Страница 279 - гдз по математике 6 класс учебник Мерзляк, Полонский

1366. Георгий ходит на занятия самбо по понедельникам, четвергам и субботам, а его друг Ахмет — на уроки музыки по вторникам, средам и пятницам. Заполните таблицу с расписанием занятий Георгия и Ахмета, если известно, что 11 и 15 марта Ахмет пойдёт на уроки музыки.

Расписание занятий:

Дата: 10 марта, 11 марта, 12 марта, 13 марта, 14 марта, 15 марта, 16 марта, 17 марта

Георгий: (пусто), (пусто), (пусто), (пусто), (пусто), (пусто), (пусто), (пусто)

Ахмет: (пусто), +, (пусто), (пусто), (пусто), +, (пусто), (пусто)

Для решения задачи нам нужно определить дни недели для указанных дат. Мы будем использовать информацию о расписании занятий Георгия и Ахмета.

1. Анализ исходных данных:

• Георгий занимается самбо по понедельникам, четвергам и субботам.
• Ахмет занимается музыкой по вторникам, средам и пятницам.
• Известно, что у Ахмета были занятия 11 марта и 15 марта.

2. Определение дней недели:

Ключевая информация — это расписание Ахмета. Его занятия проходят по вторникам, средам и пятницам. Мы знаем, что у него были занятия 11 и 15 марта.

Найдем, сколько дней прошло между этими двумя датами:

$15 - 11 = 4$ дня

Теперь посмотрим, между какими днями занятий Ахмета (вторник, среда, пятница) проходит 4 дня. Единственный такой вариант — это промежуток от пятницы до следующего вторника (пятница $\rightarrow$ суббота $\rightarrow$ воскресенье $\rightarrow$ понедельник $\rightarrow$ вторник).

Следовательно:

• 11 марта — это пятница.
• 15 марта — это вторник.

Теперь мы можем определить день недели для каждой даты в таблице:

• 10 марта — Четверг
• 11 марта — Пятница
• 12 марта — Суббота
• 13 марта — Воскресенье
• 14 марта — Понедельник
• 15 марта — Вторник
• 16 марта — Среда
• 17 марта — Четверг

3. Заполнение таблицы:

Теперь, зная дни недели, мы можем заполнить расписание для обоих мальчиков.

Расписание Георгия (понедельник, четверг, суббота):

• 10 марта (четверг) — есть занятие.
• 12 марта (суббота) — есть занятие.
• 14 марта (понедельник) — есть занятие.
• 17 марта (четверг) — есть занятие.

Расписание Ахмета (вторник, среда, пятница):

• 11 марта (пятница) — есть занятие.
• 15 марта (вторник) — есть занятие.
• 16 марта (среда) — есть занятие.

Ответ:

Заполненная таблица выглядит следующим образом:

1367. Василию Ивановичу исполнилось 80 лет, а его детям – 34, 36 и 40.

Сколько лет прошло с того времени, когда возраст отца был в 2 раза больше суммы возрастов его детей?

Пусть $x$ — это количество лет, которое прошло с того времени, когда возраст отца был в 2 раза больше суммы возрастов его детей.

В настоящее время возраст отца составляет 80 лет, а возрасты его детей — 34, 36 и 40 лет.

$x$ лет назад возраст отца был $(80 - x)$ лет. Возрасты детей соответственно были $(34 - x)$, $(36 - x)$ и $(40 - x)$ лет.

Сумма возрастов детей $x$ лет назад была равна:
$(34 - x) + (36 - x) + (40 - x) = (34 + 36 + 40) - 3x = 110 - 3x$.

По условию задачи, возраст отца в тот момент был в 2 раза больше суммы возрастов детей. Составим и решим уравнение:
$80 - x = 2 \cdot (110 - 3x)$
$80 - x = 220 - 6x$
$6x - x = 220 - 80$
$5x = 140$
$x = \frac{140}{5}$
$x = 28$

Следовательно, с того времени прошло 28 лет.

Проверка:
28 лет назад отцу было: $80 - 28 = 52$ года.
Детям было: $34 - 28 = 6$ лет, $36 - 28 = 8$ лет и $40 - 28 = 12$ лет.
Сумма возрастов детей: $6 + 8 + 12 = 26$ лет.
Возраст отца (52) действительно в два раза больше суммы возрастов детей (26), так как $52 = 2 \cdot 26$.

Ответ: 28 лет.

1368. Верно ли, что $ |a| + a = 2a $ при любом значении $a$?

Нет, данное утверждение неверно. Равенство $|a| + a = 2a$ выполняется не для любого значения $a$. Чтобы это доказать, необходимо рассмотреть два случая, которые следуют из определения модуля числа.

1. Если $a \ge 0$ (то есть $a$ — неотрицательное число или ноль).
По определению модуля, в этом случае $|a| = a$. Подставим это выражение в исходное равенство:
$a + a = 2a$
$2a = 2a$
Это равенство является тождеством и верно для всех $a \ge 0$.

2. Если $a < 0$ (то есть $a$ — отрицательное число).
По определению модуля, в этом случае $|a| = -a$. Подставим это выражение в исходное равенство:
$(-a) + a = 2a$
$0 = 2a$
Это равенство справедливо только при $a = 0$, что противоречит нашему условию $a < 0$. Следовательно, для любого отрицательного значения $a$ исходное равенство неверно.

Приведем конкретный контрпример, чтобы показать, что утверждение ложно. Пусть $a = -1$:
$|-1| + (-1) = 2 \cdot (-1)$
$1 - 1 = -2$
$0 = -2$
Мы получили неверное равенство.

Таким образом, поскольку существуют значения $a$ (любые отрицательные числа), для которых равенство $|a| + a = 2a$ не выполняется, утверждение, что оно верно при любом значении $a$, является ложным.

Ответ: нет, неверно.

1369. На шахматную доску пролили краску. Может ли количество залитых краской клеток быть на 17 меньше количества клеток, оставшихся чистыми?

Общее количество клеток на стандартной шахматной доске размером 8x8 составляет $8 \times 8 = 64$ клетки.

Обозначим количество залитых краской клеток через $x$, а количество клеток, оставшихся чистыми, — через $y$.

Сумма залитых и чистых клеток равна общему количеству клеток на доске:
$x + y = 64$

Согласно условию задачи, количество залитых клеток на 17 меньше количества чистых. Математически это можно выразить так:
$x = y - 17$

Мы получили систему из двух линейных уравнений с двумя неизвестными:
$\begin{cases} x + y = 64 \\ x = y - 17 \end{cases}$

Для решения системы подставим выражение для $x$ из второго уравнения в первое:
$(y - 17) + y = 64$

Теперь решим полученное уравнение относительно $y$:
$2y - 17 = 64$
$2y = 64 + 17$
$2y = 81$
$y = \frac{81}{2} = 40.5$

Результат показывает, что количество чистых клеток должно быть равно 40.5. Однако количество клеток на доске может быть только целым числом, так как нельзя залить или оставить чистой только часть клетки. Поскольку мы получили нецелое (дробное) число, это означает, что условие задачи невыполнимо.

Можно также рассуждать с точки зрения четности. Сумма залитых и чистых клеток $x + y = 64$ — это четное число. Разность между чистыми и залитыми клетками $y - x = 17$ — это нечетное число. Однако сумма и разность двух целых чисел всегда имеют одинаковую четность (обе четные или обе нечетные). Так как в нашем случае одно число четное, а другое нечетное, это является противоречием.

Ответ: нет, не может.