Страница 242 - гдз по математике 6 класс учебник Мерзляк, Полонский

1163. Решите уравнение:

1) $(x - 21)(x + 12,4) = 0$;

2) $x(x + 9,4)(x - 6,5) = 0$.

1)

Для решения уравнения $(x - 21)(x + 12,4) = 0$ используется свойство, согласно которому произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из сомножителей равен нулю.

Это означает, что мы можем разбить исходное уравнение на два независимых:

$x - 21 = 0$ или $x + 12,4 = 0$

Теперь решим каждое из этих простых линейных уравнений.

Из первого уравнения получаем:

$x - 21 = 0$

$x_1 = 21$

Из второго уравнения получаем:

$x + 12,4 = 0$

$x_2 = -12,4$

Таким образом, уравнение имеет два корня.

Ответ: $21$; $-12,4$.

2)

Уравнение $x(x + 9,4)(x - 6,5) = 0$ решается аналогичным образом. Произведение трех множителей равно нулю, если хотя бы один из них равен нулю.

Приравняем каждый множитель к нулю:

$x = 0$

или

$x + 9,4 = 0$

или

$x - 6,5 = 0$

Решим каждое из этих уравнений, чтобы найти все корни.

Первый корень уже известен:

$x_1 = 0$

Находим второй корень из второго уравнения:

$x + 9,4 = 0$

$x_2 = -9,4$

Находим третий корень из третьего уравнения:

$x - 6,5 = 0$

$x_3 = 6,5$

Таким образом, уравнение имеет три корня.

Ответ: $0$; $-9,4$; $6,5$.

1164. Решите уравнение:

1) $(x+1)(x-2)=0;$

2) $(x+1,2)(x+5)(x-10)=0.$

1) $(x + 1)(x - 2) = 0$

Данное уравнение представляет собой произведение двух множителей, равное нулю. Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Следовательно, мы можем разбить это уравнение на два более простых:

$x + 1 = 0$ или $x - 2 = 0$.

Решим каждое из этих уравнений отдельно.

Из первого уравнения получаем:

$x = -1$

Из второго уравнения получаем:

$x = 2$

Таким образом, корнями исходного уравнения являются числа $-1$ и $2$.

Ответ: $-1$; $2$.

2) $(x + 1,2)(x + 5)(x - 10) = 0$

Это уравнение также основано на свойстве произведения, равного нулю. Здесь у нас три множителя. Уравнение будет верным, если хотя бы один из этих множителей равен нулю. Приравняем каждый множитель к нулю:

$x + 1,2 = 0$ или $x + 5 = 0$ или $x - 10 = 0$.

Решим каждое из этих линейных уравнений.

Из первого уравнения:

$x = -1,2$

Из второго уравнения:

$x = -5$

Из третьего уравнения:

$x = 10$

Следовательно, исходное уравнение имеет три корня: $-1,2$, $-5$ и $10$.

Ответ: $-5$; $-1,2$; $10$.

1165. Найдите наименьшее значение выражения:

1) $x^2 - 8$;

2) $7 + x^2$.

При каком значении x выражение принимает наименьшее значение?

1) Рассмотрим выражение $x^2 - 8$.
Поскольку квадрат любого действительного числа $x$ является неотрицательной величиной, то есть $x^2 \ge 0$, его наименьшее значение равно 0.
Это наименьшее значение достигается при $x = 0$.
Чтобы найти наименьшее значение всего выражения $x^2 - 8$, мы должны подставить наименьшее возможное значение для $x^2$.
Наименьшее значение выражения равно $0 - 8 = -8$.
Ответ: наименьшее значение выражения равно -8 и достигается при $x=0$.

2) Рассмотрим выражение $7 + x^2$.
Аналогично, наименьшее значение слагаемого $x^2$ равно 0, и оно достигается при $x=0$.
Чтобы найти наименьшее значение всего выражения $7 + x^2$, мы должны к 7 прибавить наименьшее возможное значение $x^2$.
Наименьшее значение выражения равно $7 + 0 = 7$.
Ответ: наименьшее значение выражения равно 7 и достигается при $x=0$.

1166. Найдите наибольшее значение выражения:

1) $4 - x^2$;

2) $-x^2 + 10$.

При каком значении x выражение принимает наибольшее значение?

1) $4 - x^2$

Чтобы найти наибольшее значение выражения $4 - x^2$, нужно проанализировать его структуру. Выражение $x^2$ (квадрат любого действительного числа) всегда неотрицательно, то есть $x^2 \ge 0$.

Выражение $4 - x^2$ представляет собой разность, где из постоянного числа 4 вычитается неотрицательное число $x^2$. Чтобы эта разность была максимальной, вычитаемое ($x^2$) должно быть минимальным.

Наименьшее возможное значение для $x^2$ равно 0. Это значение достигается, когда $x = 0$.

Подставим $x = 0$ в исходное выражение, чтобы найти его наибольшее значение: $4 - 0^2 = 4 - 0 = 4$.

Таким образом, наибольшее значение выражения равно 4, и оно достигается при $x=0$.

Ответ: наибольшее значение выражения равно 4 при $x=0$.

2) $-x^2 + 10$

Рассмотрим выражение $-x^2 + 10$. Как и в предыдущем случае, значение $x^2$ всегда неотрицательно: $x^2 \ge 0$.

Если умножить это неравенство на -1, знак неравенства изменится на противоположный: $-x^2 \le 0$. Это означает, что выражение $-x^2$ всегда неположительно (меньше или равно нулю).

Чтобы сумма $-x^2 + 10$ была максимальной, слагаемое $-x^2$ должно принимать свое наибольшее возможное значение. Наибольшее значение для $-x^2$ равно 0, и оно достигается при $x=0$.

Подставим $x=0$ в выражение: $-0^2 + 10 = 0 + 10 = 10$.

Следовательно, наибольшее значение выражения равно 10, и оно достигается при $x=0$.

Ответ: наибольшее значение выражения равно 10 при $x=0$.

1167.На координатной прямой (рис. 196) отмечено число $a$. Укажите верное утверждение:

1) $a+2>0;$

2) $6-a<0;$

3) $a+4>0;$

4) $a+6<0.$

Рис. 196

Для того чтобы определить, какое из утверждений является верным, сначала оценим значение числа a по его положению на координатной прямой.

На прямой отмечены точки 0 и 1. Расстояние между ними является единичным отрезком. Отсчитаем такие же отрезки влево от нуля:

• Первая отметка слева от 0 соответствует числу -1.
• Вторая отметка — числу -2.
• Третья отметка — числу -3.
• Четвертая отметка — числу -4.

Точка a находится между отметками -3 и -4. Следовательно, для числа a справедливо двойное неравенство: $-4 < a < -3$.

Теперь, используя это неравенство, проверим каждое утверждение.

1) $a + 2 > 0$

Это неравенство равносильно неравенству $a > -2$. Поскольку мы установили, что $a < -3$, то число a не может быть больше -2. Таким образом, это утверждение неверно.

2) $6 - a < 0$

Это неравенство равносильно неравенству $6 < a$. Поскольку a — отрицательное число, оно не может быть больше положительного числа 6. Таким образом, это утверждение неверно.

3) $a + 4 > 0$

Это неравенство равносильно неравенству $a > -4$. Из нашего первоначального анализа мы знаем, что $-4 < a$. Это соответствует тому, что точка a на рисунке расположена правее отметки -4. Таким образом, это утверждение верно.

4) $a + 6 < 0$

Это неравенство равносильно неравенству $a < -6$. Поскольку мы знаем, что $a > -4$, то число a не может быть меньше -6. Таким образом, это утверждение неверно.

Единственное верное утверждение — третье.

Ответ: 3

1168.Во сколько раз:

1) $\frac{1}{48}$ положительного числа меньше, чем $\frac{1}{6}$ этого числа;

2) $\frac{5}{6}$ положительного числа больше, чем 60 % этого числа?

1)

Чтобы определить, во сколько раз одна величина меньше другой, необходимо большую величину разделить на меньшую.
Пусть $x$ – это произвольное положительное число.
Тогда первая величина – это $\frac{1}{48}$ этого числа, то есть $\frac{1}{48}x$.
Вторая величина – это $\frac{1}{6}$ этого числа, то есть $\frac{1}{6}x$.
Сравним дроби $\frac{1}{48}$ и $\frac{1}{6}$. Приведем дробь $\frac{1}{6}$ к знаменателю 48:
$ \frac{1}{6} = \frac{1 \cdot 8}{6 \cdot 8} = \frac{8}{48} $
Поскольку $\frac{1}{48} < \frac{8}{48}$, то и $\frac{1}{48}x < \frac{1}{6}x$.
Теперь разделим большую величину на меньшую:
$ \frac{\frac{1}{6}x}{\frac{1}{48}x} = \frac{1}{6} : \frac{1}{48} = \frac{1}{6} \cdot \frac{48}{1} = \frac{48}{6} = 8 $
Следовательно, $\frac{1}{48}$ положительного числа в 8 раз меньше, чем $\frac{1}{6}$ этого числа.
Ответ: в 8 раз.

2)

Чтобы определить, во сколько раз одна величина больше другой, необходимо большую величину разделить на меньшую.
Пусть $x$ – это произвольное положительное число.
Первая величина – это $\frac{5}{6}$ этого числа, то есть $\frac{5}{6}x$.
Вторая величина – это 60% этого числа. Переведем проценты в обыкновенную дробь:
$ 60\% = \frac{60}{100} = \frac{6}{10} = \frac{3}{5} $
Значит, вторая величина равна $\frac{3}{5}x$.
Сравним дроби $\frac{5}{6}$ и $\frac{3}{5}$. Приведем их к общему знаменателю 30:
$ \frac{5}{6} = \frac{5 \cdot 5}{6 \cdot 5} = \frac{25}{30} $
$ \frac{3}{5} = \frac{3 \cdot 6}{5 \cdot 6} = \frac{18}{30} $
Поскольку $\frac{25}{30} > \frac{18}{30}$, то и $\frac{5}{6}x > \frac{3}{5}x$.
Теперь разделим большую величину на меньшую:
$ \frac{\frac{5}{6}x}{\frac{3}{5}x} = \frac{5}{6} : \frac{3}{5} = \frac{5}{6} \cdot \frac{5}{3} = \frac{25}{18} = 1\frac{7}{18} $
Следовательно, $\frac{5}{6}$ положительного числа в $1\frac{7}{18}$ раза больше, чем 60% этого числа.
Ответ: в $1\frac{7}{18}$ раз.

1169. За время, нужное Пончику, чтобы съесть шесть пирожков, Сладкоежка съедает 60 ватрушек. Лакомка съедает полгоршочка мёда за время, нужное Сладкоежке, чтобы съесть 20 ватрушек. Сколько пирожков съест Пончик за время, необходимое Лакомке, чтобы съесть горшочек мёда?

Для решения этой задачи необходимо последовательно сопоставить производительность (скорость поедания) каждого персонажа.

1. Соотношение между Пончиком и Сладкоежкой

По условию, за то время, пока Пончик съедает 6 пирожков, Сладкоежка съедает 60 ватрушек. Это позволяет нам установить эквивалентность по времени. Чтобы узнать, сколько ватрушек приходится на один пирожок, разделим количество ватрушек на количество пирожков:

$$ \frac{60 \text{ ватрушек}}{6 \text{ пирожков}} = 10 \text{ ватрушек/пирожок} $$

Это означает, что время, за которое Пончик съедает 1 пирожок, равно времени, за которое Сладкоежка съедает 10 ватрушек.

2. Соотношение между Лакомкой и Сладкоежкой

Известно, что Лакомка съедает полгоршочка (0,5 горшочка) мёда за то же время, что Сладкоежка съедает 20 ватрушек. Нам нужно узнать, сколько времени требуется Лакомке, чтобы съесть целый горшочек мёда. Это время будет в два раза больше, чем время на полгоршочка. Соответственно, за это же время Сладкоежка съест в два раза больше ватрушек:

$$ 20 \text{ ватрушек} \times 2 = 40 \text{ ватрушек} $$

Таким образом, время, за которое Лакомка съедает 1 горшочек мёда, равно времени, за которое Сладкоежка съедает 40 ватрушек.

3. Расчет количества пирожков для Пончика

Основной вопрос задачи: сколько пирожков съест Пончик за время, необходимое Лакомке, чтобы съесть 1 горшочек мёда?

Из пункта 2 мы выяснили, что это время эквивалентно времени, за которое Сладкоежка съедает 40 ватрушек.

Из пункта 1 мы знаем, что за время поедания 10 ватрушек Пончик съедает 1 пирожок. Чтобы найти, сколько пирожков он съест за время поедания 40 ватрушек, нужно разделить общее количество ватрушек на "эквивалент" одного пирожка:

$$ \frac{40 \text{ ватрушек}}{10 \text{ ватрушек}} = 4 $$

Следовательно, за то время, пока Лакомка будет есть горшочек мёда, Пончик съест 4 пирожка.

Ответ: 4 пирожка.

1170. За время, нужное бабушке, чтобы связать шесть носков, Ира успевает связать $\frac{2}{3}$ носка. Сколько носков успеет связать бабушка за время, необходимое Ире, чтобы связать один носок?

Для решения этой задачи определим соотношение скоростей вязания бабушки и Иры.

Из условия известно, что за одно и то же время бабушка вяжет 6 носков, а Ира — $\frac{2}{3}$ носка. Это можно записать как соотношение:
6 носков (бабушка) $\leftrightarrow$ $\frac{2}{3}$ носка (Ира).

Мы хотим узнать, сколько носков свяжет бабушка за время, которое требуется Ире для вязания одного целого носка. Для этого найдем, во сколько раз бабушка вяжет быстрее Иры.

Соотношение их скоростей равно соотношению количества связанных носков за одинаковое время:
$\frac{\text{Скорость бабушки}}{\text{Скорость Иры}} = \frac{6}{\frac{2}{3}} = 6 \div \frac{2}{3} = 6 \cdot \frac{3}{2} = \frac{18}{2} = 9$.
Это означает, что бабушка вяжет в 9 раз быстрее Иры.

Следовательно, за то время, пока Ира свяжет 1 носок, бабушка успеет связать в 9 раз больше, то есть $1 \cdot 9 = 9$ носков.

Ответ: 9 носков.

1171. Угол $\angle ABC$ – прямой, луч BM проведен так, что $\angle MBC = 120^\circ$, луч BK – биссектриса угла $\angle ABC$. Вычислите градусную меру угла $\angle MBK$. Сколько решений имеет задача?

По условию задачи дано, что угол $ABC$ — прямой, следовательно, его градусная мера равна $90°$.

Луч BK является биссектрисой угла $ABC$. Это означает, что он делит угол $ABC$ на два равных угла:

$∠ABK = ∠KBC = \frac{∠ABC}{2} = \frac{90°}{2} = 45°$.

Положение луча BM относительно лучей BA и BC может быть разным. Это приводит к двум возможным случаям решения задачи.

В этом случае угол $MBK$ будет состоять из двух смежных углов: $∠MBC$ и $∠KBC$. Чтобы найти его градусную меру, нужно сложить градусные меры этих углов.

$∠MBK = ∠MBC + ∠KBC$

$∠MBK = 120° + 45° = 165°$

Ответ: $165°$.

В этом случае, так как $∠MBC = 120°$ и $∠KBC = 45°$, луч BK будет находиться внутри угла $MBC$. Чтобы найти градусную меру угла $MBK$, нужно из большего угла вычесть меньший.

$∠MBK = ∠MBC - ∠KBC$

$∠MBK = 120° - 45° = 75°$

Ответ: $75°$.

Поскольку мы рассмотрели два возможных и геометрически корректных расположения луча BM, которые приводят к разным ответам, задача имеет два решения.

Ответ: 2 решения.