Страница 256 - гдз по математике 6 класс учебник Мерзляк, Полонский

1. Как найти частное двух чисел с разными знаками?

Чтобы найти частное двух чисел с разными знаками (положительного и отрицательного), необходимо следовать простому правилу:

1. Разделить модуль делимого на модуль делителя. (Модуль, или абсолютная величина, числа — это само число без его знака, например, $|-20| = 20$, а $|4| = 4$).
2. Перед полученным результатом поставить знак «–».

Важно помнить, что результат деления двух чисел с разными знаками всегда будет отрицательным числом.

Это правило можно записать в виде формул. Если $a$ и $b$ — положительные числа, то:

$(-a) \div b = -(a \div b)$

$a \div (-b) = -(a \div b)$

Рассмотрим применение этого правила на конкретных примерах.

Пример 1

Нужно разделить отрицательное число на положительное: $-45 \div 5$.
1. Находим модули делимого и делителя: $|-45| = 45$ и $|5| = 5$.
2. Делим модули друг на друга: $45 \div 5 = 9$.
3. Ставим перед полученным числом знак «–». Получаем $-9$.
Следовательно, $-45 \div 5 = -9$.

Пример 2

Нужно разделить положительное число на отрицательное: $63 \div (-7)$.
1. Находим модули делимого и делителя: $|63| = 63$ и $|-7| = 7$.
2. Делим модули: $63 \div 7 = 9$.
3. Ставим перед полученным числом знак «–». Получаем $-9$.
Следовательно, $63 \div (-7) = -9$.

Ответ: Чтобы найти частное двух чисел с разными знаками, нужно разделить модуль делимого на модуль делителя, а перед полученным результатом поставить знак «минус».

2. Как найти частное двух отрицательных чисел?

Чтобы найти частное двух отрицательных чисел, необходимо разделить модуль делимого на модуль делителя. Результат деления двух отрицательных чисел всегда является положительным числом.

Это правило часто формулируют так: «минус на минус даёт плюс».

В общем виде, если у нас есть два отрицательных числа $a$ и $b$, то их частное равно частному их модулей:

$a : b = |a| : |b|$

Рассмотрим алгоритм на примере.

Пример 1: Найти частное чисел $-24$ и $-8$.

1. Находим модуль делимого: $|-24| = 24$.
2. Находим модуль делителя: $|-8| = 8$.
3. Делим модуль делимого на модуль делителя: $24 : 8 = 3$.

Таким образом, $(-24) : (-8) = 3$.

Пример 2: Найти частное дробей $-\frac{5}{7}$ и $-\frac{10}{21}$.

1. Находим модули дробей: $\left|-\frac{5}{7}\right| = \frac{5}{7}$ и $\left|-\frac{10}{21}\right| = \frac{10}{21}$.
2. Делим модули, используя правило деления дробей (умножаем на обратную дробь):

$\frac{5}{7} : \frac{10}{21} = \frac{5}{7} \cdot \frac{21}{10} = \frac{5 \cdot 21}{7 \cdot 10} = \frac{1 \cdot 3}{1 \cdot 2} = \frac{3}{2} = 1.5$

Следовательно, $\left(-\frac{5}{7}\right) : \left(-\frac{10}{21}\right) = \frac{3}{2}$.

Ответ: Чтобы найти частное двух отрицательных чисел, нужно разделить модуль первого числа (делимого) на модуль второго числа (делителя). Результат всегда будет положительным.

3. Чему равно частное любого числа и единицы? двух равных чисел, отличных от нуля?

Частное любого числа и единицы

Частное — это результат деления одного числа (делимого) на другое (делитель). Чтобы найти частное любого числа и единицы, нужно это число разделить на 1. Обозначим любое число переменной $a$. Тогда операция деления будет выглядеть так: $a \div 1$ или в виде дроби $\frac{a}{1}$.

По основному свойству деления, при делении любого числа на единицу в результате получается само это число.
$a \div 1 = a$

Например:
$15 \div 1 = 15$
$-7 \div 1 = -7$
$0 \div 1 = 0$

Ответ: частное любого числа и единицы равно самому этому числу.

Частное двух равных чисел, отличных от нуля

Чтобы найти частное двух равных чисел, нужно разделить число само на себя. Обозначим это число переменной $a$. По условию, число не равно нулю, то есть $a \neq 0$. Операция деления будет выглядеть так: $a \div a$ или в виде дроби $\frac{a}{a}$.

По свойству деления, частное любого числа, отличного от нуля, и самого себя всегда равно единице.
$a \div a = 1$ (при $a \neq 0$)

Например:
$9 \div 9 = 1$
$-4 \div (-4) = 1$
$1.25 \div 1.25 = 1$

Условие, что числа отличны от нуля, очень важно, так как деление на ноль ($0 \div 0$) является неопределенной операцией в математике.

Ответ: частное двух равных чисел, отличных от нуля, равно единице.

1. Какое число является обратным числу:

1) $\frac{2}{3}$;

2) $1 \frac{1}{14}$;

3) 8;

4) 0,13;

5) 2,79;

6) 1?

Два числа, произведение которых равно 1, называются взаимно обратными. Чтобы найти число, обратное данному (кроме 0), нужно 1 разделить на это число. То есть, для числа $a$ обратным будет число $\frac{1}{a}$.

1) $\frac{2}{3}$
Чтобы найти число, обратное обыкновенной дроби, необходимо поменять местами ее числитель и знаменатель. Для числа $\frac{2}{3}$ обратным является число $\frac{3}{2}$.
Можно представить результат в виде смешанного числа: $\frac{3}{2} = 1\frac{1}{2}$.
Проверка: $\frac{2}{3} \cdot \frac{3}{2} = \frac{2 \cdot 3}{3 \cdot 2} = 1$.
Ответ: $\frac{3}{2}$ или $1\frac{1}{2}$.

2) $1\frac{1}{14}$
Сначала представим смешанное число в виде неправильной дроби: $1\frac{1}{14} = \frac{1 \cdot 14 + 1}{14} = \frac{15}{14}$.
Теперь найдем обратное число для дроби $\frac{15}{14}$, поменяв местами числитель и знаменатель. Обратным числом будет $\frac{14}{15}$.
Проверка: $\frac{15}{14} \cdot \frac{14}{15} = 1$.
Ответ: $\frac{14}{15}$.

3) 8
Представим целое число 8 в виде дроби со знаменателем 1: $8 = \frac{8}{1}$.
Обратным числом для $\frac{8}{1}$ будет $\frac{1}{8}$.
Проверка: $8 \cdot \frac{1}{8} = 1$.
Ответ: $\frac{1}{8}$.

4) 0,13
Представим десятичную дробь в виде обыкновенной дроби: $0,13 = \frac{13}{100}$.
Найдем обратное число для дроби $\frac{13}{100}$, поменяв местами числитель и знаменатель. Обратным числом будет $\frac{100}{13}$.
Можно выделить целую часть: $\frac{100}{13} = 7\frac{9}{13}$.
Проверка: $0,13 \cdot \frac{100}{13} = \frac{13}{100} \cdot \frac{100}{13} = 1$.
Ответ: $\frac{100}{13}$ или $7\frac{9}{13}$.

5) 2,79
Представим десятичную дробь в виде обыкновенной дроби: $2,79 = \frac{279}{100}$.
Найдем обратное число для дроби $\frac{279}{100}$, поменяв местами числитель и знаменатель. Обратным числом будет $\frac{100}{279}$. Эта дробь несократима.
Проверка: $2,79 \cdot \frac{100}{279} = \frac{279}{100} \cdot \frac{100}{279} = 1$.
Ответ: $\frac{100}{279}$.

6) 1
Представим целое число 1 в виде дроби $\frac{1}{1}$.
Обратным числом для $\frac{1}{1}$ будет $\frac{1}{1}$, что равно 1. Таким образом, число 1 является обратным самому себе.
Проверка: $1 \cdot 1 = 1$.
Ответ: 1.

2. Назовите число, противоположное данному, и число, ему обратное:

1) $ \frac{4}{9}; $

2) $ -\frac{7}{8}; $

3) $ 9; $

4) $ -6; $

5) $ 4\frac{1}{15}; $

6) $ -9\frac{2}{11}. $

Для решения этой задачи необходимо для каждого данного числа найти противоположное и обратное ему число.

Противоположным для числа $a$ называется число $-a$, такое, что их сумма равна нулю: $a + (-a) = 0$. Другими словами, это то же число, но с противоположным знаком.

Обратным для числа $a$ (при $a \neq 0$) называется число $\frac{1}{a}$, такое, что их произведение равно единице: $a \cdot \frac{1}{a} = 1$. Чтобы найти число, обратное дроби, нужно поменять местами её числитель и знаменатель.

1) Для числа $\frac{4}{9}$.
Противоположное число: $-\frac{4}{9}$.
Обратное число: $\frac{9}{4}$.

Ответ: противоположное: $-\frac{4}{9}$; обратное: $\frac{9}{4}$.

2) Для числа $-\frac{7}{8}$.
Противоположное число: $-(-\frac{7}{8}) = \frac{7}{8}$.
Обратное число: $\frac{1}{-\frac{7}{8}} = -\frac{8}{7}$.

Ответ: противоположное: $\frac{7}{8}$; обратное: $-\frac{8}{7}$.

3) Для числа $9$.
Противоположное число: $-9$.
Обратное число: $\frac{1}{9}$.

Ответ: противоположное: $-9$; обратное: $\frac{1}{9}$.

4) Для числа $-6$.
Противоположное число: $-(-6) = 6$.
Обратное число: $\frac{1}{-6} = -\frac{1}{6}$.

Ответ: противоположное: $6$; обратное: $-\frac{1}{6}$.

5) Для числа $4\frac{1}{15}$.
Сначала представим число в виде неправильной дроби: $4\frac{1}{15} = \frac{4 \cdot 15 + 1}{15} = \frac{61}{15}$.
Противоположное число: $-4\frac{1}{15}$.
Обратное число для $\frac{61}{15}$ — это $\frac{15}{61}$.

Ответ: противоположное: $-4\frac{1}{15}$; обратное: $\frac{15}{61}$.

6) Для числа $-9\frac{2}{11}$.
Сначала представим число в виде неправильной дроби: $-9\frac{2}{11} = -(\frac{9 \cdot 11 + 2}{11}) = -\frac{101}{11}$.
Противоположное число: $-(-9\frac{2}{11}) = 9\frac{2}{11}$.
Обратное число для $-\frac{101}{11}$ — это $-\frac{11}{101}$.

Ответ: противоположное: $9\frac{2}{11}$; обратное: $-\frac{11}{101}$.

3. Какое из чисел -2, -1, 0, 1 является значением выражения

$(-1)^3 + (-1)^4 + (-1)^5 + (-1)^6 + (-1)^7?$

Чтобы найти значение выражения, необходимо вычислить значение каждого слагаемого, используя правило возведения числа -1 в степень.

Правило гласит:
- число -1, возведенное в нечетную степень, равно -1;
- число -1, возведенное в четную степень, равно 1.

Применим это правило для каждого члена выражения $(-1)^3 + (-1)^4 + (-1)^5 + (-1)^6 + (-1)^7$:
$(-1)^3 = -1$ (так как показатель степени 3 — нечетный)
$(-1)^4 = 1$ (так как показатель степени 4 — четный)
$(-1)^5 = -1$ (так как показатель степени 5 — нечетный)
$(-1)^6 = 1$ (так как показатель степени 6 — четный)
$(-1)^7 = -1$ (так как показатель степени 7 — нечетный)

Теперь подставим полученные значения в исходное выражение и найдем сумму:
$-1 + 1 + (-1) + 1 + (-1)$

Выполним сложение:
$(-1 + 1) + (-1 + 1) - 1 = 0 + 0 - 1 = -1$

Таким образом, значение выражения равно -1. Это число есть среди предложенных вариантов (-2, -1, 0, 1).

Ответ: -1

4. Таня купила тетради, из которых 20 % были в клетку, а остальные – в линейку. Во сколько раз Таня купила больше тетрадей в линейку, чем в клетку?

Примем общее количество купленных тетрадей за 100%.

По условию задачи, тетради в клетку составляют 20% от общего числа.

Остальные тетради были в линейку. Найдем их долю в процентах, вычтя из общего количества (100%) долю тетрадей в клетку:

$100\% - 20\% = 80\%$

Таким образом, 80% всех тетрадей были в линейку.

Чтобы узнать, во сколько раз тетрадей в линейку больше, чем тетрадей в клетку, необходимо разделить процентное содержание тетрадей в линейку на процентное содержание тетрадей в клетку:

$\frac{80\%}{20\%} = 4$

Ответ: в 4 раза.

1238. Какому числу, положительному или отрицательному, равно частное:

1) $-28 \div 12$;

2) $-49.5 \div (-0.09)$;

3) $94 \div (-0.47)$?

1) Чтобы определить знак частного в выражении $-28 : 12$, необходимо применить правило деления чисел с разными знаками. Делимое $(-28)$ является отрицательным числом, а делитель $(12)$ — положительным. При делении чисел с разными знаками результат всегда будет отрицательным.
Выполним вычисление для проверки:
$-28 : 12 = -\frac{28}{12}$
Сократим дробь на 4:
$-\frac{28}{12} = -\frac{7}{3} = -2\frac{1}{3}$
Результат $-2\frac{1}{3}$ является отрицательным числом.
Ответ: отрицательному.

2) В выражении $-49,5 : (-0,09)$ и делимое $(-49,5)$, и делитель $(-0,09)$ являются отрицательными числами. Согласно правилу деления, частное двух чисел с одинаковыми знаками (в данном случае, двух отрицательных) является положительным числом.
Выполним вычисление:
$-49,5 : (-0,09) = 49,5 : 0,09$
Чтобы избавиться от дроби в делителе, умножим и делимое, и делитель на 100:
$49,5 \cdot 100 = 4950$
$0,09 \cdot 100 = 9$
Теперь разделим полученные числа:
$4950 : 9 = 550$
Результат $550$ является положительным числом.
Ответ: положительному.

3) В выражении $94 : (-0,47)$ делимое $(94)$ — положительное число, а делитель $(-0,47)$ — отрицательное. При делении чисел с разными знаками результат всегда будет отрицательным.
Выполним вычисление:
$94 : (-0,47) = -(94 : 0,47)$
Умножим делимое и делитель на 100, чтобы делитель стал целым числом:
$-(94 \cdot 100) : (0,47 \cdot 100) = -9400 : 47$
Выполним деление:
$-9400 : 47 = -200$
Результат $-200$ является отрицательным числом.
Ответ: отрицательному.

1239. Верно ли выполнено деление:

1) $-6 : 3 = -2;$

2) $-10 : (-2) = -5;$

3) $19 : (-1) = 19;$

4) $23 : (-23) = 1?$

В случае отрицательного ответа укажите, в чём состоит ошибка.

1) $-6 : 3 = -2$

Деление выполнено верно. Чтобы разделить два числа с разными знаками, нужно разделить их модули и поставить перед полученным числом знак «-».

$|-6| : |3| = 6 : 3 = 2$.

Следовательно, $-6 : 3 = -2$.

Ответ: Верно.

2) $-10 : (-2) = -5$

Деление выполнено неверно. Ошибка заключается в знаке результата. Чтобы разделить два отрицательных числа, нужно разделить их модули. Частное двух отрицательных чисел является положительным числом.

Правильное решение: $-10 : (-2) = |-10| : |-2| = 10 : 2 = 5$.

Ответ: Неверно. Ошибка в знаке. Правильный ответ: 5.

3) $19 : (-1) = 19$

Деление выполнено неверно. Ошибка заключается в знаке результата. При делении чисел с разными знаками частное является отрицательным числом.

Правильное решение: $19 : (-1) = -(|19| : |-1|) = -(19 : 1) = -19$.

Ответ: Неверно. Ошибка в знаке. Правильный ответ: -19.

4) $23 : (-23) = 1?$

Деление выполнено неверно. Ошибка заключается в знаке результата. При делении чисел с разными знаками частное является отрицательным числом.

Правильное решение: $23 : (-23) = -(|23| : |-23|) = -(23 : 23) = -1$.

Ответ: Неверно. Ошибка в знаке. Правильный ответ: -1.

1240. Найдите частное:

1) $24 : (-8);$

2) $-72 : (-6);$

3) $-45 : (-5);$

4) $-25 : 25;$

5) $-13 : 2;$

6) $60 : (-10).$

Для решения данной задачи необходимо применить правила деления целых чисел.

• Частное двух чисел с разными знаками есть число отрицательное. Чтобы найти модуль частного, нужно модуль делимого разделить на модуль делителя.
• Частное двух отрицательных чисел есть число положительное. Чтобы найти модуль частного, нужно модуль делимого разделить на модуль делителя.

1) $24 : (-8)$

Делим положительное число на отрицательное, поэтому результат будет отрицательным. Делим модули чисел: $24 : 8 = 3$.

$24 : (-8) = -3$

Ответ: $-3$

2) $-72 : (-6)$

Делим отрицательное число на отрицательное, поэтому результат будет положительным. Делим модули чисел: $72 : 6 = 12$.

$-72 : (-6) = 12$

Ответ: $12$

3) $-45 : (-5)$

Делим отрицательное число на отрицательное, поэтому результат будет положительным. Делим модули чисел: $45 : 5 = 9$.

$-45 : (-5) = 9$

Ответ: $9$

4) $-25 : 25$

Делим отрицательное число на положительное, поэтому результат будет отрицательным. Делим модули чисел: $25 : 25 = 1$.

$-25 : 25 = -1$

Ответ: $-1$

5) $-13 : 2$

Делим отрицательное число на положительное, поэтому результат будет отрицательным. Делим модули чисел: $13 : 2 = 6,5$.

$-13 : 2 = -6,5$

Ответ: $-6,5$

6) $60 : (-10)$

Делим положительное число на отрицательное, поэтому результат будет отрицательным. Делим модули чисел: $60 : 10 = 6$.

$60 : (-10) = -6$

Ответ: $-6$

1241. Заполните таблицу.

Для того чтобы заполнить таблицу, нужно найти частное от деления значения a на значение b для каждого столбца. Правила деления целых чисел:

• При делении чисел с одинаковыми знаками (оба положительные или оба отрицательные) результат будет положительным.
• При делении чисел с разными знаками (одно положительное, другое отрицательное) результат будет отрицательным.
• При делении нуля на любое ненулевое число результат равен нулю.

Столбец 1

$a = 12$, $b = -3$.
$a : b = 12 : (-3) = -4$ (знаки разные, результат отрицательный).

Ответ: -4

Столбец 2

$a = -12$, $b = 3$.
$a : b = -12 : 3 = -4$ (знаки разные, результат отрицательный).

Ответ: -4

Столбец 3

$a = -12$, $b = -3$.
$a : b = -12 : (-3) = 4$ (знаки одинаковые, результат положительный).

Ответ: 4

Столбец 4

$a = 25$, $b = -5$.
$a : b = 25 : (-5) = -5$ (знаки разные, результат отрицательный).

Ответ: -5

Столбец 5

$a = -40$, $b = -8$.
$a : b = -40 : (-8) = 5$ (знаки одинаковые, результат положительный).

Ответ: 5

Столбец 6

$a = -9$, $b = -9$.
$a : b = -9 : (-9) = 1$ (знаки одинаковые, результат положительный).

Ответ: 1

Столбец 7

$a = -8$, $b = 8$.
$a : b = -8 : 8 = -1$ (знаки разные, результат отрицательный).

Ответ: -1

Столбец 8

$a = 0$, $b = -6$.
$a : b = 0 : (-6) = 0$ (деление нуля на число).

Ответ: 0

Заполненная таблица: