Номер 1260, страница 259 - гдз по математике 6 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 36. Деление рациональных чисел. Глава 4. Рациональные числа - номер 1260, страница 259.

Условие.

1260. Вместо звёздочек поставьте такие цифры (вместо одной звёздочки – одну цифру), чтобы:

1) число *4* делилось нацело на 3 и на 10;

2) число 12*4* делилось нацело на 9 и на 5;

3) число 67* делилось нацело на 2 и на 3.

Найдите все возможные решения.

Решение.

Решение 2.

1)

Чтобы число `*4*` делилось нацело на 10, его последняя цифра должна быть 0. Таким образом, число принимает вид `*40`.

Чтобы число делилось нацело на 3, сумма его цифр должна быть кратна 3. Сумма цифр числа `*40` равна $ * + 4 + 0 = * + 4 $.

Первая цифра (обозначенная звездочкой) не может быть нулем, так как число трехзначное. Будем подставлять вместо звездочки цифры от 1 до 9 и проверять, делится ли сумма $ * + 4 $ на 3:

• Если вместо первой звездочки стоит 1, сумма цифр $1+4+0=5$. 5 на 3 не делится.
• Если вместо первой звездочки стоит 2, сумма цифр $2+4+0=6$. 6 на 3 делится. Получаем число 240.
• Если вместо первой звездочки стоит 3, сумма цифр $3+4+0=7$. 7 на 3 не делится.
• Если вместо первой звездочки стоит 4, сумма цифр $4+4+0=8$. 8 на 3 не делится.
• Если вместо первой звездочки стоит 5, сумма цифр $5+4+0=9$. 9 на 3 делится. Получаем число 540.
• Если вместо первой звездочки стоит 6, сумма цифр $6+4+0=10$. 10 на 3 не делится.
• Если вместо первой звездочки стоит 7, сумма цифр $7+4+0=11$. 11 на 3 не делится.
• Если вместо первой звездочки стоит 8, сумма цифр $8+4+0=12$. 12 на 3 делится. Получаем число 840.
• Если вместо первой звездочки стоит 9, сумма цифр $9+4+0=13$. 13 на 3 не делится.

Ответ: 240, 540, 840.

2)

Чтобы число `12*4*` делилось нацело на 5, его последняя цифра должна быть 0 или 5.

Чтобы число делилось нацело на 9, сумма его цифр должна быть кратна 9.

Рассмотрим два случая.

Случай 1: Последняя цифра равна 0. Число имеет вид `12*40`.
Найдем сумму цифр: $1+2+*+4+0 = 7+*$. Эта сумма должна делиться на 9. Среди цифр от 0 до 9 только цифра 2 в сумме с 7 дает число, кратное 9 ($7+2=9$).
Следовательно, одно из решений — 12240.

Случай 2: Последняя цифра равна 5. Число имеет вид `12*45`.
Найдем сумму цифр: $1+2+*+4+5 = 12+*$. Эта сумма должна делиться на 9. Ближайшее к 12 число, которое делится на 9, это 18. Чтобы получить 18, нужно к 12 прибавить 6 ($12+6=18$).
Следовательно, второе решение — 12645.

Ответ: 12240, 12645.

3)

Чтобы число `67*` делилось нацело на 2, его последняя цифра должна быть четной: 0, 2, 4, 6 или 8.

Чтобы число делилось нацело на 3, сумма его цифр должна быть кратна 3. Сумма известных цифр равна $6+7=13$. Сумма всех цифр равна $13+*$.

Проверим все возможные четные цифры для последней позиции:

• Если * = 0, сумма цифр $13+0=13$. 13 на 3 не делится.
• Если * = 2, сумма цифр $13+2=15$. 15 на 3 делится. Получаем число 672.
• Если * = 4, сумма цифр $13+4=17$. 17 на 3 не делится.
• Если * = 6, сумма цифр $13+6=19$. 19 на 3 не делится.
• Если * = 8, сумма цифр $13+8=21$. 21 на 3 делится. Получаем число 678.

Ответ: 672, 678.