Страница 259 - гдз по математике 6 класс учебник Мерзляк, Полонский

1260. Вместо звёздочек поставьте такие цифры (вместо одной звёздочки – одну цифру), чтобы:

1) число *4* делилось нацело на 3 и на 10;

2) число 12*4* делилось нацело на 9 и на 5;

3) число 67* делилось нацело на 2 и на 3.

Найдите все возможные решения.

1)

Чтобы число `*4*` делилось нацело на 10, его последняя цифра должна быть 0. Таким образом, число принимает вид `*40`.

Чтобы число делилось нацело на 3, сумма его цифр должна быть кратна 3. Сумма цифр числа `*40` равна $ * + 4 + 0 = * + 4 $.

Первая цифра (обозначенная звездочкой) не может быть нулем, так как число трехзначное. Будем подставлять вместо звездочки цифры от 1 до 9 и проверять, делится ли сумма $ * + 4 $ на 3:

• Если вместо первой звездочки стоит 1, сумма цифр $1+4+0=5$. 5 на 3 не делится.
• Если вместо первой звездочки стоит 2, сумма цифр $2+4+0=6$. 6 на 3 делится. Получаем число 240.
• Если вместо первой звездочки стоит 3, сумма цифр $3+4+0=7$. 7 на 3 не делится.
• Если вместо первой звездочки стоит 4, сумма цифр $4+4+0=8$. 8 на 3 не делится.
• Если вместо первой звездочки стоит 5, сумма цифр $5+4+0=9$. 9 на 3 делится. Получаем число 540.
• Если вместо первой звездочки стоит 6, сумма цифр $6+4+0=10$. 10 на 3 не делится.
• Если вместо первой звездочки стоит 7, сумма цифр $7+4+0=11$. 11 на 3 не делится.
• Если вместо первой звездочки стоит 8, сумма цифр $8+4+0=12$. 12 на 3 делится. Получаем число 840.
• Если вместо первой звездочки стоит 9, сумма цифр $9+4+0=13$. 13 на 3 не делится.

Ответ: 240, 540, 840.

2)

Чтобы число `12*4*` делилось нацело на 5, его последняя цифра должна быть 0 или 5.

Чтобы число делилось нацело на 9, сумма его цифр должна быть кратна 9.

Рассмотрим два случая.

Случай 1: Последняя цифра равна 0. Число имеет вид `12*40`.
Найдем сумму цифр: $1+2+*+4+0 = 7+*$. Эта сумма должна делиться на 9. Среди цифр от 0 до 9 только цифра 2 в сумме с 7 дает число, кратное 9 ($7+2=9$).
Следовательно, одно из решений — 12240.

Случай 2: Последняя цифра равна 5. Число имеет вид `12*45`.
Найдем сумму цифр: $1+2+*+4+5 = 12+*$. Эта сумма должна делиться на 9. Ближайшее к 12 число, которое делится на 9, это 18. Чтобы получить 18, нужно к 12 прибавить 6 ($12+6=18$).
Следовательно, второе решение — 12645.

Ответ: 12240, 12645.

3)

Чтобы число `67*` делилось нацело на 2, его последняя цифра должна быть четной: 0, 2, 4, 6 или 8.

Чтобы число делилось нацело на 3, сумма его цифр должна быть кратна 3. Сумма известных цифр равна $6+7=13$. Сумма всех цифр равна $13+*$.

Проверим все возможные четные цифры для последней позиции:

• Если * = 0, сумма цифр $13+0=13$. 13 на 3 не делится.
• Если * = 2, сумма цифр $13+2=15$. 15 на 3 делится. Получаем число 672.
• Если * = 4, сумма цифр $13+4=17$. 17 на 3 не делится.
• Если * = 6, сумма цифр $13+6=19$. 19 на 3 не делится.
• Если * = 8, сумма цифр $13+8=21$. 21 на 3 делится. Получаем число 678.

Ответ: 672, 678.

1261. Мухтар начал догонять преступника, когда тот был на расстоянии $1.2 \text{ км}$ от него, и поймал его через $3 \text{ мин}$. С какой скоростью бежал пёс, если злоумышленник пытался убежать со скоростью $0.2 \text{ км/мин}$?

Это задача на движение вдогонку. Для её решения удобно использовать понятие "скорость сближения".

Обозначим:

• $S$ — начальное расстояние между Мухтаром и преступником ($1,2$ км).
• $t$ — время, за которое Мухтар догнал преступника ($3$ мин).
• $v_{п}$ — скорость преступника ($0,2$ км/мин).
• $v_{м}$ — искомая скорость Мухтара.

Скорость сближения ($v_{сбл}$) показывает, на сколько километров в минуту сокращается расстояние между Мухтаром и преступником. Её можно найти, разделив начальное расстояние на время погони:

$v_{сбл} = S / t = 1,2 \text{ км} / 3 \text{ мин} = 0,4$ км/мин.

С другой стороны, скорость сближения равна разности скоростей Мухтара и преступника, так как они движутся в одном направлении:

$v_{сбл} = v_{м} - v_{п}$

Теперь мы можем выразить скорость Мухтара из этой формулы:

$v_{м} = v_{сбл} + v_{п}$

Подставим известные значения, чтобы найти скорость пса:

$v_{м} = 0,4 \text{ км/мин} + 0,2 \text{ км/мин} = 0,6$ км/мин.

Другой способ решения (по действиям):

1. Найдем, какое расстояние пробежал преступник за 3 минуты, пока его догонял Мухтар. Для этого умножим его скорость на время:

$S_{п} = v_{п} \cdot t = 0,2 \text{ км/мин} \cdot 3 \text{ мин} = 0,6$ км.

2. Чтобы догнать преступника, Мухтар должен был пробежать первоначальное расстояние между ними плюс то расстояние, которое успел пробежать преступник. Найдем общее расстояние, которое пробежал Мухтар:

$S_{м} = S + S_{п} = 1,2 \text{ км} + 0,6 \text{ км} = 1,8$ км.

3. Теперь, зная, что Мухтар пробежал 1,8 км за 3 минуты, найдем его скорость, разделив расстояние на время:

$v_{м} = S_{м} / t = 1,8 \text{ км} / 3 \text{ мин} = 0,6$ км/мин.

Оба способа дают одинаковый результат.

Ответ: 0,6 км/мин.

1262. В шкафу висели рубашки, из которых $ \frac{1}{3} $ были белого цвета, а 5 рубашек – чёрного. Сколько всего рубашек было в шкафу, если $50\%$ из них не были ни белыми, ни чёрными?

Пусть $x$ — это общее количество рубашек в шкафу.
Исходя из условий задачи, мы можем выразить количество рубашек разных типов через $x$:
- Количество белых рубашек составляет $\frac{1}{3}$ от общего числа, то есть $\frac{1}{3}x$.
- Количество чёрных рубашек равно $5$.
- Количество рубашек, которые не являются ни белыми, ни чёрными, составляет $50\%$ от общего числа. $50\%$ — это половина, или $0.5$, то есть $\frac{1}{2}x$.

Сумма всех этих частей должна быть равна общему количеству рубашек. Составим уравнение:
$\frac{1}{3}x + 5 + \frac{1}{2}x = x$

Теперь решим это уравнение. Сначала сгруппируем слагаемые с переменной $x$. Для этого приведём дроби $\frac{1}{3}$ и $\frac{1}{2}$ к общему знаменателю $6$:
$(\frac{2}{6}x + \frac{3}{6}x) + 5 = x$
$\frac{5}{6}x + 5 = x$

Далее, перенесём все слагаемые с $x$ в одну сторону уравнения, вычитая $\frac{5}{6}x$ из обеих частей:
$5 = x - \frac{5}{6}x$
Представим $x$ как $\frac{6}{6}x$, чтобы выполнить вычитание:
$5 = \frac{6}{6}x - \frac{5}{6}x$
$5 = \frac{1}{6}x$

Чтобы найти значение $x$, умножим обе части уравнения на $6$:
$x = 5 \cdot 6$
$x = 30$

Таким образом, всего в шкафу было 30 рубашек.

Проверка:
- Белые рубашки: $\frac{1}{3} \cdot 30 = 10$ рубашек.
- Чёрные рубашки: $5$ рубашек.
- Ни белые, ни чёрные: $50\%$ от $30 = 0.5 \cdot 30 = 15$ рубашек.
Сложим все части: $10 + 5 + 15 = 30$.
Результат совпадает с нашим решением.

Ответ: 30

1263. Коля выбрал в библиотеке три книги. Однако домой он может взять только две из них. Сколько вариантов выбора двух книг есть у Коли?

Для решения этой задачи нужно определить количество способов выбрать 2 книги из 3 имеющихся. Так как порядок, в котором Коля выберет книги, не имеет значения (взять книгу А и книгу Б — это то же самое, что взять книгу Б и книгу А), мы имеем дело с сочетаниями.

Способ 1: Перебор вариантов

Давайте условно пронумеруем книги: Книга 1, Книга 2, Книга 3.

Коля может выбрать следующие пары книг:

• Книга 1 и Книга 2
• Книга 1 и Книга 3
• Книга 2 и Книга 3

Всего получается 3 различных варианта выбора.

Способ 2: Использование формулы сочетаний

Количество сочетаний (способов выбора) $k$ элементов из множества $n$ элементов вычисляется по формуле:

$C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$

В нашем случае:

• $n = 3$ (общее количество книг)
• $k = 2$ (количество книг, которые нужно выбрать)

Подставляем значения в формулу:

$C_3^2 = \frac{3!}{2!(3-2)!} = \frac{3!}{2! \cdot 1!} = \frac{3 \times 2 \times 1}{(2 \times 1) \times 1} = \frac{6}{2} = 3$

Таким образом, у Коли есть 3 варианта выбора.

Ответ: 3

1264. Масса арбуза на 1 кг 200 г больше $60\%$ его массы. Какова масса арбуза?

Пусть $x$ — это полная масса арбуза.

Вся масса арбуза составляет 100%. По условию, она на 1 кг 200 г больше, чем 60% от этой массы. Это означает, что разница между полной массой (100%) и 60% массы составляет 1 кг 200 г.

Найдем, какую часть от общей массы составляет эта разница в процентах:

$100\% - 60\% = 40\%$

Таким образом, 40% массы арбуза равны 1 кг 200 г.

Для удобства вычислений переведем 1 кг 200 г в одну единицу измерения, например, в килограммы:

1 кг 200 г = $1 + \frac{200}{1000}$ кг = 1.2 кг.

Теперь у нас есть соотношение: 40% массы арбуза — это 1.2 кг. Можно составить уравнение, где $x$ — полная масса арбуза (100%). Представим 40% в виде десятичной дроби: $40\% = 0.4$.

$0.4 \cdot x = 1.2$

Чтобы найти $x$, разделим обе части уравнения на 0.4:

$x = \frac{1.2}{0.4}$

$x = 3$

Следовательно, полная масса арбуза составляет 3 кг.

Ответ: 3 кг.

1265. В семье Петровых девять детей и двое родителей. Средний возраст всех детей составляет 6 лет, а средний возраст всех членов семьи — 12 лет. Каков средний возраст родителей?

Для решения этой задачи воспользуемся определением среднего арифметического (среднего возраста): это сумма возрастов всех членов группы, деленная на их количество.

Найдем суммарный возраст всех детей.
В семье 9 детей, и их средний возраст составляет 6 лет. Сумма их возрастов равна произведению их количества на средний возраст:
$S_{\text{детей}} = 9 \times 6 = 54$ года.

Найдем суммарный возраст всех членов семьи.
Общее количество членов семьи составляет 9 детей + 2 родителя = 11 человек. Средний возраст всех членов семьи — 12 лет. Суммарный возраст всех членов семьи равен:
$S_{\text{семьи}} = 11 \times 12 = 132$ года.

Найдем суммарный возраст родителей.
Суммарный возраст родителей можно найти, вычтя из суммарного возраста всей семьи суммарный возраст детей:
$S_{\text{родителей}} = S_{\text{семьи}} - S_{\text{детей}} = 132 - 54 = 78$ лет.

Найдем средний возраст родителей.
В семье двое родителей. Чтобы найти их средний возраст, нужно их суммарный возраст разделить на их количество:
$V_{\text{ср. родителей}} = \frac{S_{\text{родителей}}}{2} = \frac{78}{2} = 39$ лет.

Ответ: 39 лет.

1266. Является ли корнем уравнения $4(x+6) = x + 9$ число:

Чтобы проверить, является ли число корнем уравнения, нужно подставить это число вместо переменной в уравнение. Если в результате получится верное числовое равенство, то число является корнем уравнения. Если равенство неверное, то число корнем не является.

Исходное уравнение: $4(x + 6) = x + 9$.

1) -3

Подставим число -3 в уравнение вместо $x$:

$4(-3 + 6) = -3 + 9$

$4(3) = 6$

$12 = 6$

Полученное равенство неверно, так как 12 не равно 6. Следовательно, число -3 не является корнем уравнения.

Ответ: нет.

2) 0

Подставим число 0 в уравнение вместо $x$:

$4(0 + 6) = 0 + 9$

$4(6) = 9$

$24 = 9$

Полученное равенство неверно, так как 24 не равно 9. Следовательно, число 0 не является корнем уравнения.

Ответ: нет.

3) 2

Подставим число 2 в уравнение вместо $x$:

$4(2 + 6) = 2 + 9$

$4(8) = 11$

$32 = 11$

Полученное равенство неверно, так как 32 не равно 11. Следовательно, число 2 не является корнем уравнения.

Ответ: нет.

4) -5

Подставим число -5 в уравнение вместо $x$:

$4(-5 + 6) = -5 + 9$

$4(1) = 4$

$4 = 4$

Полученное равенство верно. Следовательно, число -5 является корнем уравнения.

Ответ: да.

1267.Является ли корнем уравнения $x^2 = 2x + 3$ число:

1) 3;

2) -2;

3) -1;

4) 4?

Для того чтобы определить, является ли число корнем уравнения, необходимо подставить это число вместо переменной $x$ в исходное уравнение. Если в результате этого левая часть уравнения будет равна правой, то число является корнем. В противном случае — нет.

Исходное уравнение: $x^2 = 2x + 3$.

1) 3

Подставляем число 3 в уравнение вместо $x$:

$3^2 = 2 \cdot 3 + 3$

$9 = 6 + 3$

$9 = 9$

Так как получилось верное числовое равенство, число 3 является корнем уравнения.

Ответ: да.

2) -2

Подставляем число -2 в уравнение вместо $x$:

$(-2)^2 = 2 \cdot (-2) + 3$

$4 = -4 + 3$

$4 = -1$

Получилось неверное числовое равенство, следовательно, число -2 не является корнем уравнения.

Ответ: нет.

3) -1

Подставляем число -1 в уравнение вместо $x$:

$(-1)^2 = 2 \cdot (-1) + 3$

$1 = -2 + 3$

$1 = 1$

Так как получилось верное числовое равенство, число -1 является корнем уравнения.

Ответ: да.

4) 4

Подставляем число 4 в уравнение вместо $x$:

$4^2 = 2 \cdot 4 + 3$

$16 = 8 + 3$

$16 = 11$

Получилось неверное числовое равенство, следовательно, число 4 не является корнем уравнения.

Ответ: нет.

1268. Какие из данных уравнений:

а) имеют бесконечно много корней;

б) не имеют корней:

1) $2x - 1 = 3$;

2) $3x + 2 = 2$;

3) $x + 2 = x + 2$;

4) $2x + 2 = 2(x + 1)$;

5) $x + 2 = 3 + x$;

6) $0 \cdot x = 3$?

Для того чтобы определить количество корней каждого уравнения, приведем их к виду $ax = b$ и проанализируем результат.

а) имеют бесконечно много корней

Уравнение имеет бесконечно много корней, если в результате преобразований оно сводится к тождеству $0 \cdot x = 0$, то есть к верному числовому равенству $0 = 0$. Это означает, что любое число является корнем уравнения.

Рассмотрим данные уравнения:

1) $2x - 1 = 3 \implies 2x = 4 \implies x = 2$. Уравнение имеет один корень.

2) $3x + 2 = 2 \implies 3x = 0 \implies x = 0$. Уравнение имеет один корень.

3) $x + 2 = x + 2 \implies x - x = 2 - 2 \implies 0 \cdot x = 0$. Это верное равенство для любого значения $x$. Уравнение имеет бесконечно много корней.

4) $2x + 2 = 2(x + 1) \implies 2x + 2 = 2x + 2 \implies 2x - 2x = 2 - 2 \implies 0 \cdot x = 0$. Это также верное равенство для любого $x$. Уравнение имеет бесконечно много корней.

5) $x + 2 = 3 + x \implies x - x = 3 - 2 \implies 0 \cdot x = 1$. Это неверное равенство. Уравнение не имеет корней.

6) $0 \cdot x = 3$. Левая часть всегда равна 0, поэтому получаем неверное равенство $0 = 3$. Уравнение не имеет корней.

Следовательно, уравнения 3) и 4) имеют бесконечно много корней.

Ответ: 3), 4).

б) не имеют корней

Уравнение не имеет корней, если в результате преобразований оно сводится к неверному числовому равенству вида $0 \cdot x = b$, где $b \neq 0$. Такое равенство ($0 = b$) не может быть верным ни при каком значении $x$.

Используя анализ из предыдущего пункта, мы видим, что:

1) Уравнение $2x - 1 = 3$ имеет один корень.

2) Уравнение $3x + 2 = 2$ имеет один корень.

3) Уравнение $x + 2 = x + 2$ имеет бесконечно много корней.

4) Уравнение $2x + 2 = 2(x + 1)$ имеет бесконечно много корней.

5) Уравнение $x + 2 = 3 + x$ сводится к неверному равенству $0 = 1$. Следовательно, оно не имеет корней.

6) Уравнение $0 \cdot x = 3$ является неверным равенством $0 = 3$. Следовательно, оно не имеет корней.

Следовательно, уравнения 5) и 6) не имеют корней.

Ответ: 5), 6).

1269. В стране Севентаун семь городов, каждый из которых соединён дорогами более чем с двумя городами. Докажите, что из любого города можно доехать до любого другого (возможно, проезжая через другие города).

Представим города и дороги в виде графа, где города являются вершинами, а дороги — рёбрами. Пусть $V$ — это множество вершин. По условию задачи, в стране 7 городов, следовательно, количество вершин в графе $|V| = 7$.

Условие о том, что каждый город соединён дорогами более чем с двумя городами, в терминах теории графов означает, что степень каждой вершины (количество рёбер, исходящих из неё) строго больше двух. Так как степень вершины является целым числом, то для любой вершины $v$ выполняется неравенство $deg(v) \ge 3$.

Задача заключается в том, чтобы доказать, что данный граф является связным. Связный граф — это граф, в котором для любых двух вершин существует путь, их соединяющий.

Будем доказывать от противного. Предположим, что граф не является связным. Это значит, что он состоит из двух или более не связанных между собой частей, называемых компонентами связности. Пусть граф состоит из $k$ компонент связности, где $k \ge 2$.

Рассмотрим произвольную компоненту связности. Пусть она состоит из $n$ вершин. Возьмём любую вершину $v$ из этой компоненты. По определению, все рёбра, инцидентные этой вершине, соединяют её только с другими вершинами из той же самой компоненты. Максимальное число вершин, с которыми может быть связана вершина $v$ в этой компоненте, равно $n-1$ (все остальные вершины компоненты). Таким образом, для любой вершины $v$ её степень не может превышать $n-1$: $deg(v) \le n-1$.

С другой стороны, по условию задачи мы знаем, что $deg(v) \ge 3$. Объединяя эти два неравенства, получаем: $3 \le deg(v) \le n-1$. Из этого следует, что $3 \le n-1$, что эквивалентно $n \ge 4$.

Это означает, что любая компонента связности в нашем графе должна содержать не менее 4 вершин.

Так как мы предположили, что граф несвязный, он должен иметь как минимум две компоненты связности. Обозначим число вершин в первой компоненте как $n_1$, а во второй — как $n_2$. Согласно нашему выводу, $n_1 \ge 4$ и $n_2 \ge 4$.

Тогда общее число вершин в графе $|V|$ должно быть не меньше суммы вершин в этих двух компонентах: $|V| \ge n_1 + n_2 \ge 4 + 4 = 8$.

Мы получили, что общее число городов должно быть не менее 8. Однако по условию в стране всего 7 городов ($|V|=7$). Это приводит нас к противоречию, так как $7 \ge 8$ — ложное утверждение.

Противоречие возникло из-за нашего первоначального предположения о том, что граф несвязный. Следовательно, это предположение неверно, и граф должен быть связным.

Ответ: Утверждение доказано. Поскольку граф, описывающий систему дорог, является связным, из любого города можно доехать до любого другого.