Номер 1292, страница 264 - гдз по математике 6 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 37. Решение уравнений. Глава 4. Рациональные числа - номер 1292, страница 264.

Условие.

1292. Найдите все целые значения m, при которых корень уравнения является натуральным числом:

1) $mx = 20$;

2) $(m + 3)x = -18.$

Решение.

Решение 2.

1) $mx = 20;$
По условию задачи, $m$ — целое число ($m \in \mathbb{Z}$), а корень уравнения $x$ — натуральное число ($x \in \mathbb{N}$). Натуральные числа — это целые положительные числа: $1, 2, 3, \dots$.
Сначала выразим $x$ из уравнения. Для этого разделим обе части на $m$:$x = \frac{20}{m}$
Это преобразование возможно только при $m \neq 0$. Если $m=0$, уравнение принимает вид $0 \cdot x = 20$, или $0=20$, что неверно, следовательно, уравнение не имеет корней. Значит, $m \neq 0$.
Теперь применим условия к полученному выражению для $x$:
1. Корень $x$ должен быть натуральным числом, а значит положительным ($x > 0$). Так как числитель дроби $20$ — положительное число, то для того, чтобы вся дробь была положительной, знаменатель $m$ также должен быть положительным: $m > 0$.
2. Корень $x$ должен быть целым числом. Это означает, что $m$ должен быть делителем числа 20.
Объединяя оба условия, мы приходим к выводу, что $m$ должен быть натуральным (положительным целым) делителем числа 20.
Найдем все натуральные делители числа 20: $1, 2, 4, 5, 10, 20$.
Все эти значения $m$ являются целыми и при них корень $x$ будет натуральным числом.
Ответ: 1, 2, 4, 5, 10, 20.

2) $(m + 3)x = -18.$
Так же, как и в предыдущем пункте, $m$ — целое число, а $x$ — натуральное.
Выразим $x$ из уравнения:$x = \frac{-18}{m+3}$
Это уравнение имеет корень, если знаменатель не равен нулю: $m+3 \neq 0$, то есть $m \neq -3$. Если $m=-3$, уравнение принимает вид $0 \cdot x = -18$, что неверно.
Применим условия к выражению для $x$:
1. Корень $x$ должен быть натуральным числом, то есть $x > 0$. Числитель дроби $-18$ является отрицательным числом. Чтобы частное было положительным, знаменатель $(m+3)$ также должен быть отрицательным: $m+3 < 0$, откуда следует, что $m < -3$.
2. Корень $x$ должен быть целым числом. Для этого знаменатель $(m+3)$ должен быть делителем числителя $-18$.
Совместив оба условия, получаем, что выражение $(m+3)$ должно быть отрицательным делителем числа $-18$.
Найдем все отрицательные делители числа $-18$: $-1, -2, -3, -6, -9, -18$.
Теперь для каждого из этих значений найдем соответствующее значение $m$, решив уравнение $m+3 = \text{делитель}$:
Если $m+3 = -1$, то $m = -1 - 3 = -4$.
Если $m+3 = -2$, то $m = -2 - 3 = -5$.
Если $m+3 = -3$, то $m = -3 - 3 = -6$.
Если $m+3 = -6$, то $m = -6 - 3 = -9$.
Если $m+3 = -9$, то $m = -9 - 3 = -12$.
Если $m+3 = -18$, то $m = -18 - 3 = -21$.
Все найденные значения $m$ являются целыми и удовлетворяют условию $m < -3$.
Ответ: -21, -12, -9, -6, -5, -4.