neq 0$, то есть $m \neq -3$. Если $m=-3$, уравнение принимает вид $0 \cdot x = -18$, что неверно.
Применим условия к выражению для $x$:
1. Корень $x$ должен быть натуральным числом, то есть $x > 0$. Числитель дроби $-18$ является отрицательным числом. Чтобы частное было положительным, знаменатель $(m+3)$ также должен быть отрицательным: $m+3 < 0$, откуда следует, что $m < -3$.
2. Корень $x$ должен быть целым числом. Для этого знаменатель $(m+3)$ должен быть делителем числителя $-18$.
Совместив оба условия, получаем, что выражение $(m+3)$ должно быть отрицательным делителем числа $-18$.
Найдем все отрицательные делители числа $-18$: $-1, -2, -3, -6, -9, -18$.
Теперь для каждого из этих значений найдем соответствующее значение $m$, решив уравнение $m+3 = \text{делитель}$:
Если $m+3 = -1$, то $m = -1 - 3 = -4$.
Если $m+3 = -2$, то $m = -2 - 3 = -5$.
Если $m+3 = -3$, то $m = -3 - 3 = -6$.
Если $m+3 = -6$, то $m = -6 - 3 = -9$.
Если $m+3 = -9$, то $m = -9 - 3 = -12$.
Если $m+3 = -18$, то $m = -18 - 3 = -21$.
Все найденные значения $m$ являются целыми и удовлетворяют условию $m < -3$.
Ответ: -21, -12, -9, -6, -5, -4.

1293. Сколько процентов число 4 составляет от обратного ему числа?

Для решения этой задачи сначала нужно найти число, обратное числу 4. Обратным к любому числу $n$ (кроме нуля) является число $\frac{1}{n}$. Следовательно, число, обратное 4, — это $\frac{1}{4}$.

Далее необходимо определить, сколько процентов составляет число 4 от числа $\frac{1}{4}$. Чтобы найти, сколько процентов число A составляет от числа B, нужно разделить A на B и умножить результат на 100%.

Составим выражение согласно правилу:

$(\frac{4}{\frac{1}{4}}) \cdot 100\%$

Сначала выполним деление в скобках. Деление на дробь равносильно умножению на обратную ей дробь:

$4 \div \frac{1}{4} = 4 \cdot \frac{4}{1} = 16$

Теперь умножим полученный результат на 100%, чтобы выразить отношение в процентах:

$16 \cdot 100\% = 1600\%$

Таким образом, число 4 составляет 1600% от обратного ему числа $\frac{1}{4}$.

Ответ: $1600\%$

1294. Сколько процентов число 5 составляет от числа, являющегося его квадратом?

Для решения этой задачи необходимо выполнить два шага: сначала найти квадрат числа 5, а затем определить, какую процентную долю составляет число 5 от найденного квадрата.

1. Находим число, являющееся квадратом числа 5. Квадрат числа — это результат умножения числа на само себя.

$5^2 = 5 \times 5 = 25$

2. Теперь определяем, сколько процентов число 5 составляет от числа 25. Для этого нужно разделить 5 на 25 и умножить результат на 100%.

$\frac{5}{25} \times 100\% = 0.2 \times 100\% = 20\%$

Таким образом, число 5 составляет 20% от своего квадрата.

Ответ: 20%.