Страница 247 - гдз по математике 6 класс учебник Мерзляк, Полонский

1181. Вычислите наиболее удобным способом:

1) $-1,25 \cdot (-3,47) \cdot (-8);$

2) $-0,001 \cdot (-54,8) \cdot 50 \cdot (-2);$

3) $\frac{9}{16} \cdot \frac{11}{35} \cdot (-32) \cdot (-70);$

4) $4,8 \cdot \left(-2\frac{1}{6}\right) \cdot \left(-\frac{5}{24}\right) \cdot \left(-\frac{6}{13}\right).$

1) $-1,25 \cdot (-3,47) \cdot (-8)$

В этом произведении три множителя, из которых три отрицательные. Так как число отрицательных множителей нечетное, результат будет отрицательным. Для удобства вычислений воспользуемся переместительным и сочетательным свойствами умножения и сгруппируем множители $-1,25$ и $-8$.

$-1,25 \cdot (-3,47) \cdot (-8) = (-1,25 \cdot (-8)) \cdot (-3,47)$

Вычислим произведение в скобках. Произведение двух отрицательных чисел положительно.

$-1,25 \cdot (-8) = 1,25 \cdot 8 = 10$

Теперь умножим полученный результат на оставшийся множитель:

$10 \cdot (-3,47) = -34,7$

Ответ: -34,7

2) $-0,001 \cdot (-54,8) \cdot 50 \cdot (-2)$

В этом произведении четыре множителя, из которых три отрицательные. Результат будет отрицательным. Сгруппируем множители так, чтобы упростить вычисления, перемножив $50$ и $-2$.

$-0,001 \cdot (-54,8) \cdot 50 \cdot (-2) = (-0,001 \cdot (50 \cdot (-2))) \cdot (-54,8)$

Вычислим произведение во внутренних скобках:

$50 \cdot (-2) = -100$

Теперь вычислим произведение в больших скобках:

$-0,001 \cdot (-100) = 0,1$

Наконец, умножим полученный результат на оставшийся множитель:

$0,1 \cdot (-54,8) = -5,48$

Ответ: -5,48

3) $\frac{9}{16} \cdot \frac{11}{35} \cdot (-32) \cdot (-70)$

В этом произведении два отрицательных множителя, поэтому результат будет положительным. Сгруппируем дроби с целыми числами так, чтобы было удобно выполнить сокращение.

$\frac{9}{16} \cdot \frac{11}{35} \cdot (-32) \cdot (-70) = (\frac{9}{16} \cdot (-32)) \cdot (\frac{11}{35} \cdot (-70))$

Вычислим значение каждого выражения в скобках:

$\frac{9}{16} \cdot (-32) = -\frac{9 \cdot 32}{16} = -9 \cdot 2 = -18$

$\frac{11}{35} \cdot (-70) = -\frac{11 \cdot 70}{35} = -11 \cdot 2 = -22$

Теперь перемножим полученные результаты. Произведение двух отрицательных чисел положительно.

$(-18) \cdot (-22) = 18 \cdot 22 = 396$

Ответ: 396

4) $4,8 \cdot (-2\frac{1}{6}) \cdot (-\frac{5}{24}) \cdot (-\frac{6}{13})$

В этом произведении три отрицательных множителя, поэтому результат будет отрицательным. Для удобства вычислений преобразуем все множители в обыкновенные дроби.

$4,8 = \frac{48}{10} = \frac{24}{5}$

$-2\frac{1}{6} = -\frac{2 \cdot 6 + 1}{6} = -\frac{13}{6}$

Перепишем исходное выражение:

$\frac{24}{5} \cdot (-\frac{13}{6}) \cdot (-\frac{5}{24}) \cdot (-\frac{6}{13})$

Результат будет отрицательным. Перегруппируем множители, чтобы рядом оказались взаимно обратные числа:

$- (\frac{24}{5} \cdot \frac{5}{24}) \cdot (\frac{13}{6} \cdot \frac{6}{13})$

Произведение взаимно обратных чисел равно 1:

$\frac{24}{5} \cdot \frac{5}{24} = 1$

$\frac{13}{6} \cdot \frac{6}{13} = 1$

Подставим эти значения в выражение:

$-(1 \cdot 1) = -1$

Ответ: -1

1182. Чему равно произведение всех целых чисел, которые больше -20 и меньше 20?

Нам необходимо найти произведение всех целых чисел, которые больше $-20$ и меньше $20$.

Запишем это условие в виде двойного неравенства для целого числа $x$:

$-20 < x < 20$

Множество целых чисел, удовлетворяющих этому неравенству, включает в себя все целые числа от $-19$ до $19$ включительно.

Это числа: $-19, -18, -17, \dots, -2, -1, 0, 1, 2, \dots, 17, 18, 19$.

Чтобы найти произведение этих чисел, нужно их все перемножить:

$P = (-19) \cdot (-18) \cdot \ldots \cdot (-1) \cdot 0 \cdot 1 \cdot \ldots \cdot 18 \cdot 19$

Обратим внимание, что среди множителей есть число 0. Согласно основному свойству умножения, если хотя бы один из множителей равен нулю, то все произведение равно нулю.

Следовательно, нет необходимости вычислять произведение всех остальных чисел, так как наличие нуля в качестве множителя сразу же обращает все произведение в ноль.

Ответ: 0

1183. Положительным, отрицательным или нулём является произведение пяти чисел, если:

Для определения знака произведения нескольких чисел необходимо руководствоваться следующими правилами:

• Произведение является положительным, если в нём содержится четное количество отрицательных множителей (и нет множителей, равных нулю).
• Произведение является отрицательным, если в нём содержится нечетное количество отрицательных множителей (и нет множителей, равных нулю).
• Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю.

1) два числа положительные, а остальные — отрицательные;

Всего необходимо перемножить пять чисел. Если два из них положительные, то количество отрицательных чисел составляет $5 - 2 = 3$. Число 3 является нечетным, следовательно, произведение нечетного количества отрицательных чисел будет отрицательным. Схематично: $(+) \cdot (+) \cdot (-) \cdot (-) \cdot (-) = (-)$.
Ответ: отрицательным.

2) два числа отрицательные, а остальные — положительные;

В этом случае из пяти чисел два являются отрицательными, а остальные $5 - 2 = 3$ — положительными. Количество отрицательных множителей равно 2. Число 2 является четным, поэтому произведение будет положительным. Схематично: $(-) \cdot (-) \cdot (+) \cdot (+) \cdot (+) = (+)$.
Ответ: положительным.

3) четыре числа отрицательные;

Так как речь идет о произведении пяти чисел, а указаны только четыре отрицательных, будем считать, что пятое число положительное (поскольку не указано иное). В произведении участвуют 4 отрицательных множителя. Число 4 является четным, следовательно, их произведение будет положительным. Схематично: $(-) \cdot (-) \cdot (-) \cdot (-) \cdot (+) = (+)$.
Ответ: положительным.

4) два числа отрицательные, два числа — положительные, а одно — нуль?

В данном наборе из пяти чисел присутствует множитель, равный нулю. Согласно основному свойству умножения, если хотя бы один из множителей равен нулю, то и всё произведение равно нулю. $a \cdot b \cdot c \cdot d \cdot 0 = 0$.
Ответ: нулём.

1184. Упростите выражение и найдите его значение:

1) $-\frac{8}{15}a \cdot 3\frac{3}{4}b$, если $a = -\frac{1}{3}$, $b = \frac{1}{6}$;

2) $-\frac{7}{20}x \cdot (-1\frac{1}{14}y) \cdot (-2\frac{2}{3}z)$, если $x = -3\frac{3}{7}$, $y = 14$, $z = -\frac{5}{16}$.

1) Сначала упростим выражение. Для этого переведем смешанное число $3\frac{3}{4}$ в неправильную дробь и перемножим числовые коэффициенты:

$-\frac{8}{15}a \cdot 3\frac{3}{4}b = -\frac{8}{15}a \cdot \frac{15}{4}b = \left(-\frac{8}{15} \cdot \frac{15}{4}\right)ab$

Выполним умножение дробей, сократив общие множители:

$-\frac{8 \cdot 15}{15 \cdot 4}ab = -\frac{8}{4}ab = -2ab$

Теперь подставим в упрощенное выражение значения $a = -\frac{1}{3}$ и $b = \frac{1}{6}$:

$-2ab = -2 \cdot \left(-\frac{1}{3}\right) \cdot \frac{1}{6} = \left(2 \cdot \frac{1}{3}\right) \cdot \frac{1}{6} = \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{6} = \frac{2 \cdot 1}{3 \cdot 6} = \frac{2}{18} = \frac{1}{9}$

Ответ: $\frac{1}{9}$

2) Упростим исходное выражение. Сначала переведем смешанные числа в неправильные дроби:

$-1\frac{1}{14} = -\frac{1 \cdot 14 + 1}{14} = -\frac{15}{14}$

$-2\frac{2}{3} = -\frac{2 \cdot 3 + 2}{3} = -\frac{8}{3}$

Выражение примет вид:

$-\frac{7}{20}x \cdot \left(-\frac{15}{14}y\right) \cdot \left(-\frac{8}{3}z\right)$

Перемножим числовые коэффициенты, учитывая знаки (произведение трех отрицательных чисел отрицательно):

$\left(-\frac{7}{20}\right) \cdot \left(-\frac{15}{14}\right) \cdot \left(-\frac{8}{3}\right)xyz = -\left(\frac{7 \cdot 15 \cdot 8}{20 \cdot 14 \cdot 3}\right)xyz$

Сократим дробь:

$-\left(\frac{\cancel{7} \cdot (\cancel{3} \cdot 5) \cdot 8}{(4 \cdot 5) \cdot (2 \cdot \cancel{7}) \cdot \cancel{3}}\right)xyz = -\left(\frac{8}{4 \cdot 2}\right)xyz = -\left(\frac{8}{8}\right)xyz = -1 \cdot xyz = -xyz$

Теперь подставим в полученное выражение значения переменных $x = -3\frac{3}{7}$, $y = 14$, $z = -\frac{5}{16}$.

Переведем значение $x$ в неправильную дробь:

$x = -3\frac{3}{7} = -\frac{3 \cdot 7 + 3}{7} = -\frac{24}{7}$

Выполним подстановку:

$-xyz = -\left(-\frac{24}{7}\right) \cdot 14 \cdot \left(-\frac{5}{16}\right)$

Произведение трех отрицательных чисел отрицательно:

$-\frac{24}{7} \cdot 14 \cdot \frac{5}{16} = -\frac{24 \cdot 14 \cdot 5}{7 \cdot 16}$

Сократим дробь:

$-\frac{(3 \cdot \cancel{8}) \cdot (2 \cdot \cancel{7}) \cdot 5}{\cancel{7} \cdot (2 \cdot \cancel{8})} = -(3 \cdot 5) = -15$

Ответ: $-15$

1185. Упростите выражение и найдите его значение:

1) $200m \cdot (-0,4n)$, если $m = -0,25$, $n = 0,2;$

2) $-\frac{1}{3}m \cdot (-\frac{3}{4}n) \cdot 20p$, если $m = -\frac{3}{20}$, $p = \frac{4}{9}$, $n = -30.$

1)

Сначала упростим выражение $200m \cdot (-0,4n)$. Для этого используем переместительное и сочетательное свойства умножения, чтобы сгруппировать и перемножить числовые коэффициенты:

$200m \cdot (-0,4n) = (200 \cdot (-0,4)) \cdot (m \cdot n) = -80mn$.

Теперь, когда выражение упрощено, подставим в него заданные значения $m = -0,25$ и $n = 0,2$:

$-80mn = -80 \cdot (-0,25) \cdot 0,2$.

Выполним вычисления по порядку:

$-80 \cdot (-0,25) = 20$.

$20 \cdot 0,2 = 4$.

Значение выражения равно 4.

Ответ: 4

2)

Сначала упростим выражение $-\frac{1}{3}m \cdot \left(-\frac{3}{4}n\right) \cdot 20p$. Сгруппируем и перемножим числовые коэффициенты:

$\left(-\frac{1}{3} \cdot \left(-\frac{3}{4}\right) \cdot 20\right) \cdot mnp$.

Вычислим произведение коэффициентов:

$-\frac{1}{3} \cdot \left(-\frac{3}{4}\right) = \frac{1 \cdot 3}{3 \cdot 4} = \frac{3}{12} = \frac{1}{4}$.

$\frac{1}{4} \cdot 20 = \frac{20}{4} = 5$.

Таким образом, упрощенное выражение имеет вид: $5mnp$.

Теперь подставим в него значения переменных $m = -\frac{3}{20}$, $p = \frac{4}{9}$ и $n = -30$:

$5mnp = 5 \cdot \left(-\frac{3}{20}\right) \cdot (-30) \cdot \frac{4}{9}$.

Выполним вычисления. Удобнее сгруппировать множители следующим образом:

$\left(5 \cdot \left(-\frac{3}{20}\right) \cdot \frac{4}{9}\right) \cdot (-30)$.

$5 \cdot \left(-\frac{3}{20}\right) = -\frac{15}{20} = -\frac{3}{4}$.

$-\frac{3}{4} \cdot \frac{4}{9} = -\frac{3 \cdot 4}{4 \cdot 9} = -\frac{3}{9} = -\frac{1}{3}$.

И последнее действие:

$-\frac{1}{3} \cdot (-30) = \frac{30}{3} = 10$.

Значение выражения равно 10.

Ответ: 10

1186. Каждое из двадцати чисел равно 1 или -1, а их сумма равна 0. Найдите произведение этих двадцати чисел.

Пусть среди двадцати чисел есть $n$ чисел, равных 1, и $m$ чисел, равных -1.

Поскольку всего чисел двадцать, то их общее количество можно записать в виде уравнения: $n + m = 20$.

По условию задачи, сумма этих двадцати чисел равна 0. Сумму всех чисел можно выразить так: $n \cdot 1 + m \cdot (-1) = 0$.

Упростим второе уравнение: $n - m = 0$. Отсюда следует, что количество единиц равно количеству минус единиц: $n = m$.

Теперь мы имеем систему из двух уравнений:

$n + m = 20$
$n = m$

Подставим второе уравнение в первое: $m + m = 20$, или $2m = 20$.

Отсюда находим, что $m = 10$. Так как $n = m$, то $n$ также равно 10.

Таким образом, в наборе из двадцати чисел есть десять чисел, равных 1, и десять чисел, равных -1.

Теперь найдем произведение этих двадцати чисел. Произведение будет состоять из десяти множителей, равных 1, и десяти множителей, равных -1. Его можно записать как $1^{10} \cdot (-1)^{10}$.

Мы знаем, что $1$ в любой степени равно $1$, поэтому $1^{10} = 1$.

Число $-1$, возведенное в четную степень, равно $1$. Поскольку 10 — это четное число, то $(-1)^{10} = 1$.

Следовательно, искомое произведение равно $1 \cdot 1 = 1$.

Ответ: 1

1187. На сколько произведение чисел -4,2 и -3,5 больше:

1) большего из них;

2) их суммы?

Для начала найдем произведение чисел -4,2 и -3,5. Произведение двух отрицательных чисел — число положительное.

$(-4,2) \cdot (-3,5) = 4,2 \cdot 3,5 = 14,7$.

1) большего из них;

Сравним числа -4,2 и -3,5. Из двух отрицательных чисел больше то, у которого модуль меньше. Поскольку $|-3,5| < |-4,2|$, то $-3,5 > -4,2$. Следовательно, большее из чисел равно -3,5.

Чтобы узнать, на сколько произведение (14,7) больше этого числа, нужно из произведения вычесть это число:

$14,7 - (-3,5) = 14,7 + 3,5 = 18,2$.

Ответ: 18,2.

2) их суммы?

Сначала найдем сумму чисел -4,2 и -3,5:

$(-4,2) + (-3,5) = -(4,2 + 3,5) = -7,7$.

Теперь найдем, на сколько произведение (14,7) больше их суммы (-7,7). для этого вычтем из произведения их сумму:

$14,7 - (-7,7) = 14,7 + 7,7 = 22,4$.

Ответ: 22,4.

1188. Представьте в виде суммы двух дробей с числителем 1 дробь:

1) $\frac{5}{6}$;

2) $\frac{7}{12}$;

3) $\frac{9}{20}$;

4) $\frac{4}{9}$,

5) $\frac{1}{2}$.

1)

Чтобы представить дробь $\frac{5}{6}$ в виде суммы двух дробей с числителем 1, представим её числитель (5) в виде суммы двух слагаемых, которые являются делителями знаменателя (6).
Делителями числа 6 являются 1, 2, 3, 6.
Мы можем представить 5 как сумму делителей: $5 = 2 + 3$.
Теперь разложим дробь:
$\frac{5}{6} = \frac{2+3}{6} = \frac{2}{6} + \frac{3}{6} = \frac{1}{3} + \frac{1}{2}$.
Ответ: $\frac{1}{2} + \frac{1}{3}$.

2)

Представим числитель (7) в виде суммы двух слагаемых, которые являются делителями знаменателя (12).
Делителями числа 12 являются 1, 2, 3, 4, 6, 12.
Мы можем представить 7 как сумму делителей: $7 = 3 + 4$.
Теперь разложим дробь:
$\frac{7}{12} = \frac{3+4}{12} = \frac{3}{12} + \frac{4}{12} = \frac{1}{4} + \frac{1}{3}$.
Ответ: $\frac{1}{3} + \frac{1}{4}$.

3)

Представим числитель (9) в виде суммы двух слагаемых, которые являются делителями знаменателя (20).
Делителями числа 20 являются 1, 2, 4, 5, 10, 20.
Мы можем представить 9 как сумму делителей: $9 = 4 + 5$.
Теперь разложим дробь:
$\frac{9}{20} = \frac{4+5}{20} = \frac{4}{20} + \frac{5}{20} = \frac{1}{5} + \frac{1}{4}$.
Ответ: $\frac{1}{4} + \frac{1}{5}$.

4)

Представим числитель (4) в виде суммы двух слагаемых, которые являются делителями знаменателя (9).
Делителями числа 9 являются 1, 3, 9.
Мы можем представить 4 как сумму делителей: $4 = 1 + 3$.
Теперь разложим дробь:
$\frac{4}{9} = \frac{1+3}{9} = \frac{1}{9} + \frac{3}{9} = \frac{1}{9} + \frac{1}{3}$.
Ответ: $\frac{1}{3} + \frac{1}{9}$.

5)

Чтобы представить дробь $\frac{1}{2}$ (единичную дробь) в виде суммы двух других единичных дробей, можно воспользоваться тождеством: $\frac{1}{n} = \frac{1}{n+1} + \frac{1}{n(n+1)}$.
Подставим в это тождество $n=2$:
$\frac{1}{2} = \frac{1}{2+1} + \frac{1}{2(2+1)} = \frac{1}{3} + \frac{1}{6}$.
Ответ: $\frac{1}{3} + \frac{1}{6}$.

1189. Оптовая цена коробки конфет – 260 р. Розничная цена в магазине на 30 % выше оптовой. Какое наибольшее количество таких коробок можно купить в магазине, располагая 5000 р.?

Первым шагом определим розничную цену коробки конфет. По условию, она на 30% выше оптовой цены, которая составляет 260 рублей.

1. Найдём, на сколько рублей розничная цена выше оптовой. Для этого вычислим 30% от 260 рублей.
$260 \cdot \frac{30}{100} = 260 \cdot 0.3 = 78$ рублей.

2. Теперь найдём розничную цену, прибавив полученную наценку к оптовой цене.
$260 + 78 = 338$ рублей.
Итак, розничная цена одной коробки конфет составляет 338 рублей.

Вторым шагом определим, какое наибольшее количество коробок можно купить, имея 5000 рублей. Для этого разделим общую сумму денег на цену одной коробки.
$5000 \div 338$

Выполним деление с остатком:
$5000 = 14 \cdot 338 + 268$
Результат деления показывает, что можно купить 14 целых коробок, и останется 268 рублей сдачи. На покупку 15-й коробки денег не хватит, так как ее стоимость (338 рублей) больше остатка.
Проверим:
Стоимость 14 коробок: $14 \cdot 338 = 4732$ рубля (меньше 5000 р.).
Стоимость 15 коробок: $15 \cdot 338 = 5070$ рублей (больше 5000 р.).

Следовательно, наибольшее количество коробок, которое можно купить, — 14.

Ответ: 14