Страница 262 - гдз по математике 6 класс учебник Мерзляк, Полонский

5. Математический кружок посещают 30 учащихся 5–8 классов. На диаграмме (рис. 200) показано их распределение по классам.

Рис. 200

Пятиклассники

Шестиклассники

Семиклассники

Восьмиклассники

1) шестиклассников больше, чем семиклассников;

2) восьмиклассников больше, чем пятиклассников и шестиклассников вместе;

3) восьмиклассников меньше, чем семиклассников;

4) семиклассники составляют более 25 % членов кружка;

5) восьмиклассники составляют более 50 % членов кружка;

6) шестиклассников и семиклассников вместе 15 учащихся;

7) семиклассников и восьмиклассников вместе менее 20 человек?

Для решения задачи сначала определим количество учащихся в каждой параллели, исходя из общего числа в 30 человек и пропорций, показанных на круговой диаграмме.

Визуальный анализ секторов позволяет сделать следующие предположения о количестве учащихся:

• Восьмиклассники (синий сектор): самый большой сектор, занимает немного меньше половины круга. Это может соответствовать $2/5$ от общего числа. Количество: $30 \cdot \frac{2}{5} = 12$ человек.
• Семиклассники (желтый сектор): второй по величине сектор, выглядит как $1/3$ круга. Количество: $30 \cdot \frac{1}{3} = 10$ человек.
• Шестиклассники (розовый сектор) и пятиклассники (фиолетовый сектор): вместе занимают оставшуюся часть. Количество: $30 - 12 - 10 = 8$ человек. Розовый сектор больше фиолетового. Распределим 8 человек, например, как 5 и 3. Тогда шестиклассников 5 (что составляет $5/30 = 1/6$ круга), а пятиклассников 3 (что составляет $3/30 = 1/10$ круга).

Проверим общую сумму: $12 \text{ (восьмиклассники)} + 10 \text{ (семиклассники)} + 5 \text{ (шестиклассники)} + 3 \text{ (пятиклассники)} = 30$. Расчеты верны. Теперь проверим истинность каждого утверждения.

1) шестиклассников больше, чем семиклассников
Количество шестиклассников – 5, семиклассников – 10. Сравним: $5 < 10$. Следовательно, утверждение неверно.
Ответ: неверно.

2) восьмиклассников больше, чем пятиклассников и шестиклассников вместе
Количество восьмиклассников – 12. Сумма пятиклассников и шестиклассников: $3 + 5 = 8$. Сравним: $12 > 8$. Следовательно, утверждение верно.
Ответ: верно.

3) восьмиклассников меньше, чем семиклассников
Количество восьмиклассников – 12, семиклассников – 10. Сравним: $12 > 10$. Следовательно, утверждение неверно.
Ответ: неверно.

4) семиклассники составляют более 25 % членов кружка
Всего 30 членов кружка. Количество семиклассников – 10. Найдем их долю в процентах: $\frac{10}{30} \cdot 100\% = \frac{1}{3} \cdot 100\% \approx 33.3\%$. Сравним: $33.3\% > 25\%$. Следовательно, утверждение верно.
Ответ: верно.

5) восьмиклассники составляют более 50 % членов кружка
Количество восьмиклассников – 12. Найдем их долю в процентах: $\frac{12}{30} \cdot 100\% = \frac{2}{5} \cdot 100\% = 40\%$. Сравним: $40\% < 50\%$. Следовательно, утверждение неверно.
Ответ: неверно.

6) шестиклассников и семиклассников вместе 15 учащихся
Сумма шестиклассников и семиклассников: $5 + 10 = 15$. Утверждение, что их вместе 15, совпадает с расчетом. Следовательно, утверждение верно.
Ответ: верно.

7) семиклассников и восьмиклассников вместе менее 20 человек?
Сумма семиклассников и восьмиклассников: $10 + 12 = 22$. Сравним: $22 > 20$. Утверждение, что их вместе менее 20, неверно.
Ответ: неверно.

1270. Решите уравнение:

1) $7x = -30 + 2x$

2) $9x + 6 = 10x$

3) $-4 + 3x = 8x + 16$

4) $16 - 18x = -25x - 12$

5) $-17x + 20 = 7x - 28$

6) $20 - 2x = 27 + x$

7) $0,2x + 4,3 = 0,4x - 6,5$

8) $0,6x + 100 = 0,9x + 1$

9) $-\frac{9}{14}x + 18 = -\frac{2}{3}x + 17$

10) $-\frac{8}{15}x - 11 = \frac{4}{9}x + 11$

1) $7x = -30 + 2x$

Перенесем слагаемые с переменной $x$ в левую часть уравнения, а числа - в правую. При переносе слагаемого из одной части уравнения в другую знак слагаемого меняется на противоположный.

$7x - 2x = -30$

Приведем подобные слагаемые:

$5x = -30$

Разделим обе части уравнения на коэффициент при $x$, то есть на 5:

$x = -30 / 5$

$x = -6$

Ответ: -6

2) $9x + 6 = 10x$

Перенесем слагаемые с переменной $x$ в одну часть, а числа оставим в другой:

$6 = 10x - 9x$

Приведем подобные слагаемые:

$6 = x$

Ответ: 6

3) $-4 + 3x = 8x + 16$

Перенесем слагаемые с $x$ в правую часть, а числа - в левую:

$-4 - 16 = 8x - 3x$

Приведем подобные слагаемые в обеих частях:

$-20 = 5x$

Разделим обе части на 5:

$x = -20 / 5$

$x = -4$

Ответ: -4

4) $16 - 18x = -25x - 12$

Перенесем слагаемые с $x$ в левую часть, а числа - в правую:

$-18x + 25x = -12 - 16$

Приведем подобные слагаемые:

$7x = -28$

Разделим обе части на 7:

$x = -28 / 7$

$x = -4$

Ответ: -4

5) $-17x + 20 = 7x - 28$

Перенесем слагаемые с $x$ в правую часть, а числа - в левую:

$20 + 28 = 7x + 17x$

Приведем подобные слагаемые:

$48 = 24x$

Разделим обе части на 24:

$x = 48 / 24$

$x = 2$

Ответ: 2

6) $20 - 2x = 27 + x$

Перенесем слагаемые с $x$ в правую часть, а числа - в левую:

$20 - 27 = x + 2x$

Приведем подобные слагаемые:

$-7 = 3x$

Разделим обе части на 3:

$x = -7/3$

$x = -2\frac{1}{3}$

Ответ: $-2\frac{1}{3}$

7) $0,2x + 4,3 = 0,4x - 6,5$

Перенесем слагаемые с $x$ в правую часть, а числа - в левую:

$4,3 + 6,5 = 0,4x - 0,2x$

Приведем подобные слагаемые:

$10,8 = 0,2x$

Разделим обе части на 0,2:

$x = 10,8 / 0,2$

$x = 108 / 2$

$x = 54$

Ответ: 54

8) $0,6x + 100 = 0,9x + 1$

Перенесем слагаемые с $x$ в правую часть, а числа - в левую:

$100 - 1 = 0,9x - 0,6x$

Приведем подобные слагаемые:

$99 = 0,3x$

Разделим обе части на 0,3:

$x = 99 / 0,3$

$x = 990 / 3$

$x = 330$

Ответ: 330

9) $-\frac{9}{14}x + 18 = -\frac{2}{3}x + 17$

Перенесем слагаемые с $x$ в левую часть, а числа - в правую:

$-\frac{9}{14}x + \frac{2}{3}x = 17 - 18$

Приведем дроби с $x$ к общему знаменателю (42):

$-\frac{9 \cdot 3}{14 \cdot 3}x + \frac{2 \cdot 14}{3 \cdot 14}x = -1$

$-\frac{27}{42}x + \frac{28}{42}x = -1$

Приведем подобные слагаемые:

$\frac{1}{42}x = -1$

Умножим обе части на 42:

$x = -42$

Ответ: -42

10) $-\frac{8}{15}x - 11 = \frac{4}{9}x + 11$

Перенесем слагаемые с $x$ в правую часть, а числа - в левую:

$-11 - 11 = \frac{4}{9}x + \frac{8}{15}x$

$-22 = (\frac{4}{9} + \frac{8}{15})x$

Приведем дроби в скобках к общему знаменателю (45):

$-22 = (\frac{4 \cdot 5}{9 \cdot 5} + \frac{8 \cdot 3}{15 \cdot 3})x$

$-22 = (\frac{20}{45} + \frac{24}{45})x$

$-22 = \frac{44}{45}x$

Чтобы найти $x$, умножим обе части на обратную дробь $\frac{45}{44}$:

$x = -22 \cdot \frac{45}{44}$

$x = -\frac{22 \cdot 45}{44} = -\frac{1 \cdot 45}{2}$

$x = -\frac{45}{2} = -22,5$

Ответ: -22,5

1271. Чему равен корень уравнения:

1) $3x = 28 - x$;

2) $8x - 4 = 9x$;

3) $8x + 9 = 4x + 17$;

4) $5x + 12 = 8x + 30$;

5) $33 + 8x = -5x + 72$;

6) $6x - 19 = -x - 10$;

7) $0,7 - 0,2x = 0,3x - 1,8$;

8) $0,1x + 9 = 0,2x - 4?$

1) $3x = 28 - x$

Чтобы решить уравнение, перенесем все слагаемые с переменной $x$ в одну сторону (влево), а числа — в другую (вправо). При переносе слагаемого из одной части уравнения в другую его знак меняется на противоположный.
$3x + x = 28$
Сложим слагаемые с $x$:
$4x = 28$
Теперь разделим обе части уравнения на коэффициент при $x$, то есть на 4:
$x = \frac{28}{4}$
$x = 7$
Ответ: 7

2) $8x - 4 = 9x$

Перенесем $8x$ в правую часть уравнения, чтобы сгруппировать слагаемые с $x$.
$-4 = 9x - 8x$
Выполним вычитание:
$-4 = x$
Ответ: -4

3) $8x + 9 = 4x + 17$

Сгруппируем слагаемые с $x$ в левой части, а числа — в правой.
$8x - 4x = 17 - 9$
Приведем подобные слагаемые в обеих частях:
$4x = 8$
Разделим обе части на 4:
$x = \frac{8}{4}$
$x = 2$
Ответ: 2

4) $5x + 12 = 8x + 30$

Перенесем слагаемые с $x$ в левую часть, а числа — в правую.
$5x - 8x = 30 - 12$
Приведем подобные слагаемые:
$-3x = 18$
Разделим обе части на -3:
$x = \frac{18}{-3}$
$x = -6$
Ответ: -6

5) $33 + 8x = -5x + 72$

Перенесем слагаемые с $x$ влево, а числа вправо.
$8x + 5x = 72 - 33$
Приведем подобные слагаемые:
$13x = 39$
Разделим обе части на 13:
$x = \frac{39}{13}$
$x = 3$
Ответ: 3

6) $6x - 19 = -x - 10$

Сгруппируем слагаемые с $x$ в левой части, а числа — в правой.
$6x + x = -10 + 19$
Приведем подобные слагаемые:
$7x = 9$
Разделим обе части на 7:
$x = \frac{9}{7}$
Ответ: $\frac{9}{7}$

7) $0,7 - 0,2x = 0,3x - 1,8$

Сначала избавимся от десятичных дробей, умножив обе части уравнения на 10.
$10 \cdot (0,7 - 0,2x) = 10 \cdot (0,3x - 1,8)$
$7 - 2x = 3x - 18$
Теперь перенесем слагаемые с $x$ в одну сторону, а числа — в другую.
$7 + 18 = 3x + 2x$
Приведем подобные слагаемые:
$25 = 5x$
Разделим обе части на 5:
$x = \frac{25}{5}$
$x = 5$
Ответ: 5

8) $0,1x + 9 = 0,2x - 4$

Умножим обе части уравнения на 10, чтобы избавиться от десятичных дробей.
$10 \cdot (0,1x + 9) = 10 \cdot (0,2x - 4)$
$x + 90 = 2x - 40$
Сгруппируем слагаемые с $x$ в правой части, а числа — в левой.
$90 + 40 = 2x - x$
Приведем подобные слагаемые:
$130 = x$
Ответ: 130