Страница 277 - гдз по математике 6 класс учебник Мерзляк, Полонский

1349. На рисунке 221 изображён прямоугольник ABCD, в котором $AB = 2 \text{ см}$, $AD = 5 \text{ см}$. Каково расстояние от точки C: 1) до прямой AD; 2) до прямой AB?

Рис. 221

По условию задачи дан прямоугольник ABCD со сторонами $AB = 2$ см и $AD = 5$ см.

Расстояние от точки до прямой определяется как длина перпендикуляра, опущенного из этой точки на данную прямую.

Чтобы найти расстояние от точки C до прямой AD, необходимо найти длину перпендикуляра, проведенного из точки C к прямой AD. Поскольку ABCD является прямоугольником, все его углы прямые, то есть равны 90°. Следовательно, угол $\angle D = 90°$. Это означает, что сторона CD перпендикулярна стороне AD. Таким образом, отрезок CD является перпендикуляром от точки C к прямой AD, и его длина равна искомому расстоянию. В прямоугольнике противолежащие стороны равны, поэтому $CD = AB$. Так как $AB = 2$ см, то и $CD = 2$ см.

Ответ: 2 см.

Чтобы найти расстояние от точки C до прямой AB, необходимо найти длину перпендикуляра, проведенного из точки C к прямой AB. Так как ABCD — прямоугольник, угол $\angle B = 90°$. Это означает, что сторона BC перпендикулярна стороне AB. Следовательно, отрезок BC является перпендикуляром от точки C к прямой AB, и его длина равна искомому расстоянию. В прямоугольнике противолежащие стороны равны, поэтому $BC = AD$. Так как $AD = 5$ см, то и $BC = 5$ см.

Ответ: 5 см.

1350. Сторона квадрата ABCD равна 7 см (рис. 222). Найдите расстояние:

1) от точки A до прямой CD;

2) от точки D до прямой BC.

Рис. 222

По условию задачи, дана фигура ABCD, которая является квадратом. Сторона квадрата равна 7 см. Основные свойства квадрата: все стороны равны, и все углы прямые ($90^\circ$).

1) от точки А до прямой CD

Расстояние от точки до прямой определяется длиной перпендикуляра, опущенного из этой точки на данную прямую. Рассмотрим квадрат ABCD. Угол между сторонами AD и CD является прямым, то есть $\angle ADC = 90^\circ$. Это означает, что сторона AD перпендикулярна стороне CD. Следовательно, отрезок AD и есть перпендикуляр от точки A к прямой CD. Длина этого перпендикуляра равна длине стороны квадрата.

Так как сторона квадрата равна 7 см, то $AD = 7$ см.

Ответ: 7 см.

2) от точки D до прямой BC

Аналогично первому пункту, найдем расстояние от точки D до прямой BC. Угол между сторонами DC и BC в квадрате также является прямым, то есть $\angle DCB = 90^\circ$. Это значит, что сторона DC перпендикулярна стороне BC. Таким образом, отрезок DC является перпендикуляром, опущенным из точки D на прямую BC. Его длина равна длине стороны квадрата.

Так как сторона квадрата равна 7 см, то $DC = 7$ см.

Ответ: 7 см.

1351. Считая, что длина стороны клетки равна 1 см, найдите расстояние от точки M до прямой a (рис. 223).

Расстояние от точки до прямой определяется длиной перпендикуляра, опущенного из этой точки на прямую.

На рисунке 223 изображена сетка из квадратов (клеток). Прямая a проходит по одной из горизонтальных линий сетки. Точка M расположена на одном из узлов сетки. Перпендикуляр от точки M к прямой a будет представлять собой вертикальный отрезок, идущий вдоль линий сетки.

Чтобы найти длину этого перпендикуляра, достаточно посчитать количество клеток, разделяющих точку M и прямую a по вертикали. Из рисунка видно, что от точки M до прямой a ровно 3 клетки.

Согласно условию, длина стороны одной клетки равна 1 см. Таким образом, расстояние от точки M до прямой a составляет:
$3 \times 1 \text{ см} = 3 \text{ см}$.

Ответ: 3 см.

1352. Считая, что длина стороны клетки равна 1 см, найдите расстояние от точки K до прямой m (рис. 224).

Рис. 224

Расстояние от точки до прямой — это длина перпендикуляра, опущенного из этой точки на прямую.

На рисунке изображена клетчатая плоскость. Прямая m является вертикальной линией сетки. Точка K расположена на одном из узлов сетки. Поскольку линии сетки перпендикулярны друг другу, то кратчайшее расстояние от точки K до прямой m будет равно длине горизонтального отрезка, соединяющего точку K с прямой m.

Чтобы найти это расстояние, посчитаем количество клеток, которые лежат на этом горизонтальном отрезке. От точки K до прямой m необходимо двигаться вправо на 3 клетки.

По условию задачи, длина стороны одной клетки равна 1 см. Следовательно, расстояние от точки K до прямой m составляет:
$3 \times 1 \text{ см} = 3 \text{ см}$.

Ответ: 3 см.

1353. Начертите четырёхугольник ABCD, в котором:

1) $AB \perp AD$;

2) $AB \perp AD, AB \perp BC$;

3) $AB \perp AD, BC \perp CD$.

1) $AB \perp AD$

Условие $AB \perp AD$ означает, что стороны AB и AD четырёхугольника ABCD перпендикулярны. Это значит, что угол при вершине A должен быть прямым, то есть $\angle A = 90^\circ$.

Построение такого четырёхугольника:

1. Начертим произвольный отрезок AD.
2. Из точки A проведём луч, перпендикулярный отрезку AD.
3. На этом луче отложим произвольный отрезок AB.
4. Выберем произвольную точку C, не лежащую на прямых AB и AD.
5. Соединим точки B и C, а также C и D отрезками.

Полученный четырёхугольник ABCD будет иметь прямой угол при вершине A. Это может быть, например, прямоугольная трапеция, прямоугольник или просто произвольный четырёхугольник с одним прямым углом.

Ответ: Пример такого четырёхугольника – любой четырёхугольник, у которого угол $\angle A = 90^\circ$.

2) $AB \perp AD, AB \perp BC$

В этом случае даны два условия: $AB \perp AD$ и $AB \perp BC$. Это означает, что углы при вершинах A и B должны быть прямыми: $\angle A = 90^\circ$ и $\angle B = 90^\circ$.

Так как прямые AD и BC перпендикулярны одной и той же прямой AB, то они параллельны друг другу: $AD \parallel BC$. Четырёхугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие нет, называется трапецией. Поскольку углы при одной из боковых сторон (AB) прямые, такой четырёхугольник является прямоугольной трапецией.

Построение:

1. Начертим произвольный отрезок AB.
2. Из точки A проведём луч, перпендикулярный отрезку AB. На этом луче отложим отрезок AD.
3. Из точки B проведём луч, перпендикулярный отрезку AB, в ту же полуплоскость относительно прямой AB, где находится точка D. На этом луче отложим отрезок BC.
4. Соединим точки C и D отрезком.

Полученный четырёхугольник ABCD является прямоугольной трапецией.

Ответ: Пример такого четырёхугольника – прямоугольная трапеция, у которой боковая сторона AB перпендикулярна основаниям AD и BC.

3) $AB \perp AD, BC \perp CD$

Условия $AB \perp AD$ и $BC \perp CD$ означают, что углы при вершинах A и C – прямые: $\angle A = 90^\circ$ и $\angle C = 90^\circ$.

Сумма противоположных углов A и C равна $90^\circ + 90^\circ = 180^\circ$. Четырёхугольник, у которого сумма противоположных углов равна $180^\circ$, можно вписать в окружность. В данном случае диагональ BD будет являться диаметром этой окружности.

Построение:

1. Начертим произвольный отрезок AB.
2. Из точки A проведём луч, перпендикулярный отрезку AB, и отложим на нём отрезок AD. Таким образом, мы построили прямой угол A.
3. Соединим точки B и D отрезком. Этот отрезок будет диагональю четырёхугольника.
4. Построим окружность, для которой отрезок BD является диаметром.
5. Выберем на этой окружности любую точку C (не совпадающую с B или D).
6. Соединим точки B с C и C с D. Угол $\angle BCD$ будет прямым, так как он является вписанным углом, опирающимся на диаметр.

В результате мы получим четырёхугольник ABCD с прямыми углами при вершинах A и C.

Ответ: Пример такого четырёхугольника – четырёхугольник, у которого углы $\angle A = 90^\circ$ и $\angle C = 90^\circ$.

1354. Определите на глаз, а затем проверьте с помощью угольника, какие из прямых, изображённых на рисунке 225, перпендикулярны.

Рис. 225

Для решения задачи сначала определим перпендикулярные прямые визуально ("на глаз"), а затем выполним проверку с помощью чертежного угольника.

Определение на глаз

При рассмотрении рисунка 225 можно сделать следующие предположения:

• Прямые a, b, c, d, которые выглядят параллельными друг другу, кажутся перпендикулярными прямым m и r, которые, в свою очередь, также выглядят параллельными.
• Прямые p и s в точке их пересечения образуют углы, которые визуально воспринимаются как прямые.

Проверка с помощью угольника

Для точной проверки наших предположений воспользуемся угольником, имеющим прямой угол в $90^\circ$.

1. Приложим угольник к точке пересечения прямой a и прямой m так, чтобы одна из сторон его прямого угла совпала с прямой m. Мы увидим, что вторая сторона прямого угла угольника совпадает с прямой a. Это означает, что прямые перпендикулярны: $a \perp m$.
2. На рисунке прямые a, b, c, d параллельны между собой ($a \parallel b \parallel c \parallel d$), и прямые m, r также параллельны ($m \parallel r$). Согласно свойству, если прямая перпендикулярна одной из двух параллельных прямых, то она перпендикулярна и второй. Следовательно, каждая из прямых a, b, c, d перпендикулярна каждой из прямых m, r.
3. Аналогичным образом проверим прямые p и s. Приложим угольник к точке их пересечения и совмесстим стороны прямого угла с данными прямыми. Стороны угольника совпадут с прямыми p и s, что доказывает их перпендикулярность: $p \perp s$.

Таким образом, проверка с помощью угольника подтвердила нашу визуальную оценку.

Ответ: Перпендикулярными являются следующие прямые:

• каждая из прямых a, b, c, d перпендикулярна каждой из прямых m, r;
• прямая p перпендикулярна прямой s.

1355. Начертите два перпендикулярных отрезка так, чтобы они:

1) пересекались;

2) не имели общих точек;

3) имели общий конец.

Два отрезка называются перпендикулярными, если прямые, на которых они лежат, пересекаются под прямым углом ($90^\circ$).

1) пересекались

Чтобы два перпендикулярных отрезка пересекались, они должны лежать на перпендикулярных прямых и иметь одну общую точку. Простейший пример — начертить два отрезка, которые пересекаются под прямым углом, как показано на рисунке. Отрезки AB и CD лежат на перпендикулярных прямых и пересекаются в точке O.

Ответ:

2) не имели общих точек

Чтобы перпендикулярные отрезки не имели общих точек, нужно расположить их на перпендикулярных прямых так, чтобы они не пересекались. На рисунке показаны отрезки AB и CD, которые лежат на перпендикулярных прямых, но не имеют общих точек.

Ответ:

3) имели общий конец

Чтобы два перпендикулярных отрезка имели общий конец, они должны выходить из одной точки, образуя прямой угол ($90^\circ$). На рисунке отрезки AB и AC имеют общий конец в точке A и образуют прямой угол $\angle BAC$.

Ответ:

1356. Начертите два перпендикулярных луча так, чтобы они:

1) пересекались;

2) не имели общих точек.

Два луча называются перпендикулярными, если они лежат на перпендикулярных прямых. Угол между перпендикулярными прямыми равен $90^\circ$. Чтобы два перпендикулярных луча пересекались, они должны иметь общую точку. Самый простой способ этого достичь — сделать так, чтобы они исходили из одной и той же точки, образуя прямой угол.

Построение:

1. Отметим на плоскости точку $O$. Эта точка будет началом (вершиной) для обоих лучей.
2. Из точки $O$ проведём луч $OA$.
3. Из той же точки $O$ проведём луч $OB$ так, чтобы угол между лучами $OA$ и $OB$ был прямым, то есть $\angle AOB = 90^\circ$.

Полученные лучи $OA$ и $OB$ перпендикулярны, так как лежат на перпендикулярных прямых, и они пересекаются в своей общей начальной точке $O$.

Ответ: Два перпендикулярных луча могут пересекаться, если они выходят из одной точки под углом $90^\circ$.

Чтобы два перпендикулярных луча не имели общих точек, они должны лежать на перпендикулярных прямых, но при этом не пересекаться. Две перпендикулярные прямые всегда пересекаются в одной точке. Назовем эту точку $O$. Чтобы лучи, лежащие на этих прямых, не пересекались, нужно расположить их так, чтобы точка $O$ не принадлежала одновременно обоим лучам. Достаточно, чтобы хотя бы один из лучей не содержал эту точку.

Построение:

1. Начертим две перпендикулярные прямые $a$ и $b$, которые пересекаются в точке $O$.
2. На прямой $a$ выберем точку $A$, отличную от точки $O$. Проведём из точки $A$ луч, который не содержит точку $O$ (то есть направлен в сторону от $O$).
3. На прямой $b$ выберем любую точку $B$ и проведём из нее любой луч, лежащий на прямой $b$. Например, можно выбрать точку $B$ совпадающей с точкой $O$.

Полученные лучи будут перпендикулярными. Единственная возможная точка их пересечения — это точка пересечения прямых $a$ и $b$, то есть точка $O$. Но поскольку первый луч (с началом в точке $A$) не содержит точку $O$, то у лучей нет общих точек.

Ответ: Два перпендикулярных луча могут не иметь общих точек, если они лежат на перпендикулярных прямых, но расположены так, что точка пересечения этих прямых не принадлежит хотя бы одному из лучей.