Страница 270 - гдз по математике 6 класс учебник Мерзляк, Полонский

1320. В одной кадке было в 4 раза больше мёда, чем в другой. Когда из первой кадки взяли 210 кг мёда, а из второй – 10 кг, во второй осталось на 20 кг больше, чем в первой. Сколько килограммов мёда было в каждой кадке вначале?

Для решения задачи введём переменную. Пусть $x$ — количество килограммов мёда, которое было во второй кадке первоначально.

Согласно условию, в первой кадке было в 4 раза больше мёда, чем во второй. Следовательно, в первой кадке было $4x$ кг мёда.

После того как из первой кадки взяли 210 кг мёда, в ней осталось $4x - 210$ кг.

После того как из второй кадки взяли 10 кг мёда, в ней осталось $x - 10$ кг.

По условию, после этого во второй кадке стало на 20 кг больше мёда, чем в первой. Это можно выразить уравнением:

(Количество мёда во второй кадке) = (Количество мёда в первой кадке) + 20

$x - 10 = (4x - 210) + 20$

Теперь решим это уравнение:

$x - 10 = 4x - 190$

Перенесём слагаемые с переменной $x$ в одну сторону, а числовые значения — в другую:

$210 - 10 - 20 = 4x - x$

$180 = 3x$

$x = \frac{180}{3}$

$x = 60$

Итак, мы нашли, что во второй кадке изначально было 60 кг мёда.

Теперь найдём, сколько мёда было в первой кадке:

$4x = 4 \cdot 60 = 240$ кг.

Проверим полученные результаты:

1. В первой кадке было 240 кг, во второй — 60 кг. $240 = 4 \cdot 60$. Условие выполняется.

2. После того как взяли мёд, в первой кадке осталось $240 - 210 = 30$ кг.

3. Во второй кадке осталось $60 - 10 = 50$ кг.

4. Разница между количеством мёда во второй и первой кадках: $50 - 30 = 20$ кг. Условие выполняется.

Ответ: первоначально в первой кадке было 240 кг мёда, а во второй — 60 кг.

1321. Из одного города выехал автомобиль со скоростью 65 км/ч, а через 2 ч после этого из другого города навстречу ему выехал второй автомобиль со скоростью 75 км/ч. Найдите время, которое потратил на дорогу каждый автомобиль до момента встречи, если расстояние между городами равно 690 км.

Пусть $t$ — время, которое был в пути второй автомобиль. Поскольку первый автомобиль выехал на 2 часа раньше, он был в пути $(t + 2)$ часа.

Расстояние, которое проехал первый автомобиль до встречи, можно вычислить по формуле $S_1 = v_1 \times t_1$, где $v_1 = 65$ км/ч, а $t_1 = (t + 2)$ ч. Таким образом, $S_1 = 65 \times (t + 2)$ км.

Расстояние, которое проехал второй автомобиль до встречи, вычисляется как $S_2 = v_2 \times t_2$, где $v_2 = 75$ км/ч, а $t_2 = t$ ч. Таким образом, $S_2 = 75 \times t$ км.

Сумма расстояний, которые проехали оба автомобиля до момента встречи, равна расстоянию между городами, то есть 690 км.

$S_1 + S_2 = 690$

Составим и решим уравнение:

$65 \times (t + 2) + 75 \times t = 690$

Раскроем скобки:

$65t + 130 + 75t = 690$

Приведем подобные слагаемые:

$140t + 130 = 690$

Перенесем 130 в правую часть уравнения:

$140t = 690 - 130$

$140t = 560$

Найдем $t$:

$t = \frac{560}{140} = 4$

Таким образом, время, которое потратил на дорогу второй автомобиль, составляет 4 часа.

Теперь найдем время, которое потратил на дорогу первый автомобиль:

$t + 2 = 4 + 2 = 6$ часов.

Ответ: первый автомобиль потратил на дорогу 6 часов, а второй автомобиль — 4 часа.

1322. Из села в направлении города выехал мотоциклист со скоростью 80 км/ч. Через 1,5 ч из города на встречу мотоциклисту выехал велосипедист со скоростью 16 км/ч. Сколько часов ехал до встречи каждый из них, если расстояние между городом и селом равно 216 км?

Для решения задачи можно использовать два подхода: через составление уравнения или по действиям. Рассмотрим решение через уравнение, так как оно более наглядно.

Пусть $t$ (в часах) – это время, которое был в пути велосипедист до момента встречи. Поскольку мотоциклист выехал на 1,5 часа раньше, его время в пути будет равно $t + 1,5$ часа.

Расстояние, которое проехал мотоциклист, можно найти по формуле $S = v \cdot t$. Для мотоциклиста это будет: $S_м = 80 \cdot (t + 1,5)$ км.

Расстояние, которое проехал велосипедист, будет: $S_в = 16 \cdot t$ км.

В момент встречи суммарное расстояние, которое они проехали, будет равно расстоянию между городом и селом, то есть 216 км. На основе этого составим уравнение:

$S_м + S_в = 216$

$80 \cdot (t + 1,5) + 16t = 216$

Теперь решим это уравнение:

$80t + 80 \cdot 1,5 + 16t = 216$

$80t + 120 + 16t = 216$

$96t = 216 - 120$

$96t = 96$

$t = \frac{96}{96}$

$t = 1$

Мы нашли время, которое ехал велосипедист. Теперь мы можем найти время в пути для каждого участника движения.

Сколько часов ехал до встречи велосипедист

Время в пути велосипедиста мы обозначили переменной $t$. Из решения уравнения мы нашли, что $t=1$. Следовательно, велосипедист ехал до встречи 1 час.

Ответ: 1 час.

Сколько часов ехал до встречи мотоциклист

Время в пути мотоциклиста равно $t + 1,5$. Подставляем найденное значение $t=1$:

$1 + 1,5 = 2,5$ часа.

Следовательно, мотоциклист ехал до встречи 2,5 часа.

Ответ: 2,5 часа.

1323. В одном баке было 140 л воды, а в другом – 108 л. В баках одновременно открыли краны. Из первого бака ежеминутно вытекает 5 л воды, а из второго – 6 л. Через сколько минут во втором баке останется в 2,5 раза меньше воды, чем в первом?

Пусть искомое время равно $t$ минут.

Объем воды в первом баке через $t$ минут можно выразить формулой: $V_1(t) = 140 - 5t$ литров.

Объем воды во втором баке через $t$ минут можно выразить формулой: $V_2(t) = 108 - 6t$ литров.

Согласно условию задачи, через $t$ минут объем воды во втором баке должен быть в 2,5 раза меньше, чем в первом. Это можно записать в виде уравнения:

$V_1(t) = 2.5 \cdot V_2(t)$

Подставим выражения для объемов в уравнение:

$140 - 5t = 2.5 \cdot (108 - 6t)$

Теперь решим полученное линейное уравнение относительно $t$. Сначала раскроем скобки в правой части:

$140 - 5t = 2.5 \cdot 108 - 2.5 \cdot 6t$

$140 - 5t = 270 - 15t$

Перенесем все слагаемые с переменной $t$ в левую часть уравнения, а постоянные члены — в правую, меняя знаки при переносе:

$15t - 5t = 270 - 140$

Приведем подобные слагаемые:

$10t = 130$

Найдем $t$, разделив обе части уравнения на 10:

$t = \frac{130}{10}$

$t = 13$

Таким образом, требуемое условие будет выполнено через 13 минут.

Проверим:

Через 13 минут в первом баке останется: $140 - 5 \cdot 13 = 140 - 65 = 75$ л.

Через 13 минут во втором баке останется: $108 - 6 \cdot 13 = 108 - 78 = 30$ л.

Отношение объемов воды в первом и втором баках: $\frac{75}{30} = 2.5$. Условие выполнено.

Ответ: через 13 минут.

1324. Виталику нужно решить 95 задач, а Мише – 60. Виталик ежедневно решает 7 задач, а Миша – 6. Через сколько дней у Виталика останется вдвое больше нерешённых задач, чем у Миши, если они начали решать задачи в один и тот же день?

Решение

Пусть $x$ — искомое количество дней.

Виталику всего нужно решить 95 задач. Каждый день он решает по 7 задач. За $x$ дней он решит $7x$ задач. Количество нерешённых задач у Виталика через $x$ дней составит:
$95 - 7x$

Мише всего нужно решить 60 задач. Каждый день он решает по 6 задач. За $x$ дней он решит $6x$ задач. Количество нерешённых задач у Миши через $x$ дней составит:
$60 - 6x$

Согласно условию, через $x$ дней количество нерешённых задач у Виталика должно быть вдвое больше, чем у Миши. На основе этого составим уравнение:
$95 - 7x = 2 \cdot (60 - 6x)$

Теперь решим это уравнение:
$95 - 7x = 120 - 12x$
Перенесём все слагаемые с переменной $x$ в левую часть уравнения, а числовые значения — в правую, меняя знаки при переносе:
$12x - 7x = 120 - 95$
$5x = 25$
$x = \frac{25}{5}$
$x = 5$

Проверим найденное значение:
Через 5 дней у Виталика останется нерешёнными $95 - 7 \cdot 5 = 95 - 35 = 60$ задач.
Через 5 дней у Миши останется нерешёнными $60 - 6 \cdot 5 = 60 - 30 = 30$ задач.
Действительно, $60$ вдвое больше, чем $30$ ($60 = 2 \cdot 30$). Условие выполняется.

Ответ: через 5 дней.

1325. Лодка плыла $1.4 \text{ ч}$ по течению реки и $1.7 \text{ ч}$ против течения. Путь, который проплыла лодка по течению, оказался на $2.2 \text{ км}$ меньше пути, который она проплыла против течения. Найдите скорость течения реки, если скорость лодки в стоячей воде равна $28 \text{ км/ч}$.

Для решения задачи введем переменную. Пусть скорость течения реки равна $x$ км/ч.
Собственная скорость лодки (скорость в стоячей воде) по условию равна 28 км/ч.

Когда лодка плывет по течению, ее скорость складывается со скоростью течения. Скорость лодки по течению составляет:
$v_{по~течению} = (28 + x)$ км/ч.

Когда лодка плывет против течения, ее скорость уменьшается на скорость течения. Скорость лодки против течения составляет:
$v_{против~течения} = (28 - x)$ км/ч.

Теперь найдем путь, который лодка прошла в каждом направлении, используя формулу $S = v \cdot t$.
Время движения по течению $t_{по~течению} = 1,4$ ч. Путь по течению:
$S_{по~течению} = (28 + x) \cdot 1,4$ км.
Время движения против течения $t_{против~течения} = 1,7$ ч. Путь против течения:
$S_{против~течения} = (28 - x) \cdot 1,7$ км.

Согласно условию, путь по течению на 2,2 км меньше пути против течения. Это означает, что если к пути по течению прибавить 2,2 км, то он станет равен пути против течения. Составим уравнение:
$S_{по~течению} + 2,2 = S_{против~течения}$
$(28 + x) \cdot 1,4 + 2,2 = (28 - x) \cdot 1,7$

Решим полученное уравнение:
$28 \cdot 1,4 + 1,4x + 2,2 = 28 \cdot 1,7 - 1,7x$
$39,2 + 1,4x + 2,2 = 47,6 - 1,7x$
Приведем подобные слагаемые в левой части:
$41,4 + 1,4x = 47,6 - 1,7x$
Теперь перенесем слагаемые с $x$ в левую часть уравнения, а числовые слагаемые — в правую, меняя их знаки на противоположные:
$1,4x + 1,7x = 47,6 - 41,4$
$3,1x = 6,2$
Найдем $x$:
$x = \frac{6,2}{3,1}$
$x = 2$

Следовательно, скорость течения реки равна 2 км/ч.

Ответ: 2 км/ч.

1326. Туристы на байдарке плыли 2,4 ч по течению реки и 1,8 ч против течения. Путь, который байдарка проплыла по течению, был на 14,1 км больше, чем путь, пройденный против течения. Найдите скорость байдарки в стоячей воде, если скорость течения равна 2,5 км/ч.

Обозначим за $x$ км/ч искомую скорость байдарки в стоячей воде.

Согласно условию, скорость течения реки равна $2,5$ км/ч.

Тогда скорость байдарки при движении по течению реки составляет $(x + 2,5)$ км/ч, а скорость при движении против течения – $(x - 2,5)$ км/ч.

Байдарка двигалась по течению в течение $2,4$ ч. За это время она преодолела расстояние, равное:

$S_1 = 2,4 \cdot (x + 2,5)$ км.

Против течения байдарка двигалась $1,8$ ч, пройдя за это время расстояние:

$S_2 = 1,8 \cdot (x - 2,5)$ км.

В условии сказано, что путь, пройденный по течению, на $14,1$ км больше пути, пройденного против течения. Это означает, что разница между этими расстояниями составляет $14,1$ км. Составим и решим уравнение:

$S_1 - S_2 = 14,1$

$2,4(x + 2,5) - 1,8(x - 2,5) = 14,1$

Сначала раскроем скобки:

$2,4x + 2,4 \cdot 2,5 - 1,8x - 1,8 \cdot (-2,5) = 14,1$

$2,4x + 6 - 1,8x + 4,5 = 14,1$

Теперь приведем подобные слагаемые:

$(2,4x - 1,8x) + (6 + 4,5) = 14,1$

$0,6x + 10,5 = 14,1$

Перенесем числовое значение $10,5$ в правую часть уравнения, изменив его знак:

$0,6x = 14,1 - 10,5$

$0,6x = 3,6$

Найдем $x$, разделив обе части уравнения на $0,6$:

$x = \frac{3,6}{0,6}$

$x = 6$

Следовательно, скорость байдарки в стоячей воде равна $6$ км/ч.

Ответ: $6$ км/ч.

1327. Готовясь к экзамену, ученик планировал ежедневно решать 12 задач. Однако он решал ежедневно на 4 задачи больше, и уже за три дня до экзамена ему осталось решить 8 задач. Сколько дней ученик планировал готовиться к экзамену?

Пусть $x$ — количество дней, которое ученик планировал готовиться к экзамену.

Согласно плану, ученик должен был решать 12 задач ежедневно. Следовательно, общее количество задач, которое ему необходимо было решить, равно $12x$.

На самом деле ученик решал ежедневно на 4 задачи больше, то есть $12 + 4 = 16$ задач в день.

По условию, за 3 дня до экзамена ему осталось решить 8 задач. Это означает, что он решал задачи в течение $x-3$ дней.

За $x-3$ дней он решил $16 \cdot (x-3)$ задач.

Общее количество задач можно представить как сумму решенных задач и оставшихся: $16(x-3) + 8$.

Так как общее количество задач в обоих случаях одинаково, составим и решим уравнение:

$12x = 16(x-3) + 8$

$12x = 16x - 48 + 8$

$12x = 16x - 40$

$16x - 12x = 40$

$4x = 40$

$x = \frac{40}{4}$

$x = 10$

Таким образом, ученик планировал готовиться к экзамену 10 дней.

Ответ: 10 дней.

1328. Мастер планировал ежедневно изготавливать по 24 детали, чтобы выполнить заказ вовремя. Но поскольку он изготавливал ежедневно на 15 деталей больше, то уже за шесть дней до окончания срока работы он изготовил 21 деталь сверх заказа. Сколько дней мастер должен был работать над заказом?

Пусть $x$ – это количество дней, за которое мастер должен был выполнить заказ по плану.

Тогда общее количество деталей в заказе, согласно плану, равно $24 \cdot x$.

Мастер изготавливал ежедневно на 15 деталей больше, то есть его фактическая производительность составляла $24 + 15 = 39$ деталей в день.

Он работал на 6 дней меньше запланированного срока, то есть $x - 6$ дней.

За это время он изготовил $39 \cdot (x - 6)$ деталей.

Из условия известно, что фактическое количество изготовленных деталей на 21 больше, чем было в заказе. На основе этих данных составим и решим уравнение:

$39 \cdot (x - 6) = 24 \cdot x + 21$

$39x - 234 = 24x + 21$

$39x - 24x = 21 + 234$

$15x = 255$

$x = \frac{255}{15}$

$x = 17$

Следовательно, мастер должен был работать над заказом 17 дней.

Ответ: 17 дней.