Страница 271 - гдз по математике 6 класс учебник Мерзляк, Полонский

1329. В первой цистерне было 900 л воды, а во второй — 700 л. Когда из второй цистерны взяли воды вдвое больше, чем из первой, то в первой осталось воды в 3 раза больше, чем во второй. Сколько литров воды взяли из каждой цистерны?

Пусть из первой цистерны взяли $x$ литров воды. Тогда, согласно условию, из второй цистерны взяли вдвое больше, то есть $2x$ литров воды.

После того как воду взяли, в первой цистерне осталось $900 - x$ литров воды, а во второй — $700 - 2x$ литров.

По условию задачи, в первой цистерне осталось в 3 раза больше воды, чем во второй. Можем составить уравнение:

$900 - x = 3 \cdot (700 - 2x)$

Решим это уравнение:

$900 - x = 2100 - 6x$

Перенесем слагаемые с переменной $x$ в левую часть уравнения, а числовые значения — в правую:

$6x - x = 2100 - 900$

$5x = 1200$

$x = \frac{1200}{5}$

$x = 240$

Таким образом, из первой цистерны взяли 240 литров воды.

Найдем, сколько воды взяли из второй цистерны:

$2x = 2 \cdot 240 = 480$ (литров)

Ответ: из первой цистерны взяли 240 л воды, а из второй — 480 л.

1330. В первой упаковке было $30$ кг конфет, а во второй – $50$ кг. Когда из второй упаковки продали в $4$ раза больше конфет, чем из первой, то в первой осталось в $2$ раза больше конфет, чем во второй. Сколько килограммов конфет продали из каждой упаковки?

Для решения этой задачи введем переменную и составим уравнение.

Пусть $x$ кг — это количество конфет, которое продали из первой упаковки.

Согласно условию, из второй упаковки продали в 4 раза больше конфет, чем из первой. Следовательно, из второй упаковки продали $4x$ кг конфет.

Изначально в первой упаковке было 30 кг конфет. После того как продали $x$ кг, в ней осталось $(30 - x)$ кг конфет.

Изначально во второй упаковке было 50 кг конфет. После того как продали $4x$ кг, в ней осталось $(50 - 4x)$ кг конфет.

В условии сказано, что в первой упаковке осталось в 2 раза больше конфет, чем во второй. На основе этого мы можем составить уравнение:

$30 - x = 2 \cdot (50 - 4x)$

Теперь решим полученное уравнение, чтобы найти значение $x$.

Сначала раскроем скобки в правой части уравнения:

$30 - x = 100 - 8x$

Перенесем все слагаемые с переменной $x$ в левую часть уравнения, а постоянные члены — в правую, не забывая менять знак при переносе:

$8x - x = 100 - 30$

Приведем подобные слагаемые:

$7x = 70$

Найдем $x$, разделив обе части уравнения на 7:

$x = \frac{70}{7}$

$x = 10$

Итак, из первой упаковки продали 10 кг конфет.

Теперь найдем, сколько килограммов конфет продали из второй упаковки, умножив $x$ на 4:

$4x = 4 \cdot 10 = 40$ (кг)

Проверим, выполняется ли условие задачи.

Остаток в первой упаковке: $30 - 10 = 20$ кг.

Остаток во второй упаковке: $50 - 40 = 10$ кг.

Сравним остатки: $20$ кг действительно в 2 раза больше, чем $10$ кг ($20 = 2 \cdot 10$). Условие выполнено.

Ответ: из первой упаковки продали 10 кг конфет, из второй — 40 кг.

1331. Каждую минуту в первую бочку из крана наливалось 3 л воды, а во вторую из другого крана – 2 л. В 12 ч в первой бочке был 21 л воды, а во второй – 54 л. Определите, в котором часу в первой бочке было в 4 раза меньше литров воды, чем во второй.

Пусть $t$ — это время в минутах, прошедшее с 12:00. Положительное значение $t$ будет означать время после 12:00, а отрицательное — до 12:00.

Объем воды в первой бочке в момент времени $t$ можно выразить формулой:

$V_1(t) = 21 + 3t$ (литров)

Здесь 21 л — это объем в 12:00, а 3 л/мин — скорость, с которой вода наливалась в бочку.

Аналогично, для второй бочки:

$V_2(t) = 54 + 2t$ (литров)

Здесь 54 л — это объем в 12:00, а 2 л/мин — скорость наполнения.

По условию задачи, необходимо найти время $t$, когда объем воды в первой бочке был в 4 раза меньше, чем во второй. Это можно записать в виде уравнения:

$V_2(t) = 4 \cdot V_1(t)$

Подставим в это уравнение выражения для объемов:

$54 + 2t = 4 \cdot (21 + 3t)$

Теперь решим это уравнение относительно $t$. Сначала раскроем скобки в правой части:

$54 + 2t = 84 + 12t$

Сгруппируем слагаемые с переменной $t$ в одной части уравнения, а свободные члены — в другой:

$12t - 2t = 54 - 84$

$10t = -30$

Найдем $t$:

$t = \frac{-30}{10} = -3$

Значение $t = -3$ означает, что искомое событие произошло за 3 минуты до 12:00.

Чтобы найти точное время, вычтем 3 минуты из 12:00:

12 ч 00 мин – 3 мин = 11 ч 57 мин.

Ответ: в 11 часов 57 минут.

1332. В магазине продаётся три вида чашек и два вида блюдец. Сколькими способами можно купить чашку с блюдцем?

Для решения этой задачи используется основное правило комбинаторики, известное как правило умножения. Оно гласит, что если некоторый объект А можно выбрать $m$ способами, а другой объект Б можно выбрать $n$ способами, то составить пару (А, Б) можно $m \times n$ способами.

В данной задаче нам нужно составить пару "чашка с блюдцем".

Количество способов выбрать чашку: 3.

Количество способов выбрать блюдце: 2.

Выбор чашки и выбор блюдца являются независимыми событиями. Это означает, что для каждой из трех чашек мы можем выбрать любое из двух блюдец. Чтобы найти общее количество возможных пар, нужно перемножить количество вариантов для каждого выбора.

Общее количество способов = (количество видов чашек) $\times$ (количество видов блюдец).

Выполним вычисление:

$3 \times 2 = 6$

Таким образом, существует 6 различных способов купить чашку с блюдцем.

Ответ: 6

1333. В школе шесть 6 классов. В 6 «Б» классе учащихся на одного больше, чем в 6 «А», в 6 «В» – на одного больше, чем в 6 «Б», и т. д. Укажите, каким из следующих чисел обязательно будет общее количество шестиклассников:

1) простым числом;

2) чётным числом;

3) нечётным числом.

Пусть в 6 «А» классе учится $x$ учеников, где $x$ — натуральное число. Согласно условию, в каждом следующем классе количество учащихся на одного больше, чем в предыдущем. Таким образом, количество учеников в шести классах можно представить в виде последовательности:

• 6 «А»: $x$
• 6 «Б»: $x+1$
• 6 «В»: $x+2$
• 6 «Г»: $x+3$
• 6 «Д»: $x+4$
• 6 «Е»: $x+5$

Общее количество шестиклассников $S$ равно сумме учеников во всех этих классах:

$S = x + (x+1) + (x+2) + (x+3) + (x+4) + (x+5)$

Сложив все слагаемые, получим:

$S = 6x + (1+2+3+4+5) = 6x + 15$

Теперь проанализируем свойства полученного числа $S = 6x + 15$.

1) простым числом

Выражение для общего количества учеников $S = 6x + 15$ можно разложить на множители, вынеся за скобки общий делитель $3$:

$S = 3(2x + 5)$

Поскольку количество учеников в классе $x$ — это натуральное число ($x \ge 1$), то второй множитель $(2x+5)$ будет не меньше, чем $2 \cdot 1 + 5 = 7$. Таким образом, общее число учеников $S$ всегда будет произведением двух натуральных чисел, каждое из которых больше единицы ($3$ и $2x+5$). Число, имеющее делители, отличные от единицы и самого себя, является составным. Следовательно, общее количество учеников не может быть простым числом.

2) чётным числом

Рассмотрим сумму $S = 6x + 15$ с точки зрения четности.Первое слагаемое, $6x$, всегда является чётным числом, так как произведение любого натурального числа на чётное число ($6$) всегда чётно.Второе слагаемое, $15$, является нечётным числом.Сумма чётного и нечётного чисел всегда даёт в результате нечётное число.Следовательно, общее количество учеников не может быть чётным числом.

3) нечётным числом

Как было показано в предыдущем пункте, общее количество учеников $S$ является суммой чётного слагаемого ($6x$) и нечётного слагаемого ($15$). Сумма чётного и нечётного чисел всегда является нечётным числом.Это означает, что вне зависимости от количества учеников в 6 «А» классе, общее количество шестиклассников обязательно будет нечётным числом.

Ответ: нечётным числом.

1334. В записи двузначного числа зачеркнули одну цифру, и оно уменьшилось в 31 раз. Какую цифру и в каком числе зачеркнули?

Пусть искомое двузначное число имеет вид $\overline{ab}$, где $a$ — это цифра десятков, а $b$ — цифра единиц. Тогда значение этого числа можно записать как $10a + b$. По условию, $a$ — это целое число от 1 до 9 ($a \in \{1, 2, ..., 9\}$), а $b$ — это целое число от 0 до 9 ($b \in \{0, 1, ..., 9\}$).

После зачеркивания одной цифры число уменьшилось в 31 раз. Это означает, что исходное число делится на 31, а в результате деления получается одна из его цифр. Рассмотрим два возможных случая.

Случай 1: Зачеркнули цифру единиц (b)

В этом случае от числа $10a + b$ остается число, равное $a$. По условию задачи, получаем уравнение:

$10a + b = 31 \cdot a$

Выразим $b$:

$b = 31a - 10a$

$b = 21a$

Поскольку $a \ge 1$ (так как это цифра десятков двузначного числа), минимальное значение для $b$ будет при $a=1$, что дает $b = 21 \cdot 1 = 21$. Однако $b$ должно быть однозначным числом (цифрой от 0 до 9). Так как $21 > 9$, этот случай не имеет решений.

Случай 2: Зачеркнули цифру десятков (a)

В этом случае от числа $10a + b$ остается число, равное $b$. По условию, получаем уравнение:

$10a + b = 31 \cdot b$

Преобразуем его:

$10a = 31b - b$

$10a = 30b$

Разделив обе части на 10, получаем:

$a = 3b$

Теперь подберем цифры $a$ и $b$, удовлетворяющие этому равенству и исходным ограничениям. Заметим, что $b$ не может быть равно 0, так как если $b=0$, то и $a=0$, а 00 не является двузначным числом. Переберем возможные значения для $b$ от 1 до 9.

Если $b = 1$, то $a = 3 \cdot 1 = 3$. Исходное число — 31. Зачеркиваем цифру 3, получаем 1. Проверка: $31 \div 1 = 31$. Решение верное.

Если $b = 2$, то $a = 3 \cdot 2 = 6$. Исходное число — 62. Зачеркиваем цифру 6, получаем 2. Проверка: $62 \div 2 = 31$. Решение верное.

Если $b = 3$, то $a = 3 \cdot 3 = 9$. Исходное число — 93. Зачеркиваем цифру 9, получаем 3. Проверка: $93 \div 3 = 31$. Решение верное.

Если $b \ge 4$, то значение $a$ будет $12$ или больше, что не является цифрой. Таким образом, других решений в этом случае нет.

Ответ: Задача имеет три решения. 1) В числе 31 зачеркнули цифру 3. 2) В числе 62 зачеркнули цифру 6. 3) В числе 93 зачеркнули цифру 9.

1335. Найдите значение выражения:

1) $(-2,04 : \frac{1}{25} + 3,61 : (-\frac{19}{40})) : (-2\frac{4}{5}) + 0,6 : (-0,9)$

2) $(7,7 : (-\frac{11}{40}) - 3,8 : (-\frac{1}{20})) \cdot (-\frac{5}{16}) - 0,4 : (-0,36)$

Решим выражение по действиям:

$\left( -2,04 : \frac{1}{25} + 3,61 : \left(-\frac{19}{40}\right) \right) : \left(-2\frac{4}{5}\right) + 0,6 : (-0,9)$

1. Вычислим первое действие в скобках. Преобразуем десятичную дробь в обыкновенную:

$-2,04 : \frac{1}{25} = -\frac{204}{100} : \frac{1}{25} = -\frac{51}{25} \cdot \frac{25}{1} = -51$.

2. Вычислим второе действие в скобках. Преобразуем десятичную дробь в обыкновенную:

$3,61 : \left(-\frac{19}{40}\right) = \frac{361}{100} : \left(-\frac{19}{40}\right) = \frac{361}{100} \cdot \left(-\frac{40}{19}\right)$.

Так как $19^2 = 361$, можем сократить:

$-\frac{19 \cdot 19 \cdot 40}{100 \cdot 19} = -\frac{19 \cdot 40}{100} = -\frac{760}{100} = -7,6$.

3. Сложим результаты, полученные в скобках:

$-51 + (-7,6) = -51 - 7,6 = -58,6$.

4. Выполним деление результата из скобок. Преобразуем смешанное число в десятичную дробь:

$-2\frac{4}{5} = -2,8$.

$-58,6 : (-2,8) = 58,6 : 2,8 = 586 : 28 = \frac{586}{28} = \frac{293}{14}$.

5. Выполним последнее деление:

$0,6 : (-0,9) = -\frac{0,6}{0,9} = -\frac{6}{9} = -\frac{2}{3}$.

6. Сложим полученные результаты:

$\frac{293}{14} + \left(-\frac{2}{3}\right) = \frac{293}{14} - \frac{2}{3}$.

Приведем дроби к общему знаменателю 42:

$\frac{293 \cdot 3}{14 \cdot 3} - \frac{2 \cdot 14}{3 \cdot 14} = \frac{879}{42} - \frac{28}{42} = \frac{879 - 28}{42} = \frac{851}{42}$.

Преобразуем неправильную дробь в смешанное число:

$\frac{851}{42} = 20\frac{11}{42}$.

Ответ: $20\frac{11}{42}$.

Решим выражение по действиям:

$\left( 7,7 : \left(-\frac{11}{40}\right) - 3,8 : \left(-\frac{1}{20}\right) \right) \cdot \left(-\frac{5}{16}\right) - 0,4 : (-0,36)$

1. Вычислим первое действие в скобках. Преобразуем десятичную дробь в обыкновенную:

$7,7 : \left(-\frac{11}{40}\right) = \frac{77}{10} \cdot \left(-\frac{40}{11}\right) = -\frac{77 \cdot 40}{10 \cdot 11} = -\frac{7 \cdot 11 \cdot 4 \cdot 10}{10 \cdot 11} = -7 \cdot 4 = -28$.

2. Вычислим второе действие в скобках:

$3,8 : \left(-\frac{1}{20}\right) = \frac{38}{10} \cdot (-20) = -38 \cdot 2 = -76$.

3. Выполним вычитание в скобках:

$-28 - (-76) = -28 + 76 = 48$.

4. Умножим результат на дробь:

$48 \cdot \left(-\frac{5}{16}\right) = -\frac{48 \cdot 5}{16} = -\frac{3 \cdot 16 \cdot 5}{16} = -3 \cdot 5 = -15$.

5. Выполним последнее деление:

$-0,4 : (-0,36) = 0,4 : 0,36 = \frac{4}{10} : \frac{36}{100} = \frac{4}{10} \cdot \frac{100}{36} = \frac{4 \cdot 10}{36} = \frac{40}{36} = \frac{10}{9}$.

6. Выполним финальное вычитание:

$-15 - \frac{10}{9} = -\frac{15 \cdot 9}{9} - \frac{10}{9} = -\frac{135}{9} - \frac{10}{9} = -\frac{135 + 10}{9} = -\frac{145}{9}$.

Преобразуем неправильную дробь в смешанное число:

$-\frac{145}{9} = -16\frac{1}{9}$.

Ответ: $-16\frac{1}{9}$.

1336. В записи числа 689 153 401 зачеркните три цифры так, чтобы оставшиеся цифры в том же порядке составили наибольшее из возможных

чисел.

В исходном числе 689 153 401 всего 9 цифр. По условию, необходимо зачеркнуть три цифры. Значит, итоговое число будет состоять из $9 - 3 = 6$ цифр, причем их относительный порядок должен сохраниться.

Чтобы получить наибольшее возможное число, нужно, чтобы его старшие разряды (цифры, стоящие слева) были как можно больше. Поэтому будем формировать искомое число, выбирая его цифры последовательно слева направо.

Выбор первой цифры.
Нам нужно выбрать первую цифру для нового шестизначного числа. Мы можем вычеркнуть до трех цифр. Это означает, что первая цифра итогового числа может быть найдена среди первых $3+1=4$ цифр исходного числа: 6, 8, 9, 1. Самая большая из них — 9. Чтобы 9 стала первой цифрой, мы должны вычеркнуть цифры 6 и 8, стоящие перед ней. Таким образом, мы использовали два вычеркивания из трех возможных.

Выбор второй цифры.
После вычеркивания 6 и 8, у нас осталась последовательность 9153401. Первую цифру (9) мы уже выбрали. Теперь ищем вторую цифру из оставшейся части 153401. У нас осталось право на одно вычеркивание. Значит, вторую цифру можно выбрать из первых $1+1=2$ кандидатов: 1 и 5. Наибольшая из них — 5. Чтобы 5 стала второй цифрой, мы вычеркиваем стоящую перед ней цифру 1. На этом мы использовали последнее, третье, вычеркивание.

Формирование итогового числа.
Мы вычеркнули три цифры: 6, 8 и 1. Первые две цифры итогового числа — 9 и 5. Так как мы больше не можем вычеркивать цифры, все оставшиеся цифры исходного числа (3, 4, 0, 1) должны быть добавлены к результату в их исходном порядке.

В результате получаем число 953 401.

Ответ: 953401

1337. Из вершины B развёрнутого угла ABC провели луч BK так, что $ \angle ABK = 108^\circ $. Луч BD — биссектриса угла CBK. Вычислите градусную меру угла $DBK$.

Поскольку угол $ABC$ — развёрнутый, его градусная мера равна $180^\circ$.

Угол $ABC$ состоит из двух смежных углов: $\angle ABK$ и $\angle CBK$. Сумма смежных углов равна градусной мере развёрнутого угла.

$\angle ABK + \angle CBK = \angle ABC = 180^\circ$

По условию $\angle ABK = 108^\circ$. Найдём градусную меру угла $CBK$:

$\angle CBK = 180^\circ - \angle ABK = 180^\circ - 108^\circ = 72^\circ$

Луч $BD$ является биссектрисой угла $CBK$. По определению биссектриса делит угол на два равных угла. Следовательно, угол $DBK$ равен половине угла $CBK$.

$\angle DBK = \frac{\angle CBK}{2}$

Вычислим градусную меру угла $DBK$:

$\angle DBK = \frac{72^\circ}{2} = 36^\circ$

Ответ: $36^\circ$

1338. Существуют ли 1005 натуральных чисел (не обязательно разных), сумма которых равна их произведению?

Да, такие числа существуют. Для ответа на этот вопрос достаточно привести один пример такого набора чисел.

Рассмотрим набор из 1005 натуральных чисел, состоящий из чисел 2, 1005 и 1003 чисел, равных единице.

То есть, пусть искомые числа $a_1, a_2, \ldots, a_{1005}$ будут такими:

$a_1 = 2$, $a_2 = 1005$, и $a_3 = a_4 = \ldots = a_{1005} = 1$.

Проверим, выполняется ли для этого набора условие равенства суммы и произведения.

Найдем сумму этих 1005 чисел:

$S = 2 + 1005 + \underbrace{1 + 1 + \ldots + 1}_{1003 \text{ слагаемых}} = 1007 + 1003 \cdot 1 = 2010$.

Теперь найдем их произведение:

$P = 2 \cdot 1005 \cdot \underbrace{1 \cdot 1 \cdot \ldots \cdot 1}_{1003 \text{ множителя}} = 2010 \cdot 1 = 2010$.

Сумма чисел равна их произведению: $S = P = 2010$.

Таким образом, мы показали, что искомый набор чисел существует.

Ответ: да, существуют. Например, набор чисел, состоящий из 2, 1005 и 1003 единиц.