Страница 229 - гдз по математике 6 класс учебник Мерзляк, Полонский

1092. Упростите выражение и найдите его значение:

1) $7,44 + a + (-3,5) + (-5,44) + (-12,5) + b$, если $a = 9,6$, $b = -5,7$;

2) $-5 \frac{9}{35} + p + 4 \frac{11}{28} + 6 \frac{2}{35} + \left(-5 \frac{18}{28}\right) + k$, если $p = -2 \frac{19}{30}$, $k = 9$.

1) Сначала упростим выражение, сгруппировав числовые слагаемые и переменные, используя переместительное и сочетательное свойства сложения.

$7,44 + a + (-3,5) + (-5,44) + (-12,5) + b = (7,44 - 5,44) + (-3,5 - 12,5) + a + b$

Выполним вычисления в скобках:

$7,44 - 5,44 = 2$

$-3,5 - 12,5 = -16$

Теперь сложим полученные результаты:

$2 + (-16) = 2 - 16 = -14$

Таким образом, упрощенное выражение имеет вид:

$a + b - 14$

Теперь подставим в него значения $a = 9,6$ и $b = -5,7$:

$9,6 + (-5,7) - 14 = 9,6 - 5,7 - 14$

Выполним вычисления по порядку:

$9,6 - 5,7 = 3,9$

$3,9 - 14 = -10,1$

Ответ: -10,1

2) Сначала упростим выражение, сгруппировав слагаемые с одинаковыми знаменателями и переменные.

$-5\frac{9}{35} + p + 4\frac{11}{28} + 6\frac{2}{35} + (-5\frac{18}{28}) + k = (-5\frac{9}{35} + 6\frac{2}{35}) + (4\frac{11}{28} - 5\frac{18}{28}) + p + k$

Вычислим значения в каждой группе:

$-5\frac{9}{35} + 6\frac{2}{35} = (6 - 5) + (\frac{2}{35} - \frac{9}{35}) = 1 - \frac{7}{35} = 1 - \frac{1}{5} = \frac{4}{5}$

$4\frac{11}{28} - 5\frac{18}{28} = -(5\frac{18}{28} - 4\frac{11}{28}) = -((5-4) + (\frac{18}{28} - \frac{11}{28})) = -(1 + \frac{7}{28}) = -(1 + \frac{1}{4}) = -1\frac{1}{4}$

Упрощенное выражение примет вид:

$\frac{4}{5} - 1\frac{1}{4} + p + k$

Найдем сумму числовых слагаемых, приведя дроби к общему знаменателю 20:

$\frac{4}{5} - 1\frac{1}{4} = \frac{4}{5} - \frac{5}{4} = \frac{16}{20} - \frac{25}{20} = -\frac{9}{20}$

Итоговое упрощенное выражение:

$p + k - \frac{9}{20}$

Теперь подставим значения $p = -2\frac{19}{30}$ и $k = 9$:

$-2\frac{19}{30} + 9 - \frac{9}{20} = (9 - 2\frac{19}{30}) - \frac{9}{20} = 6\frac{11}{30} - \frac{9}{20}$

Приведем дроби к общему знаменателю 60:

$6\frac{11 \cdot 2}{30 \cdot 2} - \frac{9 \cdot 3}{20 \cdot 3} = 6\frac{22}{60} - \frac{27}{60}$

Чтобы вычесть большую дробь из меньшей, займем единицу у целой части:

$5\frac{60+22}{60} - \frac{27}{60} = 5\frac{82}{60} - \frac{27}{60} = 5\frac{82-27}{60} = 5\frac{55}{60}$

Сократим дробную часть, разделив числитель и знаменатель на 5:

$5\frac{55 \div 5}{60 \div 5} = 5\frac{11}{12}$

Ответ: $5\frac{11}{12}$

1093. Упростите выражение и найдите его значение:

1) $-2.8 + x + 5.36 + (-7.2) + y + (-7.36)$, если $x = -13$, $y = 54$;

2) $m + (-2\frac{4}{9}) + 8\frac{13}{24} + n + (-3\frac{2}{9}) + (-4\frac{5}{24})$, если $m = -3\frac{5}{6}$, $n = -2\frac{11}{12}$.

1094. В течение шести дней уровень воды в водохранилище изменялся соответственно на: -3,2 дм; 1,6 дм; 4,3 дм; -2,2 дм; -1,9 дм и -0,8 дм. На сколько дециметров изменился уровень воды за шесть дней?

Чтобы определить общее изменение уровня воды за шесть дней, необходимо сложить все ежедневные изменения. Положительные числа соответствуют повышению уровня, а отрицательные — его понижению.

Вычислим сумму всех указанных изменений:

$-3,2 + 1,6 + 4,3 + (-2,2) + (-1,9) + (-0,8)$

Для удобства вычислений сгруппируем положительные и отрицательные слагаемые.

Сумма положительных изменений (повышение уровня):

$1,6 + 4,3 = 5,9$ (дм)

Сумма отрицательных изменений (понижение уровня):

$-3,2 + (-2,2) + (-1,9) + (-0,8) = -(3,2 + 2,2 + 1,9 + 0,8) = -8,1$ (дм)

Теперь найдем общее изменение уровня воды, сложив сумму повышений и сумму понижений:

$5,9 + (-8,1) = 5,9 - 8,1 = -2,2$ (дм)

Отрицательный результат означает, что за шесть дней уровень воды в водохранилище понизился.

Ответ: -2,2 дм.

1095. В кассе было $50\,000$ р. В течение дня кассир несколько раз выдавал и принимал деньги, делая записи: $-1200$ р., $-3000$ р., $4600$ р., $5300$ р., $-12\,700$ р., $-6500$ р. Сколько рублей осталось в кассе в конце дня?

Чтобы определить, сколько денег осталось в кассе, необходимо к начальной сумме прибавить все поступления (положительные числа) и вычесть все выдачи (отрицательные числа).

Начальная сумма в кассе: 50 000 р.

Операции за день: -1200 р., -3000 р., 4600 р., 5800 р., -12 700 р., -6500 р.

Для решения можно составить одно общее выражение:
$50000 - 1200 - 3000 + 4600 + 5800 - 12700 - 6500$

Для удобства вычислений сначала сгруппируем все поступления и все выдачи.

1. Найдем общую сумму поступлений (положительные числа):
$4600 + 5800 = 10400$ р.

2. Найдем общую сумму выдач (сложим модули отрицательных чисел):
$1200 + 3000 + 12700 + 6500 = 23400$ р.

3. Теперь найдем итоговую сумму в кассе. К начальной сумме прибавим сумму поступлений и вычтем сумму выдач:
$50000 + 10400 - 23400 = 60400 - 23400 = 37000$ р.

Ответ: в кассе в конце дня осталось 37 000 рублей.

1096. Водолаз достиг отметки $-34$ м. Выполняя работу, он изменял глубину погружения на $6$ м, $12$ м, $-17$ м, $-3$ м, $20$ м, $-5$ м. На какой глубине оказался водолаз после окончания работы?

Чтобы найти конечную глубину, на которой оказался водолаз, нужно к начальной глубине последовательно прибавить все изменения. Начальная глубина составляет $-34$ м. Изменения глубины: $+6$ м, $+12$ м, $-17$ м, $-3$ м, $+20$ м, $-5$ м. Положительные значения означают подъем к поверхности, а отрицательные — погружение глубже.

Составим математическое выражение для нахождения конечной глубины, сложив начальную глубину и все ее изменения:

$H = -34 + 6 + 12 - 17 - 3 + 20 - 5$

Для удобства вычислений сгруппируем сначала все отрицательные числа, а затем все положительные:

$H = (-34 - 17 - 3 - 5) + (6 + 12 + 20)$

Вычислим сумму отрицательных чисел:

$-34 - 17 - 3 - 5 = -59$

Вычислим сумму положительных чисел:

$6 + 12 + 20 = 38$

Теперь найдем итоговую глубину:

$H = -59 + 38 = -21$ (м)

Следовательно, после окончания работы водолаз оказался на отметке $-21$ метр.

Ответ: $-21$ м.

1097. Найдите сумму всех целых чисел:

1) расположенных на координатной прямой между числами -8 и 11;

2) удовлетворяющих неравенству $-9,8 < x < 6$.

1) Требуется найти сумму всех целых чисел, расположенных на координатной прямой между числами -8 и 11. Это значит, что мы ищем сумму целых чисел $x$, удовлетворяющих неравенству $-8 < x < 11$.
Такими числами являются: -7, -6, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10.
Запишем сумму $S$ этих чисел:
$S = (-7) + (-6) + (-5) + (-4) + (-3) + (-2) + (-1) + 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10$.
Сумма противоположных чисел равна нулю, поэтому мы можем сгруппировать слагаемые:
$S = ((-7) + 7) + ((-6) + 6) + ((-5) + 5) + ((-4) + 4) + ((-3) + 3) + ((-2) + 2) + ((-1) + 1) + 0 + 8 + 9 + 10$.
Каждая из скобок дает в сумме 0. Таким образом, сумма упрощается до:
$S = 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 8 + 9 + 10 = 27$.
Эту же задачу можно решить с помощью формулы суммы арифметической прогрессии $S_n = \frac{(a_1 + a_n)n}{2}$, где $a_1$ — первый член, $a_n$ — последний член, а $n$ — количество членов.
В данном случае, первый член прогрессии $a_1 = -7$, последний член $a_n = 10$. Количество членов $n$ можно найти как $10 - (-7) + 1 = 18$.
$S_{18} = \frac{(-7 + 10) \cdot 18}{2} = \frac{3 \cdot 18}{2} = 3 \cdot 9 = 27$.
Ответ: 27

2) Требуется найти сумму всех целых чисел, удовлетворяющих неравенству $-9,8 < x < 6$.
Найдем все целые числа $x$, которые находятся в этом интервале. Первое целое число, большее -9,8, это -9. Последнее целое число, меньшее 6, это 5.
Таким образом, мы ищем сумму чисел: -9, -8, -7, -6, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5.
Запишем сумму $S$ этих чисел:
$S = (-9) + (-8) + (-7) + (-6) + (-5) + (-4) + (-3) + (-2) + (-1) + 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5$.
Как и в предыдущем пункте, сгруппируем противоположные числа, сумма которых равна нулю:
$S = (-9) + (-8) + (-7) + (-6) + ((-5) + 5) + ((-4) + 4) + ((-3) + 3) + ((-2) + 2) + ((-1) + 1) + 0$.
Сумма в скобках равна 0, поэтому остаются только первые четыре слагаемых:
$S = (-9) + (-8) + (-7) + (-6) = -17 - 13 = -30$.
Проверим с помощью формулы суммы арифметической прогрессии.
Первый член $a_1 = -9$, последний член $a_n = 5$. Количество членов $n = 5 - (-9) + 1 = 15$.
$S_{15} = \frac{(-9 + 5) \cdot 15}{2} = \frac{-4 \cdot 15}{2} = -2 \cdot 15 = -30$.
Ответ: -30

1098. Найдите сумму всех целых чисел, которые больше, чем -112,8, но меньше, чем 110,94.

Пусть $x$ – искомое целое число. По условию задачи, оно должно удовлетворять двойному неравенству:

$-112,8 < x < 110,94$

Найдём множество всех целых чисел, которые находятся в этом промежутке.

Наименьшее целое число, большее $-112,8$, это $-112$.

Наибольшее целое число, меньшее $110,94$, это $110$.

Таким образом, нам нужно найти сумму всех целых чисел от $-112$ до $110$ включительно. Эта последовательность чисел представляет собой арифметическую прогрессию. Запишем сумму $S$:

$S = -112 + (-111) + (-110) + \dots + 0 + \dots + 109 + 110$

Можно заметить, что сумма целых чисел от $-110$ до $110$ будет равна нулю, так как для каждого положительного числа в этом диапазоне есть соответствующее ему отрицательное число:

$(-110 + 110) + (-109 + 109) + \dots + (-1 + 1) + 0 = 0$

Представим нашу исходную сумму следующим образом:

$S = (-112) + (-111) + (-110 + \dots + 110)$

$S = -112 + (-111) + 0$

$S = -223$

Другой способ – использовать формулу суммы арифметической прогрессии $S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n$, где $a_1$ – первый член, $a_n$ – последний член, а $n$ – количество членов.

В нашем случае:

$a_1 = -112$

$a_n = 110$

Количество членов $n$ можно найти по формуле $n = a_n - a_1 + 1$:

$n = 110 - (-112) + 1 = 110 + 112 + 1 = 223$

Теперь вычислим сумму:

$S_{223} = \frac{-112 + 110}{2} \cdot 223 = \frac{-2}{2} \cdot 223 = -1 \cdot 223 = -223$

Ответ: -223

1099. Запишите наибольшее и наименьшее отрицательные целые числа, в записи которых использованы две цифры.

Для решения задачи необходимо определить диапазон искомых чисел. Условие "отрицательные целые числа, в записи которых использованы две цифры" означает, что мы рассматриваем отрицательные числа, модуль которых является двузначным числом. Двузначные натуральные числа — это числа от 10 до 99. Следовательно, интересующий нас диапазон целых чисел — от -99 до -10 включительно.

Наибольшее отрицательное целое число
Среди отрицательных чисел наибольшим является то, которое расположено ближе всего к нулю на числовой прямой. Это соответствует числу с наименьшим модулем (абсолютным значением). В заданном диапазоне от -99 до -10 число с наименьшим модулем — это -10.
$|-10| = 10$
Таким образом, наибольшее отрицательное целое число, в записи которого использованы две цифры, — это -10.
Ответ: -10.

Наименьшее отрицательное целое число
Среди отрицательных чисел наименьшим является то, которое расположено дальше всего от нуля (левее) на числовой прямой. Это соответствует числу с наибольшим модулем. В заданном диапазоне от -99 до -10 число с наибольшим модулем — это -99.
$|-99| = 99$
Таким образом, наименьшее отрицательное целое число, в записи которого использованы две цифры, — это -99.
Ответ: -99.

в записи которых использованы две цифры.

1100. Найдите сумму двух чисел, одно из которых обратно числу $3$, а второе – противоположно числу $3$.

Для решения задачи необходимо найти два числа, о которых говорится в условии, а затем вычислить их сумму.

1. Нахождение первого числа.
Первое число является обратным числу 3. Числом, обратным к числу $a$ (при $a \neq 0$), является число $\frac{1}{a}$. Таким образом, для числа 3 обратным будет число $\frac{1}{3}$.

2. Нахождение второго числа.
Второе число является противоположным числу 3. Числом, противоположным к числу $a$, является число $-a$. Таким образом, для числа 3 противоположным будет число $-3$.

3. Вычисление суммы.
Теперь найдем сумму этих двух чисел: $\frac{1}{3}$ и $-3$.
Сумма = $\frac{1}{3} + (-3)$.
Это выражение можно записать как $\frac{1}{3} - 3$.
Чтобы выполнить вычитание, приведем целое число 3 к дроби со знаменателем 3:
$3 = \frac{3 \cdot 3}{3} = \frac{9}{3}$.
Теперь выполним вычитание дробей:
$\frac{1}{3} - \frac{9}{3} = \frac{1 - 9}{3} = -\frac{8}{3}$.
Представим результат в виде смешанного числа. Для этого разделим 8 на 3 с остатком: $8 \div 3 = 2$ (остаток 2).
$-\frac{8}{3} = -2\frac{2}{3}$.
Ответ: $-2\frac{2}{3}$.

1101. Положительным или отрицательным является число a, если:

1) $-2+a>-2$;

2) $-2+a<-2$;

3) $-2+(-a)>-2$?

1) Для того чтобы определить знак числа $a$ в неравенстве $-2 + a > -2$, необходимо решить это неравенство относительно $a$.

Прибавим к обеим частям неравенства число 2:

$-2 + a + 2 > -2 + 2$

После упрощения получаем:

$a > 0$

Так как значение $a$ больше нуля, число $a$ является положительным.

Ответ: положительным.

2) Рассмотрим неравенство $-2 + a < -2$.

Прибавим к обеим частям неравенства число 2, чтобы выделить $a$:

$-2 + a + 2 < -2 + 2$

После упрощения получаем:

$a < 0$

Так как значение $a$ меньше нуля, число $a$ является отрицательным.

Ответ: отрицательным.

3) Рассмотрим неравенство $-2 + (-a) > -2$.

Сначала упростим левую часть, раскрыв скобки: $-2 - a > -2$.

Прибавим к обеим частям неравенства число 2:

$-2 - a + 2 > -2 + 2$

$-a > 0$

Чтобы найти $a$, нужно умножить обе части неравенства на $-1$. При умножении или делении неравенства на отрицательное число, знак неравенства меняется на противоположный (в данном случае, знак $>$ меняется на $<$).

$(-a) \cdot (-1) < 0 \cdot (-1)$

$a < 0$

Так как значение $a$ меньше нуля, число $a$ является отрицательным.

Ответ: отрицательным.

1102. Найдите периметр четырехугольника, если его стороны пропорциональны числам 3, 4, 5 и 8, а наибольшая сторона на 10,5 см больше наименьшей.

Пусть стороны четырехугольника равны $a$, $b$, $c$ и $d$. По условию, их длины пропорциональны числам 3, 4, 5 и 8. Это означает, что существует такой коэффициент пропорциональности $k$, что:
$a = 3k$
$b = 4k$
$c = 5k$
$d = 8k$

Наименьшая сторона соответствует наименьшему коэффициенту, то есть $a = 3k$.
Наибольшая сторона соответствует наибольшему коэффициенту, то есть $d = 8k$.

В условии сказано, что наибольшая сторона на 10,5 см больше наименьшей. Составим уравнение на основе этого условия:
$d - a = 10,5$
$8k - 3k = 10,5$

Решим это уравнение, чтобы найти значение коэффициента пропорциональности $k$:
$5k = 10,5$
$k = \frac{10,5}{5}$
$k = 2,1$

Теперь, когда мы знаем $k$, мы можем найти периметр четырехугольника $P$. Периметр — это сумма длин всех сторон:
$P = a + b + c + d = 3k + 4k + 5k + 8k$

Сложим все части, чтобы выразить периметр через $k$:
$P = (3 + 4 + 5 + 8)k$
$P = 20k$

Подставим найденное значение $k = 2,1$ в формулу для периметра:
$P = 20 \times 2,1$
$P = 42$ см

Ответ: 42 см.

1103. Сергей Иванович положил в банк 4000 р. под 5 % годовых. Какая сумма будет у него на счёте через:

1) 1 год;

2) 2 года;

3) 3 года – при условии, что проценты начисляются один раз в год и других операций, кроме начисления процентов, со счётом выполняться не будет?

Это задача на расчёт сложных процентов, так как проценты начисляются на сумму, которая уже включает в себя ранее начисленные проценты. Итоговая сумма на счёте через $n$ лет вычисляется по формуле:
$S_n = S_0 \cdot (1 + \frac{P}{100})^n$,
где $S_0$ — начальная сумма вклада, $P$ — годовая процентная ставка, $n$ — количество лет.
В нашем случае:
$S_0 = 4000$ р.
$P = 5$ %

1) 1 год

Чтобы найти сумму на счёте через 1 год, нужно к начальной сумме прибавить 5% от неё.
1. Найдём сумму процентов за первый год:
$4000 \cdot \frac{5}{100} = 4000 \cdot 0.05 = 200$ р.
2. Прибавим начисленные проценты к начальной сумме:
$4000 + 200 = 4200$ р.
Ответ: 4200 р.

2) 2 года

На второй год проценты начисляются на сумму, которая была на счёте в конце первого года, то есть на 4200 р.
1. Найдём сумму процентов за второй год:
$4200 \cdot \frac{5}{100} = 4200 \cdot 0.05 = 210$ р.
2. Прибавим начисленные проценты к сумме на начало второго года:
$4200 + 210 = 4410$ р.
Ответ: 4410 р.

3) 3 года

На третий год проценты начисляются на сумму, которая была на счёте в конце второго года, то есть на 4410 р.
1. Найдём сумму процентов за третий год:
$4410 \cdot \frac{5}{100} = 4410 \cdot 0.05 = 220.5$ р.
2. Прибавим начисленные проценты к сумме на начало третьего года:
$4410 + 220.5 = 4630.5$ р.
Ответ: 4630,5 р.