Страница 255 - гдз по математике 6 класс учебник Мерзляк, Полонский

1237.В вершинах куба записаны восемь различных чисел. Докажите, что хотя бы одно из них меньше среднего арифметического трёх соседних чисел (соседними называют числа, записанные на концах одного ребра).

Для доказательства воспользуемся методом от противного.

Предположим, что утверждение задачи неверно. Это означает, что для каждого из восьми различных чисел, записанных в вершинах куба, выполняется обратное условие: каждое число не меньше (то есть больше или равно) среднего арифметического трёх соседних с ним чисел.

Пусть $x_1, x_2, \ldots, x_8$ — числа, записанные в вершинах куба. Для любого числа $x_i$, пусть $x_{j}, x_{k}, x_{l}$ — числа в соседних с ним вершинах. Тогда наше предположение можно записать в виде системы из восьми неравенств:

$x_i \ge \frac{x_j + x_k + x_l}{3}$ для всех $i=1, \ldots, 8$.

Умножим каждое неравенство на 3:

$3x_i \ge x_j + x_k + x_l$

Теперь сложим все восемь неравенств, по одному для каждой вершины:

$\sum_{i=1}^{8} 3x_i \ge \sum_{\text{для всех вершин } i} (\text{сумма чисел в соседних вершинах})$

Левая часть этого неравенства равна $3\sum_{i=1}^{8} x_i$.

Рассмотрим правую часть. В этой сумме каждое число $x_k$ (соответствующее вершине $k$) будет посчитано ровно столько раз, для скольких вершин оно является соседним. Поскольку у каждой вершины куба ровно 3 соседа (степень каждой вершины в графе куба равна 3), каждое число $x_k$ войдет в общую сумму 3 раза. Таким образом, правая часть также равна $3\sum_{k=1}^{8} x_k$.

Наше неравенство превращается в:

$3\sum_{i=1}^{8} x_i \ge 3\sum_{i=1}^{8} x_i$

Это выражение является равенством. Сумма нескольких нестрогих неравенств вида $A_i \ge B_i$ дает равенство $\sum A_i = \sum B_i$ только в том случае, если каждое из этих неравенств на самом деле является равенством, то есть $A_i = B_i$ для всех $i$.

Следовательно, наше исходное предположение о нестрогом неравенстве для каждой вершины должно выполняться как строгое равенство:

$x_i = \frac{x_j + x_k + x_l}{3}$ для всех $i=1, \ldots, 8$.

Это означает, что число в каждой вершине куба равно среднему арифметическому чисел в трёх соседних вершинах.

Теперь воспользуемся условием, что все восемь чисел различны. В любом конечном наборе различных чисел есть наименьшее. Пусть $x_{min}$ — наименьшее из чисел, записанных в вершинах куба. Пусть оно находится в вершине $V_{min}$, а в соседних с ней вершинах находятся числа $a, b, c$.

Из нашего вывода следует, что должно выполняться равенство:

$x_{min} = \frac{a + b + c}{3}$

Однако, по определению $x_{min}$ — это наименьшее число в наборе, и все числа различны. Значит, каждое из его соседних чисел должно быть строго больше него:

$a > x_{min}$
$b > x_{min}$
$c > x_{min}$

Сложив эти три строгих неравенства, получим:

$a + b + c > 3x_{min}$

Разделив обе части на 3, получим:

$\frac{a + b + c}{3} > x_{min}$

Это неравенство $\frac{a + b + c}{3} > x_{min}$ напрямую противоречит ранее полученному равенству $x_{min} = \frac{a + b + c}{3}$.

Полученное противоречие означает, что наше первоначальное предположение было неверным. Следовательно, утверждение задачи верно: хотя бы одно из чисел, записанных в вершинах куба, меньше среднего арифметического трёх соседних с ним чисел, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.