Номер 1097, страница 229 - гдз по математике 6 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 31. Свойства сложения рациональных чисел. Глава 4. Рациональные числа - номер 1097, страница 229.

Условие.

1097. Найдите сумму всех целых чисел:

1) расположенных на координатной прямой между числами -8 и 11;

2) удовлетворяющих неравенству $-9,8 < x < 6$.

Решение.

Решение 2.

1) Требуется найти сумму всех целых чисел, расположенных на координатной прямой между числами -8 и 11. Это значит, что мы ищем сумму целых чисел $x$, удовлетворяющих неравенству $-8 < x < 11$.
Такими числами являются: -7, -6, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10.
Запишем сумму $S$ этих чисел:
$S = (-7) + (-6) + (-5) + (-4) + (-3) + (-2) + (-1) + 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10$.
Сумма противоположных чисел равна нулю, поэтому мы можем сгруппировать слагаемые:
$S = ((-7) + 7) + ((-6) + 6) + ((-5) + 5) + ((-4) + 4) + ((-3) + 3) + ((-2) + 2) + ((-1) + 1) + 0 + 8 + 9 + 10$.
Каждая из скобок дает в сумме 0. Таким образом, сумма упрощается до:
$S = 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 8 + 9 + 10 = 27$.
Эту же задачу можно решить с помощью формулы суммы арифметической прогрессии $S_n = \frac{(a_1 + a_n)n}{2}$, где $a_1$ — первый член, $a_n$ — последний член, а $n$ — количество членов.
В данном случае, первый член прогрессии $a_1 = -7$, последний член $a_n = 10$. Количество членов $n$ можно найти как $10 - (-7) + 1 = 18$.
$S_{18} = \frac{(-7 + 10) \cdot 18}{2} = \frac{3 \cdot 18}{2} = 3 \cdot 9 = 27$.
Ответ: 27

2) Требуется найти сумму всех целых чисел, удовлетворяющих неравенству $-9,8 < x < 6$.
Найдем все целые числа $x$, которые находятся в этом интервале. Первое целое число, большее -9,8, это -9. Последнее целое число, меньшее 6, это 5.
Таким образом, мы ищем сумму чисел: -9, -8, -7, -6, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5.
Запишем сумму $S$ этих чисел:
$S = (-9) + (-8) + (-7) + (-6) + (-5) + (-4) + (-3) + (-2) + (-1) + 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5$.
Как и в предыдущем пункте, сгруппируем противоположные числа, сумма которых равна нулю:
$S = (-9) + (-8) + (-7) + (-6) + ((-5) + 5) + ((-4) + 4) + ((-3) + 3) + ((-2) + 2) + ((-1) + 1) + 0$.
Сумма в скобках равна 0, поэтому остаются только первые четыре слагаемых:
$S = (-9) + (-8) + (-7) + (-6) = -17 - 13 = -30$.
Проверим с помощью формулы суммы арифметической прогрессии.
Первый член $a_1 = -9$, последний член $a_n = 5$. Количество членов $n = 5 - (-9) + 1 = 15$.
$S_{15} = \frac{(-9 + 5) \cdot 15}{2} = \frac{-4 \cdot 15}{2} = -2 \cdot 15 = -30$.
Ответ: -30