Страница 236 - гдз по математике 6 класс учебник Мерзляк, Полонский

1. Укажите неверное утверждение.

А) $-3$ – целое число

Б) $-3$ – неположительное число

В) $-3$ – рациональное число

Г) $-3$ – неотрицательное число

Чтобы найти неверное утверждение, необходимо последовательно проанализировать каждый из предложенных вариантов, касающихся числа $-3$.

А) $-3$ – целое число

Множество целых чисел ($Z$) состоит из натуральных чисел ($1, 2, 3, \dots$), чисел, им противоположных ($-1, -2, -3, \dots$), и нуля. Число $-3$ является целым, так как оно противоположно натуральному числу 3. Следовательно, это утверждение является верным.

Б) $-3$ – неположительное число

Неположительными числами называются все числа, которые меньше или равны нулю, то есть удовлетворяют условию $x \le 0$. Так как $-3 < 0$, число $-3$ является неположительным. Следовательно, это утверждение является верным.

В) $-3$ – рациональное число

Рациональными числами ($Q$) называются все числа, которые можно представить в виде дроби $p/q$, где $p$ – целое число, а $q$ – натуральное число. Число $-3$ можно представить в виде дроби, например, $-3/1$. Следовательно, это утверждение является верным.

Г) $-3$ – неотрицательное число

Неотрицательными числами называются все числа, которые больше или равны нулю, то есть удовлетворяют условию $x \ge 0$. Число $-3$ является отрицательным, так как $-3 < 0$, и не удовлетворяет этому условию. Следовательно, это утверждение является неверным.

Таким образом, единственное неверное утверждение из предложенных – это Г.

Ответ: Г.

2. Какое из чисел имеет наименьший модуль?

А) $0$

Б) $-2$

В) $4$

Г) $-6$

Модуль числа (или абсолютная величина) — это расстояние от начала отсчета (нуля) до точки, обозначающей это число на координатной прямой. Модуль всегда является неотрицательным числом. Модуль числа $x$ обозначается как $|x|$.

Чтобы определить, какое из предложенных чисел имеет наименьший модуль, необходимо вычислить модуль каждого числа и сравнить полученные значения.

А) 0
Найдем модуль числа 0.
$|0| = 0$

Б) -2
Найдем модуль числа -2. Модуль отрицательного числа равен противоположному ему положительному числу.
$|-2| = 2$

В) 4
Найдем модуль числа 4. Модуль положительного числа равен самому числу.
$|4| = 4$

Г) -6
Найдем модуль числа -6.
$|-6| = 6$

Теперь сравним полученные значения модулей: 0, 2, 4, 6.
$0 < 2 < 4 < 6$
Наименьшим значением является 0, которое соответствует модулю числа 0.

Ответ: А) 0

3. Число $a$ меньше своего модуля. Какое из данных утверждений верно?

А) $a$ – неотрицательное число

Б) $a$ – положительное число

В) $a = 0$

Г) $a$ – отрицательное число

По условию задачи, число a меньше своего модуля. Запишем это в виде неравенства: $a < |a|$.

Чтобы определить, какое из утверждений верно, проанализируем это неравенство, используя определение модуля (абсолютной величины):

$$ |a| = \begin{cases} a, & \text{если } a \ge 0 \\ -a, & \text{если } a < 0 \end{cases} $$

Рассмотрим предложенные варианты ответов:

А) a – неотрицательное число

Неотрицательное число означает, что $a \ge 0$. В этом случае, согласно определению, $|a| = a$. Подставим это в исходное неравенство: $a < a$. Это неравенство ложно. Следовательно, a не может быть неотрицательным числом. Утверждение А неверно.

Б) a – положительное число

Положительное число — это частный случай неотрицательного числа ($a > 0$). Как мы уже показали в пункте А, для таких чисел неравенство $a < |a|$ превращается в $a < a$, что ложно. Утверждение Б неверно.

В) a = 0

Ноль — это также частный случай неотрицательного числа. Если $a = 0$, то $|a| = 0$. Неравенство $a < |a|$ принимает вид $0 < 0$, что ложно. Утверждение В неверно.

Г) a – отрицательное число

Если a — отрицательное число, то есть $a < 0$. Согласно определению, для отрицательных чисел $|a| = -a$. Подставим это в исходное неравенство: $a < -a$.
Поскольку $a < 0$, то число $-a$ будет положительным. Любое отрицательное число всегда меньше любого положительного. Таким образом, неравенство $a < -a$ всегда истинно для любого $a < 0$.
Следовательно, утверждение Г верно.

Ответ: Г.

4. Укажите пару противоположных чисел.

А) $2 \text{ и } \frac{1}{2}$

Б) $2 \text{ и } 0,2$

В) $2 \text{ и } -2$

Г) $2 \text{ и } -\frac{1}{2}$

Противоположными числами называют два числа, которые отличаются друг от друга только знаком. Это означает, что они имеют одинаковый модуль (абсолютную величину), но разные знаки. Сумма противоположных чисел всегда равна нулю.

Проанализируем каждую предложенную пару:

А) 2 и $ \frac{1}{2} $
Эти числа не являются противоположными. Они оба положительные, и их модули различны: $|2|=2$, а $|\frac{1}{2}|=0,5$. Эти числа являются взаимно обратными, так как их произведение равно 1.

Б) 2 и 0,2
Эти числа не являются противоположными. Они оба положительные, и их модули различны: $|2| \neq |0,2|$.

В) 2 и -2
Эти числа имеют одинаковые модули: $|2|=2$ и $|-2|=2$. Знаки у них разные (положительное и отрицательное). Их сумма равна нулю: $2+(-2)=0$. Следовательно, это пара противоположных чисел.

Г) 2 и $-\frac{1}{2}$
Эти числа имеют разные знаки, но их модули не равны: $|2| \neq |-\frac{1}{2}|$. Следовательно, они не являются противоположными.

Ответ: В

5. Чему равно значение выражения $|-7| + |7|$?

А) -14

Б) 14

В) 0

Г) 7

Для того чтобы найти значение выражения $|-7| + |7|$, необходимо вычислить модуль каждого числа, а затем сложить полученные результаты.

Модуль (или абсолютная величина) числа — это его значение без учёта знака. Геометрически модуль числа — это расстояние от этого числа до нуля на координатной прямой. Поэтому модуль любого числа является неотрицательным.

1. Найдём модуль числа -7. Модуль отрицательного числа равен противоположному ему положительному числу.
$|-7| = 7$

2. Найдём модуль числа 7. Модуль положительного числа равен самому этому числу.
$|7| = 7$

3. Теперь выполним сложение полученных значений:
$|-7| + |7| = 7 + 7 = 14$

Значение выражения равно 14, что соответствует варианту Б).
Ответ: 14

6. Укажите верное неравенство.

А) $4.1 < -4.8$

Б) $-2.5 < -3$

В) $10 > -2.2$

Г) $-7.6 > +7.2$

Для того чтобы найти верное неравенство, необходимо поочередно проверить каждое из предложенных утверждений.

А) $4,1 < -4,8$

Это неравенство неверно. Любое положительное число (в данном случае $4,1$) всегда больше любого отрицательного числа ($-4,8$). Правильное соотношение: $4,1 > -4,8$.

Б) $-2,5 < -3$

Это неравенство неверно. Из двух отрицательных чисел больше то, модуль которого меньше. Так как $|-2,5| = 2,5$ и $|-3| = 3$, а $2,5 < 3$, то правильное соотношение: $-2,5 > -3$. На числовой оси точка $-2,5$ находится правее точки $-3$.

В) $10 > -2,2$

Это неравенство верно. Положительное число $10$ всегда больше отрицательного числа $-2,2$.

Г) $-7,6 > -7,2$

Это неравенство неверно. Из двух отрицательных чисел больше то, модуль которого меньше. Так как $|-7,6| = 7,6$ и $|-7,2| = 7,2$, а $7,6 > 7,2$, то правильное соотношение: $-7,6 < -7,2$.

Таким образом, единственное верное неравенство указано в варианте В.

Ответ: В

7. Решите уравнение $|x| = -5.$

А) $-5; 5$

Б) $5$

В) $-5$

Г) корней нет

Данное уравнение: $|x| = -5$.

Анализ уравнения

По определению, модуль (или абсолютное значение) числа $x$, обозначаемый как $|x|$, — это расстояние от начала координат до точки, изображающей это число на координатной прямой. Расстояние не может быть отрицательным, поэтому значение модуля любого числа всегда неотрицательно.

Это означает, что для любого действительного числа $x$ выполняется неравенство: $ |x| \ge 0 $.

В уравнении $|x| = -5$ левая часть, $|x|$, по определению не может быть отрицательной. Правая часть уравнения равна -5, что является отрицательным числом.

Таким образом, мы получаем противоречие: неотрицательное число не может быть равно отрицательному числу. Следовательно, не существует такого значения $x$, при котором данное равенство было бы верным.

Вывод

Уравнение не имеет решений (корней).

Ответ: Г) корней нет

8. Чему равна сумма чисел –4,1 и 1,6?

А) –5,7

Б) –2,5

В) 5,7

Г) 2,5

Чтобы найти сумму чисел $-4,1$ и $1,6$, необходимо выполнить их сложение. Так как числа имеют разные знаки (одно отрицательное, другое положительное), для нахождения их суммы нужно из модуля большего числа вычесть модуль меньшего и перед полученным результатом поставить знак того числа, модуль которого был больше.

1. Найдем модули (абсолютные величины) данных чисел:

$|-4,1| = 4,1$

$|1,6| = 1,6$

2. Сравним модули: $4,1 > 1,6$. Значит, знак результата будет такой же, как у числа $-4,1$, то есть минус.

3. Вычтем из большего модуля меньший:

$4,1 - 1,6 = 2,5$

4. Поставим перед результатом знак минус:

$-4,1 + 1,6 = -2,5$

Таким образом, сумма чисел $-4,1$ и $1,6$ равна $-2,5$. Этот вариант соответствует букве Б).

Ответ: Б) –2,5

9. Чему равна разность чисел $ -7,2 $ и $ -9,3 $?

А) $ -16,5 $

Б) $ 16,5 $

В) $ 2,1 $

Г) $ -2,1 $

Чтобы найти разность чисел $-7,2$ и $-9,3$, необходимо из первого числа (уменьшаемого) вычесть второе (вычитаемое). Запишем это действие в виде выражения:

$(-7,2) - (-9,3)$

Согласно правилу вычитания, вычесть число — это то же самое, что прибавить число, ему противоположное. Противоположным числу $-9,3$ является число $9,3$. Таким образом, наше выражение можно переписать в виде суммы:

$-7,2 + 9,3$

Для удобства вычисления поменяем слагаемые местами, так как от перемены мест слагаемых сумма не меняется:

$9,3 + (-7,2) = 9,3 - 7,2$

Теперь выполним вычитание:

$9,3 - 7,2 = 2,1$

Результат равен $2,1$. Этот результат соответствует варианту ответа В).

Ответ: В) 2,1

10. Чему равно значение выражения $5 \frac{7}{8} + \left(-3 \frac{5}{12}\right) - \left(-1 \frac{7}{16}\right)$?

А) $8 \frac{41}{48}$

Б) $3 \frac{43}{48}$

В) $2 \frac{1}{48}$

Г) $3 \frac{1}{48}$

Для того чтобы найти значение данного выражения, выполним действия по шагам.

Исходное выражение:

$5\frac{7}{8} + (-3\frac{5}{12}) - (-1\frac{7}{16})$

1. Раскрытие скобок

Сначала упростим выражение, раскрыв скобки. Прибавление отрицательного числа равносильно вычитанию, а вычитание отрицательного числа — прибавлению:

$5\frac{7}{8} - 3\frac{5}{12} + 1\frac{7}{16}$

2. Действия с целыми частями

Сложим и вычтем целые части смешанных чисел:

$5 - 3 + 1 = 2 + 1 = 3$

3. Действия с дробными частями

Теперь выполним действия с дробными частями:

$\frac{7}{8} - \frac{5}{12} + \frac{7}{16}$

Чтобы сложить и вычесть дроби с разными знаменателями, их нужно привести к общему знаменателю. Найдем наименьшее общее кратное (НОК) для знаменателей 8, 12 и 16.

Разложим числа на простые множители:

$8 = 2 \cdot 2 \cdot 2 = 2^3$

$12 = 2 \cdot 2 \cdot 3 = 2^2 \cdot 3$

$16 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 2^4$

НОК(8, 12, 16) = $2^4 \cdot 3 = 16 \cdot 3 = 48$.

Теперь приведем каждую дробь к знаменателю 48:

$\frac{7}{8} = \frac{7 \cdot 6}{8 \cdot 6} = \frac{42}{48}$

$\frac{5}{12} = \frac{5 \cdot 4}{12 \cdot 4} = \frac{20}{48}$

$\frac{7}{16} = \frac{7 \cdot 3}{16 \cdot 3} = \frac{21}{48}$

Подставим полученные дроби в выражение:

$\frac{42}{48} - \frac{20}{48} + \frac{21}{48} = \frac{42 - 20 + 21}{48} = \frac{22 + 21}{48} = \frac{43}{48}$

4. Объединение результатов

Сложим результат вычисления целых частей и результат вычисления дробных частей:

$3 + \frac{43}{48} = 3\frac{43}{48}$

Полученный результат соответствует варианту ответа Б).

Ответ: $3\frac{43}{48}$

11. Сравните числа $-a$ и $b$, если числа $a$ и $b$ – отрицательные.

А) $ -a > b $

В) $ -a < b $

Б) $ -a = b $

Г) сравнить невозможно

По условию задачи, числа $a$ и $b$ являются отрицательными. Это можно записать в виде неравенств:

$a < 0$

$b < 0$

Нам необходимо сравнить число $-a$ с числом $b$.

Для начала определим знак числа $-a$. Поскольку $a$ — это отрицательное число ($a < 0$), то число $-a$, являющееся ему противоположным, будет положительным. Это можно показать, умножив неравенство $a < 0$ на $-1$. При умножении обеих частей неравенства на отрицательное число, знак неравенства меняется на противоположный:

$a < 0 \quad | \cdot (-1)$

$(-1) \cdot a > (-1) \cdot 0$

$-a > 0$

Итак, мы установили, что число $-a$ — положительное.

Теперь мы можем сравнить числа $-a$ и $b$. Нам известно, что:

1. Число $-a$ является положительным ($-a > 0$).

2. Число $b$ является отрицательным ($b < 0$), согласно условию.

Любое положительное число всегда больше любого отрицательного числа. Следовательно, $-a$ больше, чем $b$.

$-a > b$

Это соответствует варианту ответа А.

Ответ: А) $-a > b$

12. Числа $a$ и $b$ таковы, что $a + b < a$. Какое из утверждений верно?

А) $b > 0$

Б) $b < 0$

В) $b = 0$

Г) $b \ge 0$

Нам дано неравенство $a + b < a$.

Чтобы определить, какое из утверждений является верным, нужно найти условие для переменной $b$. Для этого преобразуем исходное неравенство.

Вычтем из обеих частей неравенства число $a$. Согласно свойствам числовых неравенств, если из обеих частей верного неравенства вычесть одно и то же число, то знак неравенства не изменится.

$a + b - a < a - a$

После упрощения левой и правой частей получим:

$b < 0$

Таким образом, мы выяснили, что число $b$ должно быть отрицательным.

Теперь сравним этот результат с предложенными вариантами ответов:

А) $b > 0$ — неверно, так как $b$ меньше нуля.

Б) $b < 0$ — верно.

В) $b = 0$ — неверно. При $b = 0$ неравенство бы выглядело как $a < a$, что невозможно.

Г) $b \ge 0$ — неверно, так как это объединение двух неверных случаев ($b > 0$ и $b = 0$).

Следовательно, верным является утверждение под буквой Б.

Ответ: Б