Номер 1291, страница 264 - гдз по математике 6 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 37. Решение уравнений. Глава 4. Рациональные числа - номер 1291, страница 264.

Условие.

1291. Найдите все целые значения $a$, при которых корень уравнения является целым числом:

1) $ax = -14$;

2) $(a - 2)x = 12$.

Решение.

Решение 2.

1)

Дано уравнение $ax = -14$. Согласно условию, параметр $a$ должен быть целым числом, и корень уравнения $x$ также должен быть целым числом.

Чтобы найти корень $x$, выразим его из уравнения. Для этого необходимо разделить обе части уравнения на $a$. Эта операция возможна только при условии, что $a \neq 0$.

Рассмотрим случай, когда $a = 0$. Уравнение принимает вид $0 \cdot x = -14$, или $0 = -14$. Это равенство неверно, следовательно, при $a = 0$ уравнение не имеет корней. Таким образом, $a$ не может быть равно нулю.

При $a \neq 0$ корень уравнения находится по формуле: $x = -\frac{14}{a}$.

Поскольку по условию $x$ должен быть целым числом, это означает, что результат деления числа $-14$ на $a$ должен быть целым. Это возможно только в том случае, если $a$ является целым делителем числа $-14$.

Найдем все целые делители числа $-14$. Это числа: $\pm 1, \pm 2, \pm 7, \pm 14$.

Ответ: $a \in \{-14, -7, -2, -1, 1, 2, 7, 14\}$.

2)

Дано уравнение $(a - 2)x = 12$. Согласно условию, параметр $a$ должен быть целым числом, и корень уравнения $x$ также должен быть целым числом.

Выразим $x$ из уравнения. Для этого разделим обе части на коэффициент при $x$, то есть на $(a-2)$. Эта операция возможна только если $a - 2 \neq 0$, то есть $a \neq 2$.

Рассмотрим случай, когда $a - 2 = 0$, то есть $a = 2$. Уравнение принимает вид $0 \cdot x = 12$, или $0 = 12$. Это неверное равенство, значит, при $a = 2$ уравнение не имеет корней. Таким образом, $a \neq 2$.

При $a \neq 2$ корень уравнения находится по формуле: $x = \frac{12}{a-2}$.

Для того чтобы корень $x$ был целым числом, необходимо, чтобы знаменатель $(a-2)$ был целым делителем числа $12$. Так как $a$ — целое число, то и $(a-2)$ — целое число.

Найдем все целые делители числа 12: $\pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 4, \pm 6, \pm 12$.

Теперь приравняем выражение $(a-2)$ к каждому из найденных делителей и найдем соответствующие значения $a$:

• $a - 2 = 1 \implies a = 3$
• $a - 2 = -1 \implies a = 1$
• $a - 2 = 2 \implies a = 4$
• $a - 2 = -2 \implies a = 0$
• $a - 2 = 3 \implies a = 5$
• $a - 2 = -3 \implies a = -1$
• $a - 2 = 4 \implies a = 6$
• $a - 2 = -4 \implies a = -2$
• $a - 2 = 6 \implies a = 8$
• $a - 2 = -6 \implies a = -4$
• $a - 2 = 12 \implies a = 14$
• $a - 2 = -12 \implies a = -10$

Ответ: $a \in \{-10, -4, -2, -1, 0, 1, 3, 4, 5, 6, 8, 14\}$.