Страница 266 - гдз по математике 6 класс учебник Мерзляк, Полонский

1298. Двузначное число, первая цифра которого 5, разделили на однозначное и получили в остатке 8. Найдите делимое и делитель.

Пусть искомое двузначное число (делимое) — это $A$, делитель (однозначное число) — это $d$, частное — $q$, а остаток — $r$.

По условию, первая цифра делимого $A$ равна 5. Это означает, что $A$ находится в диапазоне от 50 до 59, то есть $50 \le A \le 59$.

Делитель $d$ — однозначное число, то есть $d \in \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}$.

Остаток от деления равен 8, то есть $r=8$.

Основное свойство деления с остатком заключается в том, что остаток всегда меньше делителя: $r < d$.

Подставив известное значение остатка, получаем: $8 < d$.

Так как $d$ — это однозначное число, большее 8, то единственно возможный вариант для делителя — это $d=9$.

Теперь мы знаем делитель и остаток. Общая формула деления с остатком: $A = q \cdot d + r$.

Подставим известные значения: $A = q \cdot 9 + 8$.

Это равенство означает, что число $A$ при делении на 9 даёт в остатке 8. Нам нужно найти такое число в диапазоне от 50 до 59.

Можно переформулировать задачу: найти такое $A$, что $A-8$ делится на 9 нацело.

Будем перебирать возможные значения $A$:

• $50 - 8 = 42$ (не делится на 9)
• $51 - 8 = 43$ (не делится на 9)
• $52 - 8 = 44$ (не делится на 9)
• $53 - 8 = 45$ ($45 = 9 \cdot 5$, делится на 9). Следовательно, $A=53$ является решением.
• $54 - 8 = 46$ (не делится на 9)
• $55 - 8 = 47$ (не делится на 9)
• $56 - 8 = 48$ (не делится на 9)
• $57 - 8 = 49$ (не делится на 9)
• $58 - 8 = 50$ (не делится на 9)
• $59 - 8 = 51$ (не делится на 9)

Единственное подходящее число — это 53.

Проверка: $53 \div 9 = 5$ с остатком $8$. Условия задачи выполнены.

Ответ: делимое — 53, делитель — 9.

1299. Решая уравнение 1271(6), Вася Ленивцев записал следующее:

$6x - x = 10 + 19;$

$5x = 29;$

$x = 5,8.$

Найдите ошибку в этом «решении».

Арифметические вычисления в решении, которое записал Вася, верны: $6x - x$ действительно равно $5x$, сумма $10 + 19$ равна $29$, и из уравнения $5x = 29$ действительно следует, что $x = 29 / 5 = 5.8$.

Следовательно, ошибка была допущена на самом первом шаге — при преобразовании исходного уравнения к виду $6x - x = 10 + 19$. Этот шаг обычно включает перенос слагаемых из одной части уравнения в другую.

Основное правило, которое при этом используется, гласит: при переносе слагаемого из одной части уравнения в другую его знак меняется на противоположный.

Судя по записи Васи, исходное уравнение могло иметь вид $6x + 19 = 10 + x$.

Применяя правило переноса слагаемых, Вася должен был:

1. Перенести слагаемое $x$ из правой части в левую, изменив его знак с «+» на «−». Он это сделал правильно: $6x - x$.
2. Перенести слагаемое $19$ из левой части в правую, изменив его знак с «+» на «−». Здесь он и допустил ошибку, так как не изменил знак: вместо $10 - 19$ он написал $10 + 19$.

Таким образом, ошибка заключается в неверном применении правила переноса слагаемых.

Покажем правильное решение, исходя из предполагаемого исходного уравнения:

Исходное уравнение:

$6x + 19 = 10 + x$

Переносим слагаемые ( $x$ влево, $19$ вправо), меняя их знаки:

$6x - x = 10 - 19$

Упрощаем обе части:

$5x = -9$

Находим x:

$x = -9 / 5$

$x = -1.8$

Ответ: Ошибка допущена при переносе слагаемого $19$ из левой части уравнения в правую: его знак не был изменен на противоположный (с «+» на «−»).

1300. В шахматной доске размером $8 \times 8$ клеток вырезали крайнюю левую верхнюю и крайнюю правую нижнюю клетки. Можно ли оставшуюся часть доски замостить косточками домино, покрывая одной косточкой ровно две клетки доски?

Это классическая задача на раскраску.

1. Стандартная шахматная доска размером $8 \times 8$ содержит $64$ клетки. При стандартной раскраске на ней 32 белые и 32 черные клетки.

2. Крайняя левая верхняя и крайняя правая нижняя клетки (угловые клетки, лежащие на одной главной диагонали) всегда имеют одинаковый цвет. Предположим, что они обе черного цвета.

3. Когда эти две клетки вырезали, на доске осталось $64 - 2 = 62$ клетки. Поскольку обе вырезанные клетки были черными, на доске осталось 30 черных клеток и 32 белые клетки.

4. Каждая косточка домино покрывает ровно две соседние клетки. На шахматной доске любые две клетки, соседние по стороне, всегда имеют разный цвет. Таким образом, любая косточка домино, положенная на доску, накроет одну белую и одну черную клетку.

5. Чтобы полностью замостить оставшуюся часть доски, состоящую из 62 клеток, потребуется $62 \div 2 = 31$ косточка домино. Эти 31 косточка покроют 31 белую и 31 черную клетку.

6. Однако на нашей доске после вырезания углов осталось 30 черных и 32 белых клетки, то есть количество клеток разного цвета не равно. Следовательно, замостить такую доску косточками домино невозможно.

Ответ: Нет, нельзя.