Страница 265 - гдз по математике 6 класс учебник Мерзляк, Полонский

1295. Вычислите массу цветника (рис. 201), сделанного из бетона, если масса 1 дм³ бетона равна 1,8 кг. Размеры на рисунке даны в сантиметрах.

Рис. 201

Чтобы вычислить массу цветника, необходимо сначала найти объем бетона, из которого он изготовлен. Объем бетона можно рассчитать как разность объемов двух прямоугольных параллелепипедов: внешнего (весь цветник) и внутреннего (пустое пространство для земли).

1. Перевод единиц измерения
Все размеры на рисунке даны в сантиметрах, а масса бетона — в килограммах на кубический дециметр. Поэтому сначала переведем все размеры в дециметры, зная, что $1 \text{ дм} = 10 \text{ см}$.
Внешние размеры:
Длина $a_1 = 60 \text{ см} = 6 \text{ дм}$
Ширина $b_1 = 60 \text{ см} = 6 \text{ дм}$
Высота $h_1 = 40 \text{ см} = 4 \text{ дм}$
Внутренние размеры (полость):
Длина $a_2 = 50 \text{ см} = 5 \text{ дм}$
Ширина $b_2 = 50 \text{ см} = 5 \text{ дм}$
Высота (глубина) $h_2 = 30 \text{ см} = 3 \text{ дм}$

2. Вычисление объемов
Объем прямоугольного параллелепипеда вычисляется по формуле $V = a \cdot b \cdot h$.
Объем внешнего параллелепипеда ($V_1$):
$V_1 = 6 \cdot 6 \cdot 4 = 144 \text{ дм}^3$.
Объем внутреннего пространства (полости) ($V_2$):
$V_2 = 5 \cdot 5 \cdot 3 = 75 \text{ дм}^3$.

3. Вычисление объема бетона
Объем бетона ($V_{бетона}$) равен разности объемов внешнего параллелепипеда и внутренней полости:
$V_{бетона} = V_1 - V_2 = 144 - 75 = 69 \text{ дм}^3$.

4. Вычисление массы цветника
Масса ($m$) равна произведению объема бетона на его плотность (массу 1 дм³):
$m = V_{бетона} \cdot 1,8 \text{ кг/дм}^3 = 69 \text{ дм}^3 \cdot 1,8 \text{ кг/дм}^3 = 124,2 \text{ кг}$.
Ответ: 124,2 кг.

1296. На столе стояла коробка с конфетами. Женя взял половину конфет, а Катя – треть остальных, после чего в коробке осталось 6 конфет. Сколько конфет было в коробке сначала?

Задачу можно решить двумя способами: составлением уравнения или "с конца".

1. Пусть $x$ — это первоначальное количество конфет в коробке.

2. Женя взял половину конфет. Количество конфет, которое он взял, равно $\frac{1}{2}x$. В коробке осталось:
$x - \frac{1}{2}x = \frac{1}{2}x$

3. Затем Катя взяла треть оставшихся конфет. Количество оставшихся конфет было $\frac{1}{2}x$. Значит, Катя взяла:
$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2}x = \frac{1}{6}x$

4. После этого в коробке осталось $\frac{1}{2}x$ (то, что было до Кати) минус $\frac{1}{6}x$ (то, что взяла Катя). По условию, это количество равно 6. Составим уравнение:
$\frac{1}{2}x - \frac{1}{6}x = 6$

5. Решим это уравнение. Для этого приведем дроби к общему знаменателю 6:
$\frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 2}x - \frac{1}{6}x = 6$
$\frac{3}{6}x - \frac{1}{6}x = 6$
$\frac{2}{6}x = 6$
$\frac{1}{3}x = 6$
$x = 6 \cdot 3$
$x = 18$

Проверка: Изначально было 18 конфет. Женя взял половину, т.е. 9. Осталось $18 - 9 = 9$. Катя взяла треть остатка, т.е. $9 \div 3 = 3$. Осталось $9 - 3 = 6$ конфет. Все верно.

Ответ: 18 конфет.

1. Начнем с конца условия. В коробке осталось 6 конфет.

2. Эти 6 конфет остались после того, как Катя взяла треть ($\frac{1}{3}$) от того количества, что было перед ней. Если она взяла треть, то оставшиеся 6 конфет составляют две трети ($\frac{2}{3}$) от этого количества.

3. Найдем, сколько конфет было до того, как их взяла Катя. Если 6 конфет — это $\frac{2}{3}$, то одна треть ($\frac{1}{3}$) будет равна $6 \div 2 = 3$ конфеты. А всё количество (три трети) будет равно $3 \cdot 3 = 9$ конфет.

4. Итак, до Кати в коробке было 9 конфет. Эти 9 конфет — то, что осталось после того, как Женя взял половину всех конфет. Следовательно, 9 конфет — это вторая половина.

5. Если половина — это 9 конфет, то первоначальное количество конфет (две половины) равно $9 \cdot 2 = 18$ конфет.

Ответ: 18 конфет.

1297. На диаграмме (рис. 202) отображены объёмы продажи ручек в магазине канцтоваров в течение 6 месяцев. Сколько ручек продавали в среднем ежемесячно?

Рис. 202

Количество проданных ручек, шт.

Июль

Август

Сентябрь

Октябрь

Ноябрь

Декабрь

Чтобы найти среднее количество проданных ручек в месяц, необходимо найти общее количество проданных ручек за все 6 месяцев и разделить его на количество месяцев.

1. Определим по диаграмме количество ручек, проданных в каждом месяце:

• Июль: 150 шт.
• Август: 300 шт.
• Сентябрь: 270 шт.
• Октябрь: 210 шт.
• Ноябрь: 180 шт.
• Декабрь: 210 шт.

2. Сложим количество проданных ручек за все месяцы, чтобы найти общее количество:

$150 + 300 + 270 + 210 + 180 + 210 = 1320$ (шт.)

3. Разделим общее количество ручек на число месяцев (6), чтобы найти среднее значение:

$1320 \div 6 = 220$ (шт.)

Таким образом, в среднем продавали 220 ручек ежемесячно.

Ответ: 220.