Страница 253 - гдз по математике 6 класс учебник Мерзляк, Полонский

1218. Упростите выражение и найдите его значение:

1) $-0.6x - 1.2x + 3.2x - 5.6x$, если $x = 3.5;$

2) $-2.7x + 3.6y + 4.5x - 5.8y$, если $x = -1\frac{1}{9}$, $y = -\frac{4}{11}.$

Сначала упростим выражение, приведя подобные слагаемые. Для этого сгруппируем члены с переменной $x$ и сложим их коэффициенты:
$-0,6x - 1,2x + 3,2x - 5,6x = (-0,6 - 1,2 + 3,2 - 5,6)x = -4,2x$.

Теперь, когда выражение упрощено, подставим в него значение $x = 3,5$:
$-4,2 \cdot 3,5 = -14,7$.
Ответ: -14,7

Упростим выражение, сгруппировав подобные слагаемые с переменными $x$ и $y$ отдельно:
$-2,7x + 3,6y + 4,5x - 5,8y = (-2,7 + 4,5)x + (3,6 - 5,8)y = 1,8x - 2,2y$.

Подставим значения $x = -1\frac{1}{9}$ и $y = -\frac{4}{11}$. Для удобства вычислений преобразуем десятичные дроби и смешанное число в обыкновенные (неправильные) дроби:
$x = -1\frac{1}{9} = -\frac{10}{9}$
$1,8 = \frac{18}{10} = \frac{9}{5}$
$2,2 = \frac{22}{10} = \frac{11}{5}$
Теперь подставим эти дроби в упрощенное выражение и вычислим его значение:
$1,8x - 2,2y = \frac{9}{5} \cdot (-\frac{10}{9}) - \frac{11}{5} \cdot (-\frac{4}{11}) = -\frac{9 \cdot 10}{5 \cdot 9} + \frac{11 \cdot 4}{5 \cdot 11} = -\frac{10}{5} + \frac{4}{5} = -2 + 0,8 = -1,2$.
Ответ: -1,2

1219. Раскройте скобки и приведите подобные слагаемые:

1) $ \frac{2}{3} (-\frac{3}{8}x + 6) - \frac{3}{7} (28 - \frac{7}{12}x) $

2) $ -\frac{2}{9} (2,7x - 1\frac{1}{2}y) - 1\frac{1}{6} (2,4x - 1\frac{5}{7}y) $

1) $\frac{2}{3}(-\frac{3}{8}x + 6) - \frac{3}{7}(28 - \frac{7}{12}x)$

Чтобы решить это выражение, сначала раскроем скобки, используя распределительное свойство умножения. Каждый член внутри скобок умножается на множитель перед скобками.

Раскрываем первые скобки:

$\frac{2}{3} \cdot (-\frac{3}{8}x) + \frac{2}{3} \cdot 6 = -\frac{2 \cdot 3}{3 \cdot 8}x + \frac{2 \cdot 6}{3} = -\frac{6}{24}x + \frac{12}{3}$

Сокращаем дроби:

$-\frac{1}{4}x + 4$

Раскрываем вторые скобки:

$-\frac{3}{7} \cdot 28 - \frac{3}{7} \cdot (-\frac{7}{12}x) = -\frac{3 \cdot 28}{7} + \frac{3 \cdot 7}{7 \cdot 12}x = -\frac{84}{7} + \frac{21}{84}x$

Сокращаем дроби:

$-12 + \frac{1}{4}x$

Теперь объединим полученные выражения и приведем подобные слагаемые (члены с $x$ и свободные члены):

$(-\frac{1}{4}x + 4) + (-12 + \frac{1}{4}x) = -\frac{1}{4}x + 4 - 12 + \frac{1}{4}x$

Сгруппируем подобные слагаемые:

$(-\frac{1}{4}x + \frac{1}{4}x) + (4 - 12) = 0 \cdot x - 8 = -8$

Ответ: $-8$

2) $-\frac{2}{9}(2,7x - 1\frac{1}{2}y) - 1\frac{1}{6}(2,4x - 1\frac{5}{7}y)$

Для удобства вычислений преобразуем все десятичные дроби и смешанные числа в неправильные дроби:

$2,7 = \frac{27}{10}$; $1\frac{1}{2} = \frac{1 \cdot 2 + 1}{2} = \frac{3}{2}$; $1\frac{1}{6} = \frac{1 \cdot 6 + 1}{6} = \frac{7}{6}$; $2,4 = \frac{24}{10} = \frac{12}{5}$; $1\frac{5}{7} = \frac{1 \cdot 7 + 5}{7} = \frac{12}{7}$

Подставим эти значения в исходное выражение:

$-\frac{2}{9}(\frac{27}{10}x - \frac{3}{2}y) - \frac{7}{6}(\frac{12}{5}x - \frac{12}{7}y)$

Теперь раскроем скобки, умножая множители на каждый член внутри скобок:

$-\frac{2}{9} \cdot \frac{27}{10}x - \frac{2}{9} \cdot (-\frac{3}{2}y) - \frac{7}{6} \cdot \frac{12}{5}x - \frac{7}{6} \cdot (-\frac{12}{7}y)$

Выполним умножение и сократим дроби:

$-\frac{2 \cdot 27}{9 \cdot 10}x + \frac{2 \cdot 3}{9 \cdot 2}y - \frac{7 \cdot 12}{6 \cdot 5}x + \frac{7 \cdot 12}{6 \cdot 7}y = -\frac{3}{5}x + \frac{1}{3}y - \frac{14}{5}x + 2y$

Приведем подобные слагаемые. Сгруппируем члены с $x$ и члены с $y$:

$(-\frac{3}{5}x - \frac{14}{5}x) + (\frac{1}{3}y + 2y)$

Сложим коэффициенты у подобных слагаемых:

Для $x$: $-\frac{3}{5} - \frac{14}{5} = \frac{-3-14}{5} = -\frac{17}{5}$

Для $y$: $\frac{1}{3} + 2 = \frac{1}{3} + \frac{6}{3} = \frac{1+6}{3} = \frac{7}{3}$

Таким образом, итоговое выражение равно:

$-\frac{17}{5}x + \frac{7}{3}y$

Ответ: $-\frac{17}{5}x + \frac{7}{3}y$

1220. Найдите значение выражения:

1) $-6(2a - 7) + 4(5a - 6)$ при $a = -2,5;$

2) $-1,1(2m - 4) - (2 - 3m) - 0,4(1 - m)$ при $m = -4;$

3) $1 \frac{1}{9}(3y - 9) - 8 \frac{1}{3}(y - 6)$ при $y = 3,6.$

1) Сначала упростим выражение, раскрыв скобки и приведя подобные слагаемые.
$-6(2a - 7) + 4(5a - 6) = -6 \cdot 2a - 6 \cdot (-7) + 4 \cdot 5a + 4 \cdot (-6) = -12a + 42 + 20a - 24$
Сгруппируем подобные слагаемые:
$(-12a + 20a) + (42 - 24) = 8a + 18$
Теперь подставим значение $a = -2,5$ в упрощенное выражение:
$8a + 18 = 8 \cdot (-2,5) + 18 = -20 + 18 = -2$
Ответ: -2.

2) Упростим данное выражение, раскрыв скобки.
$-1,1(2m - 4) - (2 - 3m) - 0,4(1 - m) = -1,1 \cdot 2m - 1,1 \cdot (-4) - 2 + 3m - 0,4 \cdot 1 - 0,4 \cdot (-m)$
$= -2,2m + 4,4 - 2 + 3m - 0,4 + 0,4m$
Приведем подобные слагаемые:
$(-2,2m + 3m + 0,4m) + (4,4 - 2 - 0,4) = (0,8m + 0,4m) + (2,4 - 0,4) = 1,2m + 2$
Подставим значение $m = -4$ в полученное выражение:
$1,2m + 2 = 1,2 \cdot (-4) + 2 = -4,8 + 2 = -2,8$
Ответ: -2,8.

3) Сначала преобразуем смешанные числа в неправильные дроби, а затем упростим выражение.
$1\frac{1}{9} = \frac{1 \cdot 9 + 1}{9} = \frac{10}{9}$
$8\frac{1}{3} = \frac{8 \cdot 3 + 1}{3} = \frac{25}{3}$
Выражение примет вид:
$\frac{10}{9}(3y - 9) - \frac{25}{3}(y - 6)$
Раскроем скобки:
$\frac{10}{9} \cdot 3y - \frac{10}{9} \cdot 9 - \frac{25}{3} \cdot y - \frac{25}{3} \cdot (-6) = \frac{30}{9}y - 10 - \frac{25}{3}y + \frac{150}{3}$
Упростим дроби:
$\frac{10}{3}y - 10 - \frac{25}{3}y + 50$
Приведем подобные слагаемые:
$(\frac{10}{3}y - \frac{25}{3}y) + (-10 + 50) = \frac{10 - 25}{3}y + 40 = -\frac{15}{3}y + 40 = -5y + 40$
Подставим значение $y = 3,6$ в упрощенное выражение:
$-5y + 40 = -5 \cdot 3,6 + 40 = -18 + 40 = 22$
Ответ: 22.

1221. Найдите значение выражения:

1) $7(3-4b)-5(3b+4)$ при $b = -0,2$;

2) $-2(3,1x-1)+3(1,2x+1)-8(0,3x+3)$ при $x=0,8$;

3) $-2\frac{4}{13}(13-p)+1\frac{1}{13}(26-p)$ при $p = 3\frac{1}{4}$.

1) Сначала упростим выражение, раскрыв скобки и приведя подобные слагаемые.
$7(3 - 4b) - 5(3b + 4) = 7 \cdot 3 - 7 \cdot 4b - 5 \cdot 3b - 5 \cdot 4 = 21 - 28b - 15b - 20$.
Сгруппируем подобные слагаемые: $(21 - 20) + (-28b - 15b) = 1 - 43b$.
Теперь подставим значение $b = -0,2$ в упрощенное выражение:
$1 - 43b = 1 - 43 \cdot (-0,2) = 1 + (43 \cdot 0,2) = 1 + 8,6 = 9,6$.
Ответ: 9,6

2) Упростим выражение, раскрыв все скобки.
$-2(3,1x - 1) + 3(1,2x + 1) - 8(0,3x + 3) = -2 \cdot 3,1x + (-2) \cdot (-1) + 3 \cdot 1,2x + 3 \cdot 1 - 8 \cdot 0,3x - 8 \cdot 3 = -6,2x + 2 + 3,6x + 3 - 2,4x - 24$.
Сгруппируем и приведем подобные слагаемые (члены с $x$ и свободные члены):
$(-6,2x + 3,6x - 2,4x) + (2 + 3 - 24) = (-2,6x - 2,4x) + (5 - 24) = -5x - 19$.
Подставим значение $x = 0,8$ в полученное выражение:
$-5x - 19 = -5 \cdot 0,8 - 19 = -4 - 19 = -23$.
Ответ: -23

3) Сначала преобразуем смешанные числа в неправильные дроби для удобства вычислений.
$-2\frac{4}{13} = -\frac{2 \cdot 13 + 4}{13} = -\frac{30}{13}$.
$1\frac{1}{13} = \frac{1 \cdot 13 + 1}{13} = \frac{14}{13}$.
Значение $p = 3\frac{1}{4} = \frac{3 \cdot 4 + 1}{4} = \frac{13}{4}$.
Упростим исходное выражение:
$-2\frac{4}{13}(13 - p) + 1\frac{1}{13}(26 - p) = -\frac{30}{13}(13 - p) + \frac{14}{13}(26 - p)$.
Раскроем скобки:
$-\frac{30}{13} \cdot 13 - (-\frac{30}{13}) \cdot p + \frac{14}{13} \cdot 26 - \frac{14}{13} \cdot p = -30 + \frac{30}{13}p + \frac{14 \cdot 2 \cdot 13}{13} - \frac{14}{13}p = -30 + \frac{30}{13}p + 28 - \frac{14}{13}p$.
Приведем подобные слагаемые:
$(-30 + 28) + (\frac{30}{13}p - \frac{14}{13}p) = -2 + \frac{16}{13}p$.
Теперь подставим значение $p = \frac{13}{4}$ в упрощенное выражение:
$-2 + \frac{16}{13} \cdot \frac{13}{4} = -2 + \frac{16 \cdot 13}{13 \cdot 4}$. Сократим дроби:
$-2 + \frac{16}{4} = -2 + 4 = 2$.
Ответ: 2

1222. Вынесите за скобки общий множитель:

1) $6ax - 12a + 9ay;$

2) $7ab + 14ac - 28a;$

3) $-8mn - 6mk - 10m;$

4) $8abc - 24abd - 6ab.$

1) Для выражения $6ax - 12a + 9ay$ необходимо найти общий множитель для всех его членов.
Сначала найдем наибольший общий делитель (НОД) для числовых коэффициентов: 6, 12 и 9.
Разложим коэффициенты на простые множители:
$6 = 2 \cdot 3$
$12 = 2 \cdot 2 \cdot 3$
$9 = 3 \cdot 3$
Общим множителем для этих чисел является 3.
Теперь рассмотрим переменные. В каждом члене выражения ($6ax$, $-12a$, $9ay$) присутствует переменная $a$. Других общих переменных нет.
Таким образом, общий множитель для всего выражения — это $3a$.
Вынесем $3a$ за скобки. Для этого разделим каждый член исходного выражения на $3a$:
$\frac{6ax}{3a} = 2x$
$\frac{-12a}{3a} = -4$
$\frac{9ay}{3a} = 3y$
Запишем результат, поместив общий множитель перед скобками, а результаты деления — в скобках: $3a(2x - 4 + 3y)$.
Ответ: $3a(2x - 4 + 3y)$.

2) Рассмотрим выражение $7ab + 14ac - 28a$.
Найдем НОД для коэффициентов 7, 14 и 28.
$7 = 7$
$14 = 2 \cdot 7$
$28 = 2 \cdot 2 \cdot 7$
НОД(7, 14, 28) = 7.
Общая переменная для всех членов — это $a$.
Следовательно, общий множитель — $7a$.
Разделим каждый член на $7a$:
$\frac{7ab}{7a} = b$
$\frac{14ac}{7a} = 2c$
$\frac{-28a}{7a} = -4$
Результат после вынесения общего множителя за скобки: $7a(b + 2c - 4)$.
Ответ: $7a(b + 2c - 4)$.

3) В выражении $-8mn - 6mk - 10m$ все члены отрицательные, поэтому удобно вынести за скобки отрицательный общий множитель.
Найдем НОД для абсолютных значений коэффициентов 8, 6 и 10.
$8 = 2 \cdot 2 \cdot 2$
$6 = 2 \cdot 3$
$10 = 2 \cdot 5$
НОД(8, 6, 10) = 2.
Общая переменная для всех членов — это $m$.
Вынесем за скобки общий множитель $-2m$. При делении на отрицательное число знаки в скобках изменятся на противоположные.
$\frac{-8mn}{-2m} = 4n$
$\frac{-6mk}{-2m} = 3k$
$\frac{-10m}{-2m} = 5$
Получаем выражение: $-2m(4n + 3k + 5)$.
Ответ: $-2m(4n + 3k + 5)$.

4) Рассмотрим выражение $8abc - 24abd - 6ab$.
Найдем НОД для коэффициентов 8, 24 и 6.
$8 = 2 \cdot 2 \cdot 2$
$24 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3$
$6 = 2 \cdot 3$
НОД(8, 24, 6) = 2.
Найдем общие переменные. В каждом члене присутствуют переменные $a$ и $b$.
Значит, общий множитель — это $2ab$.
Вынесем его за скобки, разделив каждый член на $2ab$:
$\frac{8abc}{2ab} = 4c$
$\frac{-24abd}{2ab} = -12d$
$\frac{-6ab}{2ab} = -3$
Результат: $2ab(4c - 12d - 3)$.
Ответ: $2ab(4c - 12d - 3)$.

1223. Вынесите за скобки общий множитель:

1) $-1.2pc - 0.2mc + c;$

2) $-35ac - 15bc + 20abc;$

3) $-6ax - 30ay - 42az;$

4) $9mnp + 45mnk - 27mn.$

1) $ -1,2pc - 0,2mc + c $

Чтобы вынести общий множитель за скобки, найдем общий делитель для каждого члена выражения: $-1,2pc$, $-0,2mc$ и $c$.
Общей переменной для всех членов является $c$.
Найдем наибольший общий делитель (НОД) для коэффициентов $1,2$, $0,2$ и $1$. Он равен $0,2$.
Таким образом, общий множитель - это $0,2c$. Так как первый член отрицательный, удобнее вынести за скобки $-0,2c$:
$ -1,2pc - 0,2mc + c = -0,2c \cdot (6p) + (-0,2c) \cdot (m) + (-0,2c) \cdot (-5) = -0,2c(6p + m - 5) $
Ответ: $ -0,2c(6p + m - 5) $

2) $ -35ac - 15bc + 20abc $

Найдем общий множитель для членов $-35ac$, $-15bc$ и $20abc$.
Общей переменной для всех членов является $c$.
Наибольший общий делитель для абсолютных значений коэффициентов $|-35|$, $|-15|$ и $20$ равен $5$.
Общий множитель - $5c$. Вынесем за скобки $-5c$, чтобы сделать первый член в скобках положительным:
$ -35ac - 15bc + 20abc = -5c(7a + 3b - 4ab) $
Ответ: $ -5c(7a + 3b - 4ab) $

3) $ -6ax - 30ay - 42az $

Найдем общий множитель для членов $-6ax$, $-30ay$ и $-42az$.
Общей переменной является $a$.
Наибольший общий делитель для абсолютных значений коэффициентов $|-6|$, $|-30|$ и $|-42|$ равен $6$.
Общий множитель - $6a$. Так как все члены отрицательные, вынесем за скобки $-6a$:
$ -6ax - 30ay - 42az = -6a(x + 5y + 7z) $
Ответ: $ -6a(x + 5y + 7z) $

4) $ 9mnp + 45mnk - 27mn $

Найдем общий множитель для членов $9mnp$, $45mnk$ и $-27mn$.
Общими переменными являются $m$ и $n$.
Наибольший общий делитель для абсолютных значений коэффициентов $9$, $45$ и $|-27|$ равен $9$.
Общий множитель - $9mn$. Вынесем его за скобки:
$ 9mnp + 45mnk - 27mn = 9mn(p + 5k - 3) $
Ответ: $ 9mn(p + 5k - 3) $

1224. Докажите, что значение выражения не зависит от значения переменной:

1) $4(a-3) - 3(6-a) + (20-7a)$;

2) $(3m-7) \cdot 0,6 - 0,8(4m-5) - (-1,7-1,4m).$

1) Чтобы доказать, что значение выражения не зависит от значения переменной, нужно это выражение упростить. Если в результате упрощения все члены, содержащие переменную, сократятся, то утверждение будет доказано.
Упростим выражение $4(a - 3) - 3(6 - a) + (20 - 7a)$.
Сначала раскроем скобки, применяя распределительное свойство умножения:
$4 \cdot a - 4 \cdot 3 - 3 \cdot 6 - 3 \cdot (-a) + 20 - 7a = 4a - 12 - 18 + 3a + 20 - 7a$
Теперь сгруппируем и приведём подобные слагаемые (члены с переменной $a$ и постоянные члены):
$(4a + 3a - 7a) + (-12 - 18 + 20) = (7a - 7a) + (-30 + 20) = 0 \cdot a - 10 = -10$
В результате упрощения получилось число $-10$. Так как итоговое значение является константой и не содержит переменную $a$, значение исходного выражения не зависит от значения переменной $a$.
Ответ: -10.

2) Упростим второе выражение, чтобы доказать, что его значение не зависит от переменной $m$.
$(3m - 7) \cdot 0{,}6 - 0{,}8(4m - 5) - (-1{,}7 - 1{,}4m)$
Раскроем все скобки:
$3m \cdot 0{,}6 - 7 \cdot 0{,}6 - 0{,}8 \cdot 4m - 0{,}8 \cdot (-5) - (-1{,}7) - (-1{,}4m) = 1{,}8m - 4{,}2 - 3{,}2m + 4 + 1{,}7 + 1{,}4m$
Сгруппируем и приведём подобные слагаемые (члены с переменной $m$ и постоянные члены):
$(1{,}8m - 3{,}2m + 1{,}4m) + (-4{,}2 + 4 + 1{,}7) = (3{,}2m - 3{,}2m) + (-4{,}2 + 5{,}7) = 0 \cdot m + 1{,}5 = 1{,}5$
В результате упрощения получилось число $1{,}5$. Так как итоговое значение является константой и не содержит переменную $m$, значение исходного выражения не зависит от значения переменной $m$.
Ответ: 1,5.

1225. Докажите, что при любом значении переменной:

1) выражение $3(5,1k - 2,5) - 0,9(17k + 5)$ принимает отрицательное значение;

2) выражение $-0,2(36x + 15) + 0,6(12x + 7)$ принимает положительное значение.

1) выражение 3(5,1k − 2,5) − 0,9(17k + 5) принимает отрицательное значение;

Для того чтобы доказать, что значение выражения не зависит от переменной и является отрицательным, необходимо его упростить.

Сначала раскроем скобки, умножив каждый член в скобках на множитель перед ними:

$3(5.1k - 2.5) - 0.9(17k + 5) = 3 \cdot 5.1k - 3 \cdot 2.5 - 0.9 \cdot 17k - 0.9 \cdot 5$

Выполним умножение:

$15.3k - 7.5 - 15.3k - 4.5$

Теперь приведем подобные слагаемые. Сгруппируем члены, содержащие переменную $k$, и числовые члены:

$(15.3k - 15.3k) + (-7.5 - 4.5) = 0k - 12 = -12$

В результате упрощения мы получили число $-12$. Это значение является константой и не зависит от значения переменной $k$. Поскольку $-12 < 0$, данное выражение всегда принимает отрицательное значение.

Ответ: значение выражения при любом $k$ равно $-12$, что является отрицательным числом.

2) выражение −0,2(36x + 15) + 0,6(12x + 7) принимает положительное значение.

Аналогично первому пункту, упростим данное выражение, чтобы доказать, что его значение всегда положительно.

Раскроем скобки:

$-0.2(36x + 15) + 0.6(12x + 7) = -0.2 \cdot 36x - 0.2 \cdot 15 + 0.6 \cdot 12x + 0.6 \cdot 7$

Выполним умножение:

$-7.2x - 3 + 7.2x + 4.2$

Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:

$(-7.2x + 7.2x) + (-3 + 4.2) = 0x + 1.2 = 1.2$

В результате упрощения мы получили число $1.2$. Это значение не зависит от переменной $x$. Поскольку $1.2 > 0$, данное выражение всегда принимает положительное значение.

Ответ: значение выражения при любом $x$ равно $1.2$, что является положительным числом.

1226. Докажите, что при любом натуральном значении $n$ значение выражения:

1) $5(4n-4.2)-7(2n-3)$ кратно 6;

2) $9(3n-8)+2(36-11n)$ кратно 5.

1) Докажите, что при любом натуральном значении n значение выражения 5(4n - 4,2) - 7(2n - 3) кратно 6;

Для доказательства необходимо упростить данное выражение. Для этого раскроем скобки и приведем подобные слагаемые.

$5(4n - 4,2) - 7(2n - 3) = 5 \cdot 4n - 5 \cdot 4,2 - 7 \cdot 2n - 7 \cdot (-3)$

$= 20n - 21 - 14n + 21$

Теперь сгруппируем слагаемые с переменной $n$ и числовые слагаемые:

$(20n - 14n) + (-21 + 21) = 6n$

В результате упрощения мы получили выражение $6n$. Поскольку $n$ по условию является натуральным числом, то произведение $6n$ всегда будет делиться на 6 нацело. Таким образом, исходное выражение кратно 6 при любом натуральном $n$.

Ответ: Доказано, так как выражение равно $6n$, что всегда кратно 6.

2) Докажите, что при любом натуральном значении n значение выражения 9(3n - 8) + 2(36 - 11n) кратно 5.

Для доказательства упростим данное выражение, раскрыв скобки и приведя подобные слагаемые.

$9(3n - 8) + 2(36 - 11n) = 9 \cdot 3n - 9 \cdot 8 + 2 \cdot 36 + 2 \cdot (-11n)$

$= 27n - 72 + 72 - 22n$

Теперь сгруппируем слагаемые с переменной $n$ и числовые слагаемые:

$(27n - 22n) + (-72 + 72) = 5n$

В результате упрощения мы получили выражение $5n$. Поскольку $n$ по условию является натуральным числом, то произведение $5n$ всегда будет делиться на 5 нацело. Таким образом, исходное выражение кратно 5 при любом натуральном $n$.

Ответ: Доказано, так как выражение равно $5n$, что всегда кратно 5.

1227. Докажите, что при любом натуральном значении n значение выражения $8(4n + 5) - 5(5n + 8)$ кратно 7.

Чтобы доказать, что значение выражения кратно 7, необходимо его упростить. Для этого раскроем скобки и приведём подобные слагаемые.

Исходное выражение:

$8(4n + 5) - 5(5n + 8)$

1. Раскроем скобки, умножая множители перед ними на каждый член внутри скобок:

$8 \cdot 4n + 8 \cdot 5 - 5 \cdot 5n - 5 \cdot 8 = 32n + 40 - 25n - 40$

2. Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:

$(32n - 25n) + (40 - 40)$

3. Выполним вычисления:

$7n + 0 = 7n$

В результате упрощения мы получили выражение $7n$. Так как по условию $n$ — любое натуральное число, то произведение $7n$ всегда будет иметь множитель 7, а значит, будет делиться на 7 без остатка. Следовательно, значение исходного выражения кратно 7 при любом натуральном значении $n$.

Ответ: Утверждение доказано, так как исходное выражение тождественно равно $7n$, что всегда кратно 7 при любом натуральном $n$.