Страница 269 - гдз по математике 6 класс учебник Мерзляк, Полонский

1311. (Из «Арифметики» Л. Магницкого) Летели скворцы и встретились им деревья. Когда сели по одному на дерево, то одному скворцу не хватило дерева, а когда на каждое дерево сели по два скворца, то одно дерево осталось не занято. Сколько было скворцов и сколько было деревьев?

Для решения этой старинной задачи введем переменные. Пусть $S$ — это количество скворцов, а $D$ — количество деревьев.

Проанализируем условия задачи и составим уравнения.

1. Первое условие: «Когда сели по одному на дерево, то одному скворцу не хватило дерева».

Это означает, что количество скворцов на единицу больше, чем количество деревьев. Если бы каждый скворец сел на свое дерево, то один скворец остался бы без места. Математически это можно выразить следующим уравнением:

$S = D + 1$

2. Второе условие: «Когда на каждое дерево сели по два скворца, то одно дерево осталось не занято».

Из этого следует, что скворцы заняли не все деревья, а на одно меньше, то есть $D - 1$ деревьев. Поскольку на каждое из этих занятых деревьев село по два скворца, общее количество скворцов можно выразить так:

$S = 2 \cdot (D - 1)$

3. Решение системы уравнений.

Теперь у нас есть система из двух уравнений с двумя неизвестными:

$S = D + 1$
$S = 2(D - 1)$

Так как левые части обоих уравнений равны (обе равны $S$), мы можем приравнять их правые части:

$D + 1 = 2(D - 1)$

Теперь решим это уравнение, чтобы найти количество деревьев $D$. Сначала раскроем скобки:

$D + 1 = 2D - 2$

Перенесем все слагаемые с переменной $D$ в одну сторону, а свободные члены — в другую:

$1 + 2 = 2D - D$

$3 = D$

Итак, мы выяснили, что было 3 дерева.

Чтобы найти количество скворцов $S$, подставим найденное значение $D = 3$ в любое из первоначальных уравнений. Проще всего использовать первое:

$S = D + 1$

$S = 3 + 1$

$S = 4$

Следовательно, скворцов было 4.

Проверка.

Давайте убедимся, что найденные значения (4 скворца и 3 дерева) удовлетворяют обоим условиям задачи.

• Если 4 скворца сядут по одному на 3 дерева, то 3 скворца займут по дереву, а одному ($4 - 3 = 1$) скворцу дерева не хватит. Это соответствует первому условию.
• Если 4 скворца сядут по двое, они образуют две пары и займут 2 дерева. При этом одно дерево из трех ($3 - 2 = 1$) останется незанятым. Это соответствует второму условию.

Решение верное.

Ответ: Было 4 скворца и 3 дерева.

1312. Белки Рыженькая и Жёлтенькая собирали орехи, причём Рыженькая собрала в 8 раз меньше орехов, чем Жёлтенькая. Тогда Жёлтенькая отдала Рыженькой 42 своих ореха, после чего орехов у белок стало поровну. Сколько орехов собрала каждая белка?

Для решения задачи составим уравнение.

Пусть $x$ — количество орехов, которое собрала Рыженькая.

По условию, Рыженькая собрала в 8 раз меньше орехов, чем Жёлтенькая. Значит, Жёлтенькая собрала $8x$ орехов.

Когда Жёлтенькая отдала 42 ореха, у неё стало $8x - 42$ орехов.

Рыженькая получила 42 ореха, и у неё стало $x + 42$ орехов.

После этого количество орехов у белок стало равным. Составим уравнение:

$x + 42 = 8x - 42$

Перенесём слагаемые с переменной $x$ в одну часть уравнения, а числа — в другую:

$42 + 42 = 8x - x$

$84 = 7x$

Теперь найдём $x$:

$x = \frac{84}{7}$

$x = 12$

Итак, мы нашли, что Рыженькая собрала 12 орехов.

Теперь вычислим, сколько орехов собрала Жёлтенькая:

$8x = 8 \times 12 = 96$ (орехов).

Проверим: после того, как Жёлтенькая отдала 42 ореха, у неё стало $96 - 42 = 54$. У Рыженькой стало $12 + 42 = 54$. Количество орехов стало равным.

Ответ: Рыженькая собрала 12 орехов, а Жёлтенькая — 96 орехов.

1313.За три дня яхта капитана Рунгеля преодолела 222 км, причём за второй день она преодолела $ \frac{7}{8} $ расстояния, пройденного за первый день, а за третий – 90 % того, что прошла за первый. Сколько километров проходила яхта каждый день?

Обозначим расстояние, пройденное яхтой за первый день, переменной $x$ (в км).

Согласно условию, за второй день яхта преодолела $\frac{7}{8}$ расстояния, пройденного за первый день. Это составляет $\frac{7}{8}x$ км.

За третий день яхта прошла 90% того, что прошла за первый. Выразим проценты в виде десятичной дроби: $90\% = \frac{90}{100} = 0,9$. Таким образом, расстояние за третий день равно $0,9x$ км.

Общее расстояние за три дня составляет 222 км. Мы можем составить уравнение, сложив расстояния за каждый из трёх дней:

$x + \frac{7}{8}x + 0,9x = 222$

Для решения уравнения преобразуем все коэффициенты при $x$ в обыкновенные дроби. Мы знаем, что $x = \frac{1}{1}x$ и $0,9 = \frac{9}{10}$.

$x + \frac{7}{8}x + \frac{9}{10}x = 222$

Приведем дроби к общему знаменателю. Наименьшее общее кратное для знаменателей 1, 8 и 10 равно 40.

$\frac{40}{40}x + \frac{7 \cdot 5}{8 \cdot 5}x + \frac{9 \cdot 4}{10 \cdot 4}x = 222$

$\frac{40}{40}x + \frac{35}{40}x + \frac{36}{40}x = 222$

Теперь сложим коэффициенты:

$\frac{40 + 35 + 36}{40}x = 222$

$\frac{111}{40}x = 222$

Чтобы найти $x$, умножим обе части уравнения на $\frac{40}{111}$:

$x = 222 \cdot \frac{40}{111}$

Заметим, что $222 = 2 \cdot 111$, и сократим дробь:

$x = \frac{2 \cdot 111 \cdot 40}{111} = 2 \cdot 40 = 80$

Итак, расстояние, пройденное в первый день, равно 80 км.

Теперь, зная $x$, мы можем найти расстояния за второй и третий дни.

За второй день:

Расстояние составляет $\frac{7}{8}$ от пройденного за первый день: $\frac{7}{8}x = \frac{7}{8} \cdot 80 = 7 \cdot 10 = 70$ км.

За третий день:

Расстояние составляет 90% от пройденного за первый день: $0,9x = 0,9 \cdot 80 = 72$ км.

Выполним проверку, сложив полученные расстояния: $80 + 70 + 72 = 150 + 72 = 222$ км. Сумма совпадает с общим расстоянием, указанным в задаче.

Ответ: в первый день яхта прошла 80 км, во второй — 70 км, а в третий — 72 км.

1314. Четверо рабочих изготовили 152 детали. Второй рабочий изготовил $ \frac{5}{6} $ количества деталей, изготовленных первым, третий — 90 % того, что изготовил второй, а четвёртый — на 8 деталей меньше, чем третий. Сколько деталей изготовил каждый рабочий?

Для решения задачи введём переменную и составим уравнение на основе данных условия.

Пусть $x$ — это количество деталей, которое изготовил первый рабочий.

Исходя из этого, выразим количество деталей, изготовленных остальными рабочими:
- Второй рабочий изготовил $\frac{5}{6}$ от количества первого рабочего, то есть $\frac{5}{6}x$ деталей.
- Третий рабочий изготовил 90% от количества второго. Переведём проценты в десятичную дробь: $90\% = 0.9$. Тогда третий рабочий изготовил: $0.9 \cdot (\frac{5}{6}x) = \frac{9}{10} \cdot \frac{5}{6}x = \frac{45}{60}x = \frac{3}{4}x$ деталей.
- Четвёртый рабочий изготовил на 8 деталей меньше, чем третий, то есть $(\frac{3}{4}x - 8)$ деталей.

Общее количество изготовленных деталей — 152. Сложим количество деталей каждого рабочего и приравняем к 152, чтобы составить уравнение:

$x + \frac{5}{6}x + \frac{3}{4}x + (\frac{3}{4}x - 8) = 152$

Теперь решим полученное уравнение. Сначала перенесём число -8 в правую часть уравнения с противоположным знаком и объединим подобные слагаемые:

$x + \frac{5}{6}x + \frac{3}{4}x + \frac{3}{4}x = 152 + 8$

$x + \frac{5}{6}x + \frac{6}{4}x = 160$

Сократим дробь $\frac{6}{4}$ на 2:

$x + \frac{5}{6}x + \frac{3}{2}x = 160$

Чтобы сложить дроби, приведём их к общему знаменателю 6:

$\frac{6}{6}x + \frac{5}{6}x + \frac{3 \cdot 3}{2 \cdot 3}x = 160$

$\frac{6}{6}x + \frac{5}{6}x + \frac{9}{6}x = 160$

Теперь сложим коэффициенты при $x$:

$\frac{6+5+9}{6}x = 160$

$\frac{20}{6}x = 160$

Сократим дробь $\frac{20}{6}$ на 2, чтобы упростить её:

$\frac{10}{3}x = 160$

Найдём $x$, разделив 160 на $\frac{10}{3}$:

$x = 160 \div \frac{10}{3} = 160 \cdot \frac{3}{10} = 16 \cdot 3 = 48$

Итак, мы нашли, что первый рабочий изготовил 48 деталей.

Теперь, зная $x$, можем найти, сколько деталей изготовил каждый из остальных рабочих:
- Второй рабочий: $\frac{5}{6} \cdot 48 = 5 \cdot 8 = 40$ деталей.
- Третий рабочий: $\frac{3}{4} \cdot 48 = 3 \cdot 12 = 36$ деталей.
- Четвёртый рабочий: $36 - 8 = 28$ деталей.

Для проверки сложим количество деталей всех рабочих:

$48 + 40 + 36 + 28 = 88 + 64 = 152$

Общее количество совпадает с условием задачи.

Ответ: первый рабочий изготовил 48 деталей, второй — 40 деталей, третий — 36 деталей, а четвёртый — 28 деталей.

1315. Аладдин купил сливочное мороженое по 12 драхм за порцию и шоколадное – по 18 драхм. Сколько порций каждого вида мороженого приобрёл Аладдин, если всего он купил 24 порции, заплатив за всю покупку 372 драхмы?

Для решения задачи составим систему уравнений. Пусть $x$ – количество порций сливочного мороженого, а $y$ – количество порций шоколадного мороженого, которые купил Аладдин.

По условию, всего было куплено 24 порции. Это даёт нам первое уравнение:
$x + y = 24$

Одна порция сливочного мороженого стоит 12 драхм, а шоколадного – 18 драхм. Общая стоимость покупки составила 372 драхмы. Это даёт нам второе уравнение:
$12x + 18y = 372$

Получаем систему уравнений:
$\begin{cases} x + y = 24 \\ 12x + 18y = 372 \end{cases}$

Выразим $x$ из первого уравнения:
$x = 24 - y$

Подставим полученное выражение для $x$ во второе уравнение и решим его:
$12(24 - y) + 18y = 372$
$288 - 12y + 18y = 372$
$6y = 372 - 288$
$6y = 84$
$y = \frac{84}{6}$
$y = 14$
Итак, Аладдин купил 14 порций шоколадного мороженого.

Теперь найдём количество порций сливочного мороженого, подставив значение $y$ в выражение $x = 24 - y$:
$x = 24 - 14$
$x = 10$
Следовательно, Аладдин купил 10 порций сливочного мороженого.

Проверим правильность решения:
Количество порций: $10 + 14 = 24$.
Стоимость: $10 \cdot 12 + 14 \cdot 18 = 120 + 252 = 372$ драхмы.
Все условия задачи выполнены.

Ответ: Аладдин приобрёл 10 порций сливочного мороженого и 14 порций шоколадного.

1316. Карл купил 16 пирожных по 10 и по 16 крон, заплатив всего 202 кроны. Сколько пирожных каждого вида купил Карл?

Для решения этой задачи можно составить систему из двух линейных уравнений с двумя неизвестными.

Пусть $x$ — количество пирожных, которые Карл купил по 10 крон.
Пусть $y$ — количество пирожных, которые Карл купил по 16 крон.

Согласно условию, всего было куплено 16 пирожных. Это дает нам первое уравнение:
$x + y = 16$

Общая стоимость покупки составила 202 кроны. Это дает нам второе уравнение:
$10x + 16y = 202$

Получаем систему уравнений:
$ \begin{cases} x + y = 16 \\ 10x + 16y = 202 \end{cases} $

Решим эту систему методом подстановки. Выразим $x$ из первого уравнения:
$x = 16 - y$

Теперь подставим это выражение для $x$ во второе уравнение:
$10(16 - y) + 16y = 202$

Раскроем скобки и решим уравнение относительно $y$:
$160 - 10y + 16y = 202$
$6y = 202 - 160$
$6y = 42$
$y = \frac{42}{6}$
$y = 7$

Таким образом, Карл купил 7 пирожных по 16 крон.

Теперь найдем $x$, подставив значение $y$ в выражение $x = 16 - y$:
$x = 16 - 7$
$x = 9$

Следовательно, Карл купил 9 пирожных по 10 крон.

Проверим правильность решения:
Общее количество пирожных: $9 + 7 = 16$.
Общая стоимость: $(9 \times 10) + (7 \times 16) = 90 + 112 = 202$ кроны.
Все условия задачи выполнены.

Ответ: Карл купил 9 пирожных по 10 крон и 7 пирожных по 16 крон.

1317.Двум школам выделили на ремонт одинаковую сумму. Когда для первой школы купили строительные материалы стоимостью 400 000 р., а для второй – стоимостью 240 000 р., то в распоряжении второй школы денег осталось в 9 раз больше, чем в распоряжении первой. Сколько рублей было выделено на ремонт каждой школы?

Пусть $x$ рублей — это одинаковая сумма, которую выделили на ремонт каждой школе.

После того как первая школа купила строительные материалы на 400 000 рублей, у неё осталось $(x - 400\ 000)$ рублей.

После того как вторая школа купила строительные материалы на 240 000 рублей, у неё осталось $(x - 240\ 000)$ рублей.

По условию задачи, у второй школы денег осталось в 9 раз больше, чем у первой. На основании этого можно составить следующее уравнение:

$x - 240\ 000 = 9 \cdot (x - 400\ 000)$

Теперь решим это уравнение. Сначала раскроем скобки в правой части:

$x - 240\ 000 = 9x - 3\ 600\ 000$

Перенесём все слагаемые с переменной $x$ в правую часть уравнения, а числовые значения — в левую часть, меняя знаки при переносе:

$3\ 600\ 000 - 240\ 000 = 9x - x$

Выполним вычисления в обеих частях уравнения:

$3\ 360\ 000 = 8x$

Чтобы найти $x$, разделим обе части уравнения на 8:

$x = \frac{3\ 360\ 000}{8}$

$x = 420\ 000$

Следовательно, на ремонт каждой школы было выделено 420 000 рублей.

Проверим полученный результат:

Остаток денег у первой школы: $420\ 000 - 400\ 000 = 20\ 000$ рублей.

Остаток денег у второй школы: $420\ 000 - 240\ 000 = 180\ 000$ рублей.

Сравним остатки: $\frac{180\ 000}{20\ 000} = 9$. У второй школы действительно осталось в 9 раз больше денег, чем у первой. Решение верное.

Ответ: 420 000 рублей.

1318. Для полива огорода в две бочки налили одинаковое количество воды. Когда из первой бочки использовали 47 л воды, а из второй – 23 л, то в первой осталось в 3 раза меньше воды, чем во второй. Сколько литров воды было в каждой бочке вначале?

Пусть $x$ литров — это первоначальное количество воды в каждой бочке.

После того как из первой бочки использовали 47 литров, в ней осталось $(x - 47)$ литров воды.

После того как из второй бочки использовали 23 литра, в ней осталось $(x - 23)$ литра воды.

По условию задачи, в первой бочке осталось в 3 раза меньше воды, чем во второй. Это можно выразить уравнением, где количество воды во второй бочке равно утроенному количеству воды в первой:

$3 \cdot (x - 47) = x - 23$

Теперь решим это уравнение. Сначала раскроем скобки в левой части:

$3x - 141 = x - 23$

Перенесем слагаемые с переменной $x$ в левую часть уравнения, а числовые слагаемые — в правую, меняя их знаки при переносе на противоположные:

$3x - x = 141 - 23$

Упростим обе части уравнения:

$2x = 118$

Найдем $x$, разделив обе части уравнения на 2:

$x = \frac{118}{2}$

$x = 59$

Таким образом, мы выяснили, что первоначально в каждой бочке было по 59 литров воды.

Проверка:

Найдем, сколько воды осталось в каждой бочке, подставив найденное значение $x=59$.

В первой бочке осталось: $59 - 47 = 12$ литров.

Во второй бочке осталось: $59 - 23 = 36$ литров.

Сравним остатки: $36 \div 12 = 3$. В первой бочке действительно осталось в 3 раза меньше воды, чем во второй. Условие задачи выполнено, следовательно, решение верное.

Ответ: 59 литров.

1319. У Андрея было в 5 раз больше денег, чем у Лены. Когда Андрей купил книгу за 240 р., а Лена — куклу за 80 р., то у Лены осталось на 320 р. меньше, чем у Андрея. Сколько денег было у каждого из них вначале?

Для решения этой задачи введем переменную и составим уравнение.

Пусть $x$ рублей — это сумма денег, которая была у Лены первоначально.

Из условия задачи известно, что у Андрея было в 5 раз больше денег, чем у Лены. Следовательно, у Андрея было $5x$ рублей.

Андрей потратил 240 рублей на книгу, и у него осталось: $(5x - 240)$ рублей.

Лена потратила 80 рублей на куклу, и у нее осталось: $(x - 80)$ рублей.

После этого у Лены осталось на 320 рублей меньше, чем у Андрея. Это значит, что разница между оставшейся суммой Андрея и оставшейся суммой Лены равна 320. Составим и решим уравнение:

$(5x - 240) - (x - 80) = 320$

Раскроем скобки. Обратите внимание на знак минус перед второй скобкой:

$5x - 240 - x + 80 = 320$

Приведем подобные слагаемые в левой части уравнения:

$(5x - x) - (240 - 80) = 320$

$4x - 160 = 320$

Перенесем число -160 в правую часть уравнения, изменив его знак на противоположный:

$4x = 320 + 160$

$4x = 480$

Теперь найдем $x$, разделив обе части уравнения на 4:

$x = 480 / 4$

$x = 120$

Итак, мы нашли, что у Лены первоначально было 120 рублей.

Теперь вычислим, сколько денег было у Андрея:

$5 * x = 5 * 120 = 600$ рублей.

Проверим полученные результаты:

1. У Андрея осталось: $600 - 240 = 360$ рублей.

2. У Лены осталось: $120 - 80 = 40$ рублей.

3. Разница между их оставшимися суммами: $360 - 40 = 320$ рублей. Это соответствует условию задачи.

Ответ: вначале у Андрея было 600 рублей, а у Лены — 120 рублей.