Страница 278 - гдз по математике 6 класс учебник Мерзляк, Полонский

1357.Считая, что длина стороны клетки равна 0,5 см, найдите расстояние от точки $B$ до прямой $AC$ (рис. 226).

Рис. 226

Расстояние от точки до прямой определяется длиной перпендикуляра, опущенного из этой точки на данную прямую.

Из рисунка 226 видно, что точки A и C лежат на одной горизонтальной линии сетки. Следовательно, прямая AC является горизонтальной.

Перпендикуляр, опущенный из точки B на горизонтальную прямую AC, будет представлять собой вертикальный отрезок. Длину этого перпендикуляра можно найти, посчитав количество клеток по вертикали от точки B до прямой AC.

Посчитаем клетки: по вертикали между точкой B и прямой AC находится 4 клетки.

Согласно условию задачи, длина стороны одной клетки равна 0,5 см.

Чтобы найти искомое расстояние в сантиметрах, умножим количество клеток на длину стороны одной клетки:

$4 \times 0,5 \text{ см} = 2 \text{ см}$

Ответ: 2 см.

1358. Считая, что длина стороны клетки равна 3 см, найдите расстояние от точки $C$ до прямой $AB$ (рис. 227).

Рис. 227

Расстояние от точки до прямой определяется длиной перпендикуляра, опущенного из этой точки на данную прямую.

Проанализируем расположение точек на рисунке. Точки A и B находятся на одной и той же вертикальной линии сетки, следовательно, прямая AB является вертикальной.

Перпендикуляром к вертикальной прямой является любая горизонтальная прямая. Таким образом, искомое расстояние — это длина горизонтального отрезка, соединяющего точку C с прямой AB.

Из рисунка видно, что точки C и A лежат на одной и той же горизонтальной линии. Это означает, что отрезок CA перпендикулярен прямой AB, и его длина и есть искомое расстояние.

Чтобы найти длину отрезка CA, посчитаем количество клеток между точками C и A по горизонтали. Между ними 5 клеток.

Согласно условию, длина стороны одной клетки равна 3 см. Следовательно, расстояние от точки C до прямой AB в сантиметрах равно:

$5 \times 3 = 15$ см.

Ответ: 15 см.

1359.На рисунке 228 $AB \perp CD$, $\angle MOC + \angle BOK = 130^\circ$, $\angle COK = 42^\circ$.

Вычислите градусную меру:

1) угла $MOK$;

2) угла $MOD$.

Рис. 228

По условию задачи дано, что прямые $AB$ и $CD$ перпендикулярны ($AB \perp CD$), следовательно, все углы, образованные их пересечением, равны $90^\circ$. В частности, $\angle AOC = 90^\circ$ и $\angle COB = 90^\circ$.

Угол $\angle COB$ состоит из двух углов: $\angle COK$ и $\angle BOK$. Таким образом, $\angle COB = \angle COK + \angle BOK$.

Используя известные значения $\angle COB = 90^\circ$ и $\angle COK = 42^\circ$ (из условия), найдем величину угла $\angle BOK$:

$\angle BOK = \angle COB - \angle COK = 90^\circ - 42^\circ = 48^\circ$.

В условии также дано равенство $\angle MOC + \angle BOK = 130^\circ$. Подставим в него найденное значение $\angle BOK$:

$\angle MOC + 48^\circ = 130^\circ$.

Отсюда выразим и вычислим $\angle MOC$:

$\angle MOC = 130^\circ - 48^\circ = 82^\circ$.

Искомый угол $\angle MOK$ состоит из углов $\angle MOC$ и $\angle COK$. Найдем его как их сумму:

$\angle MOK = \angle MOC + \angle COK = 82^\circ + 42^\circ = 124^\circ$.

Ответ: $124^\circ$.

Углы $\angle MOC$ и $\angle MOD$ являются смежными, так как вместе они образуют развернутый угол $\angle COD$, который соответствует прямой $CD$. Сумма смежных углов равна $180^\circ$.

$\angle MOC + \angle MOD = 180^\circ$.

Из предыдущего пункта нам известно, что $\angle MOC = 82^\circ$. Подставив это значение, найдем $\angle MOD$:

$\angle MOD = 180^\circ - \angle MOC = 180^\circ - 82^\circ = 98^\circ$.

Ответ: $98^\circ$.

1360.На рисунке 229 $AC \perp DK$, $OB \perp BF$, $\angle DBO = 54^\circ$. Вычислите градусную меру угла $ABF$.

Рис. 229

Согласно условию задачи, прямые $AC$ и $DK$ перпендикулярны ($AC \perp DK$). Это означает, что углы, образованные их пересечением в точке B, равны $90^\circ$. В частности, $\angle DBC = 90^\circ$.

Также дано, что луч $OB$ перпендикулярен лучу $BF$ ($OB \perp BF$), следовательно, угол $\angle OBF = 90^\circ$.

Известна градусная мера угла $\angle DBO = 54^\circ$.

Угол $\angle DBC$ состоит из двух углов: $\angle DBO$ и $\angle OBC$. Таким образом, мы можем записать:

$\angle DBC = \angle DBO + \angle OBC$

Подставив известные значения, найдем угол $\angle OBC$:

$90^\circ = 54^\circ + \angle OBC$

$\angle OBC = 90^\circ - 54^\circ = 36^\circ$

Теперь рассмотрим угол $\angle OBF$. Он состоит из углов $\angle OBC$ и $\angle CBF$:

$\angle OBF = \angle OBC + \angle CBF$

Подставим известные значения, чтобы найти угол $\angle CBF$:

$90^\circ = 36^\circ + \angle CBF$

$\angle CBF = 90^\circ - 36^\circ = 54^\circ$

Точки A, B, C лежат на одной прямой, поэтому угол $\angle ABC$ является развернутым и равен $180^\circ$. Углы $\angle ABF$ и $\angle CBF$ являются смежными, и их сумма равна $180^\circ$:

$\angle ABF + \angle CBF = 180^\circ$

Подставив найденное значение $\angle CBF$, вычислим искомый угол $\angle ABF$:

$\angle ABF + 54^\circ = 180^\circ$

$\angle ABF = 180^\circ - 54^\circ = 126^\circ$

Ответ: $126^\circ$

1361. Как построить перпендикулярные прямые, пользуясь шаблоном угла, который равен:

1) $15^\circ$;

2) $18^\circ$?

Для построения перпендикулярных прямых необходимо построить прямой угол, то есть угол в 90°. Имея шаблон угла в 15°, мы можем это сделать, если 90° является кратным 15°. Найдем, сколько раз нужно отложить угол 15°, чтобы в сумме получить 90°:

$90^\circ \div 15^\circ = 6$

Таким образом, для построения прямого угла нужно 6 раз последовательно отложить угол в 15° от одного луча.

Алгоритм построения:

1. Проведем произвольную прямую a и отметим на ней точку O.
2. Приложим шаблон угла так, чтобы его вершина совпала с точкой O, а одна из сторон пошла по одному из лучей прямой a.
3. Проведем луч OB₁ по второй стороне шаблона.
4. Далее, последовательно прикладывая шаблон к вновь полученному лучу (OB₁, затем OB₂ и так далее), отложим еще 5 раз угол в 15° с вершиной в точке O.
5. В результате мы получим луч OB₆, который образует с исходной прямой a угол, равный $6 \cdot 15^\circ = 90^\circ$.
6. Прямая a и прямая, содержащая луч OB₆, будут перпендикулярны.

Ответ: Нужно последовательно отложить угол в 15° шесть раз от одного луча с общей вершиной. Стороны полученного угла в 90° будут лежать на перпендикулярных прямых.

Действуем аналогично предыдущему пункту. Чтобы построить перпендикулярные прямые, используя шаблон угла в 18°, необходимо построить угол в 90°. Проверим, кратно ли 90° числу 18°:

$90^\circ \div 18^\circ = 5$

Следовательно, для построения прямого угла необходимо 5 раз последовательно отложить угол в 18°.

Алгоритм построения:

1. Проведем прямую b и отметим на ней точку O.
2. От одного из лучей прямой b с вершиной в точке O последовательно 5 раз отложим угол в 18° с помощью шаблона. Каждый следующий угол откладывается от луча, полученного на предыдущем шаге.
3. После пяти таких построений суммарный угол будет равен $5 \cdot 18^\circ = 90^\circ$.
4. Исходная прямая b и прямая, содержащая последний построенный луч, будут перпендикулярны.

Ответ: Нужно последовательно отложить угол в 18° пять раз от одного луча с общей вершиной. Стороны полученного угла в 90° будут лежать на перпендикулярных прямых.

1362. Пользуясь угольником и шаблоном угла $17^\circ$, постройте угол, градусная мера которого:

1) $5^\circ$;

2) $12^\circ$.

1) 5°

Для построения угла в $5°$, имея угольник (позволяющий строить угол $90°$) и шаблон угла $17°$, необходимо найти способ выразить $5$ как целочисленную линейную комбинацию $17$ и $90$. То есть, найти целые числа $m$ и $n$ в уравнении $m \cdot 17 + n \cdot 90 = 5$. Простым подбором можно найти, что $90 - 5 \cdot 17 = 90 - 85 = 5$. Таким образом, искомый угол в $5°$ можно получить как разность между прямым углом ($90°$) и пятью углами по $17°$.
Построение выполняется следующим образом: 1. С помощью угольника строим прямой угол $\angle AOB = 90°$. 2. От луча $OA$ внутрь прямого угла последовательно откладываем пять углов по $17°$ с помощью шаблона. Пусть в результате будет построен луч $OC$, так что угол $\angle AOC$ будет равен $5 \cdot 17° = 85°$. 3. Оставшийся угол $\angle COB$ является искомым углом, его мера равна $\angle AOB - \angle AOC = 90° - 85° = 5°$.

Ответ: Угол в $5°$ строится как разность прямого угла ($90°$) и пяти последовательно отложенных углов по $17°$.

2) 12°

Аналогично, для построения угла в $12°$ ищем целые числа $m$ и $n$ в уравнении $m \cdot 17 + n \cdot 90 = 12$. Можно заметить, что $6 \cdot 17 = 102$. Тогда $6 \cdot 17 - 90 = 102 - 90 = 12$. Следовательно, искомый угол в $12°$ можно построить как разность между шестью углами по $17°$ и прямым углом.
Построение выполняется следующим образом: 1. От произвольного луча $OA$ последовательно откладываем шесть углов по $17°$ с помощью шаблона. В результате получаем угол $\angle AOC = 6 \cdot 17° = 102°$. 2. От того же луча $OA$ внутрь построенного угла $\angle AOC$ откладываем прямой угол $\angle AOB = 90°$ с помощью угольника. 3. Угол $\angle BOC$, образованный лучами $OB$ и $OC$, является искомым, и его мера равна $\angle AOC - \angle AOB = 102° - 90° = 12°$.

Ответ: Угол в $12°$ строится как разность шести последовательно отложенных углов по $17°$ и прямого угла ($90°$).

1363. Пользуясь угольником и шаблоном угла $20^{\circ}$, постройте угол, градусная мера которого $10^{\circ}$.

Для построения угла в $10^\circ$, имея угольник (для построения прямых углов $90^\circ$) и шаблон угла в $20^\circ$, можно воспользоваться методом разности углов. Идея состоит в том, чтобы построить угол в $90^\circ$ и угол в $80^\circ$, а затем найти их разность. Алгоритм построения следующий:

1. Начертите произвольную прямую и отметьте на ней точку $O$, которая будет вершиной будущего угла.

2. С помощью угольника постройте луч $OA$, перпендикулярный этой прямой, с началом в точке $O$. Пусть один из лучей на прямой будет $OB$. Таким образом, построен угол $\angle AOB = 90^\circ$.

3. Теперь необходимо построить угол в $80^\circ$ с вершиной в точке $O$ и одной из сторон, совпадающей с лучом $OB$. Для этого нужно четыре раза последовательно отложить угол в $20^\circ$ с помощью шаблона.

4. Приложите шаблон так, чтобы его вершина совпала с точкой $O$, а одна сторона — с лучом $OB$. Постройте луч $OC_1$ по второй стороне шаблона, так чтобы он лежал внутри угла $\angle AOB$. Полученный угол $\angle BOC_1 = 20^\circ$.

5. Повторите операцию, приложив шаблон к лучу $OC_1$. Постройте луч $OC_2$. Угол $\angle BOC_2 = 20^\circ + 20^\circ = 40^\circ$.

6. Последовательно повторите это действие еще два раза, получая лучи $OC_3$ и $OC_4$. В результате будет построен угол $\angle BOC_4$, равный $4 \times 20^\circ = 80^\circ$. Луч $OC_4$ будет находиться внутри угла $\angle AOB$.

7. Искомый угол в $10^\circ$ — это угол $\angle AOC_4$, который является разностью между построенными углами $\angle AOB$ и $\angle BOC_4$. Его градусная мера вычисляется так:

$\angle AOC_4 = \angle AOB - \angle BOC_4 = 90^\circ - 80^\circ = 10^\circ$.

Ответ: Построенный в результате описанных действий угол $\angle AOC_4$ является искомым и имеет градусную меру $10^\circ$.

1364. Сумма цифр двухзначного числа равна 8, количество десятков в 3 раза меньше количества единиц. Найдите это число.

Обозначим искомое двузначное число как $10x + y$, где $x$ — цифра десятков, а $y$ — цифра единиц.

Из условия задачи мы имеем два утверждения:
1. Сумма цифр двузначного числа равна 8. Это можно записать в виде уравнения: $x + y = 8$
2. Количество десятков в 3 раза меньше количества единиц. Это означает, что количество единиц в 3 раза больше количества десятков. Математически это выражается так: $y = 3x$

Получаем систему из двух уравнений:
$x + y = 8$
$y = 3x$

Для решения этой системы подставим выражение для $y$ из второго уравнения в первое:
$x + (3x) = 8$
$4x = 8$
$x = \frac{8}{4}$
$x = 2$

Мы нашли цифру десятков. Теперь найдем цифру единиц, подставив значение $x$ во второе уравнение:
$y = 3 \cdot 2$
$y = 6$

Следовательно, искомое число состоит из цифры 2 (десятки) и цифры 6 (единицы), то есть это число 26.

Проверим:
Сумма цифр: $2 + 6 = 8$. Условие выполняется.
Количество десятков (2) в 3 раза меньше количества единиц (6), так как $6 \div 2 = 3$. Условие выполняется.

Ответ: 26

1365. Одна сторона треугольника равна 32 см, вторая составляет 45 % первой, а третья $-$ $ \frac{11}{16} $ первой. Вычислите периметр треугольника.

Для вычисления периметра треугольника необходимо найти длины всех его сторон и сложить их. Обозначим первую сторону как $a$, вторую — $b$, и третью — $c$.

По условию, длина первой стороны $a = 32$ см.

Найдем длину второй стороны
Вторая сторона $b$ составляет 45% от первой. Чтобы найти процент от числа, нужно представить проценты в виде десятичной дроби и умножить на это число: $45\% = 0,45$.
$b = 32 \cdot 0,45 = 14,4$ см.

Найдем длину третьей стороны
Третья сторона $c$ составляет $\frac{11}{16}$ от первой. Чтобы найти дробь от числа, нужно умножить это число на дробь.
$c = 32 \cdot \frac{11}{16} = \frac{32 \cdot 11}{16} = 2 \cdot 11 = 22$ см.

Вычислим периметр треугольника
Периметр $P$ — это сумма длин всех трех сторон.
$P = a + b + c = 32 + 14,4 + 22 = 68,4$ см.

Ответ: 68,4 см.