Страница 243 - гдз по математике 6 класс учебник Мерзляк, Полонский

1172. Вычислите удобным способом:

1) $0,2 \cdot 16,7 \cdot 5$;

2) $0,25 \cdot 42,6 \cdot 4$.

1) Для вычисления произведения $0,2 \cdot 16,7 \cdot 5$ удобным способом воспользуемся переместительным и сочетательным свойствами умножения. Сгруппируем множители $0,2$ и $5$, так как их произведение легко вычислить.
$0,2 \cdot 16,7 \cdot 5 = (0,2 \cdot 5) \cdot 16,7$
Вычислим произведение в скобках:
$0,2 \cdot 5 = 1$
Теперь умножим полученный результат на оставшийся множитель:
$1 \cdot 16,7 = 16,7$
Ответ: $16,7$.

2) Аналогично, в выражении $0,25 \cdot 42,6 \cdot 4$ удобно сгруппировать множители $0,25$ и $4$, так как их произведение также является целым числом, равным единице.
$0,25 \cdot 42,6 \cdot 4 = (0,25 \cdot 4) \cdot 42,6$
Вычислим произведение в скобках:
$0,25 \cdot 4 = 1$
Теперь умножим результат на $42,6$:
$1 \cdot 42,6 = 42,6$
Ответ: $42,6$.

1173. Упростите выражение:

1) $0,6a \cdot 0,2b$;

2) $0,5m \cdot 9n$;

3) $\frac{4}{5}m \cdot \frac{5}{16}n$;

4) $\frac{4}{9}x \cdot 1\frac{1}{8}y$.

1) $0,6a \cdot 0,2b$

Чтобы упростить данное выражение, необходимо перемножить числовые коэффициенты и переменные отдельно, используя сочетательное и переместительное свойства умножения.

Выполним умножение числовых коэффициентов: $0,6 \cdot 0,2 = 0,12$.

Умножим переменные: $a \cdot b = ab$.

Объединим результаты: $0,6a \cdot 0,2b = (0,6 \cdot 0,2) \cdot (a \cdot b) = 0,12ab$.

Ответ: $0,12ab$

2) $0,5m \cdot 9n$

Аналогично предыдущему пункту, перемножим числовые коэффициенты и переменные.

Умножение коэффициентов: $0,5 \cdot 9 = 4,5$.

Умножение переменных: $m \cdot n = mn$.

Соединяем полученные части: $0,5m \cdot 9n = (0,5 \cdot 9) \cdot (m \cdot n) = 4,5mn$.

Ответ: $4,5mn$

3) $\frac{4}{5}m \cdot \frac{5}{16}n$

Для упрощения этого выражения перемножим дроби, которые являются коэффициентами, и отдельно переменные.

Умножение коэффициентов: $\frac{4}{5} \cdot \frac{5}{16} = \frac{4 \cdot 5}{5 \cdot 16}$.

Сократим дробь: можно сократить 5 в числителе и знаменателе. Также можно сократить 4 и 16 на 4. Получаем $\frac{1}{4}$.

$\frac{4 \cdot 5}{5 \cdot 16} = \frac{4}{16} = \frac{1}{4}$.

Умножение переменных: $m \cdot n = mn$.

Объединив, получаем: $\frac{1}{4}mn$.

Ответ: $\frac{1}{4}mn$

4) $\frac{4}{9}x \cdot 1\frac{1}{8}y$

Сначала необходимо преобразовать смешанное число $1\frac{1}{8}$ в неправильную дробь.

$1\frac{1}{8} = \frac{1 \cdot 8 + 1}{8} = \frac{9}{8}$.

Теперь выражение выглядит так: $\frac{4}{9}x \cdot \frac{9}{8}y$.

Перемножим числовые коэффициенты: $\frac{4}{9} \cdot \frac{9}{8} = \frac{4 \cdot 9}{9 \cdot 8}$.

Сократим дробь: 9 в числителе и знаменателе сокращаются. 4 и 8 сокращаются на 4. Получаем $\frac{1}{2}$.

$\frac{4 \cdot 9}{9 \cdot 8} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}$.

Перемножим переменные: $x \cdot y = xy$.

Результат упрощения: $\frac{1}{2}xy$.

Ответ: $\frac{1}{2}xy$

1174. В Российской Премьер-Лиге выступают 16 футбольных команд. Докажите, что в любой момент чемпионата есть две команды, сыгравшие одинаковое количество матчей. (Команды, не сыгравшие ни одного матча, считают сыгравшими одинаковое количество матчей.)

Для решения этой задачи используется принцип Дирихле.

В Российской Премьер-Лиге выступают $16$ команд. Каждая команда может сыграть матчи с остальными $15$ командами. Таким образом, количество матчей, сыгранных одной командой в любой момент чемпионата, может быть любым целым числом от $0$ (если команда еще не играла) до $15$ (если команда уже сыграла со всеми).

Рассмотрим количество сыгранных матчей каждой из $16$ команд. Допустим, от противного, что все $16$ команд сыграли разное количество матчей.

Возможные значения для количества сыгранных матчей — это целые числа из множества $\{0, 1, 2, \dots, 15\}$. В этом множестве ровно $16$ различных значений. Если наше предположение верно, то для каждой команды количество сыгранных матчей уникально, а это значит, что в лиге должны быть команды, сыгравшие $0$ матчей, $1$ матч, $2$ матча, ..., и, наконец, $15$ матчей — то есть, реализованы все возможные варианты.

Однако такая ситуация невозможна. Проанализируем ее:

1. Если в лиге есть команда, сыгравшая $15$ матчей, это означает, что она сыграла со всеми остальными $15$ командами.

2. Если в лиге есть команда, сыгравшая $0$ матчей, это означает, что она не играла ни с кем.

Эти два утверждения не могут быть верны одновременно. Если команда А сыграла $15$ матчей (со всеми), то она должна была сыграть и с командой Б, которая, по нашему предположению, сыграла $0$ матчей. Но если они сыграли друг с другом, то команда Б уже не могла сыграть $0$ матчей, она сыграла как минимум один.

Мы пришли к противоречию. Следовательно, наше первоначальное предположение о том, что все $16$ команд могли сыграть разное количество матчей, неверно.

Это означает, что по крайней мере две команды из $16$ должны иметь одинаковое количество сыгранных матчей.

Ответ: Утверждение доказано. В любой момент чемпионата не могут одновременно существовать команда, сыгравшая со всеми ($15$ матчей), и команда, не сыгравшая ни с кем ($0$ матчей). Поэтому из $16$ возможных значений количества матчей (от $0$ до $15$) в один момент времени могут быть представлены не более $15$ различных значений. Так как команд $16$, а возможных различных значений для количества сыгранных ими матчей не более $15$, по принципу Дирихле найдутся как минимум две команды с одинаковым числом сыгранных матчей.