Страница 226 - гдз по математике 6 класс учебник Мерзляк, Полонский

1081.Петру Ивановичу надо купить две буханки хлеба, 800 г колбасы и 0,5 кг ветчины. В таблице приведены цены на эти продукты в трёх ближайших к дому Петра Ивановича магазинах.

Магазин:

хлеба (за буханку)

колбасы (за 1 кг)

ветчины (за 1 кг)

«Вкусно»: 52, 560, 800

«Аппетит»: 48, 540, 720

«Свежие продукты»: 56, 620, 960

В магазине «Вкусно» у Петра Ивановича есть дисконтная карта со скидкой 5 % на все продукты. В магазине «Свежие продукты» в этот день действовала скидка 10 % на все колбасные и мясные изделия.

В каком магазине Петру Ивановичу выгоднее всего сделать покупку?

Для того чтобы определить, в каком магазине Петру Ивановичу выгоднее всего сделать покупку, необходимо рассчитать общую стоимость его заказа в каждом из трёх магазинов с учётом всех скидок. Заказ состоит из 2 буханок хлеба, 800 г (0,8 кг) колбасы и 0,5 кг ветчины.

«Вкусно»

Сначала рассчитаем стоимость всех товаров без скидки. Стоимость хлеба: $2 \cdot 52 = 104$ р. Стоимость колбасы: $0,8 \cdot 560 = 448$ р. Стоимость ветчины: $0,5 \cdot 800 = 400$ р. Общая стоимость без скидки: $104 + 448 + 400 = 952$ р. В магазине «Вкусно» у Петра Ивановича есть дисконтная карта со скидкой 5% на все продукты. Итоговая стоимость покупки составит: $952 \cdot (1 - \frac{5}{100}) = 952 \cdot 0,95 = 904,4$ р.

Ответ: 904,4 р.

«Аппетит»

В этом магазине скидки не предусмотрены, поэтому просто сложим стоимость всех товаров. Стоимость хлеба: $2 \cdot 48 = 96$ р. Стоимость колбасы: $0,8 \cdot 540 = 432$ р. Стоимость ветчины: $0,5 \cdot 720 = 360$ р. Общая стоимость покупки: $96 + 432 + 360 = 888$ р.

Ответ: 888 р.

«Свежие продукты»

В этом магазине действует скидка 10% на все колбасные и мясные изделия (колбасу и ветчину). Стоимость хлеба рассчитывается без скидки: $2 \cdot 56 = 112$ р. Стоимость колбасы с учётом скидки: $(0,8 \cdot 620) \cdot (1 - \frac{10}{100}) = 496 \cdot 0,9 = 446,4$ р. Стоимость ветчины с учётом скидки: $(0,5 \cdot 960) \cdot (1 - \frac{10}{100}) = 480 \cdot 0,9 = 432$ р. Общая стоимость покупки в этом магазине: $112 + 446,4 + 432 = 990,4$ р.

Ответ: 990,4 р.

Сравнив итоговую стоимость покупки в трёх магазинах: 904,4 р. в «Вкусно», 888 р. в «Аппетит» и 990,4 р. в «Свежие продукты», приходим к выводу, что самая низкая цена в магазине «Аппетит».

Ответ: выгоднее всего сделать покупку в магазине «Аппетит».

1082. По одной дороге в одном направлении ехали Емеля на печи и Иван-царевич на Сером Волке. В 10 ч 50 мин расстояние между ними было 51 км. Скорость печи, двигавшейся впереди, равна 12 км/ч, что составляет $\frac{18}{35}$ скорости, с которой бежал Волк. В котором часу Иван-царевич догонит Емелю?

1. Найдем скорость, с которой бежал Волк ($v_{волка}$).

Из условия задачи известно, что скорость печи ($v_{печи} = 12$ км/ч) составляет $\frac{18}{35}$ от скорости Волка. Таким образом, мы можем составить уравнение:
$12 = \frac{18}{35} \cdot v_{волка}$
Выразим из него скорость Волка:
$v_{волка} = 12 \div \frac{18}{35} = 12 \cdot \frac{35}{18} = \frac{12 \cdot 35}{18} = \frac{2 \cdot 35}{3} = \frac{70}{3}$ км/ч.

2. Найдем скорость сближения ($v_{сближения}$).

Поскольку Иван-царевич догоняет Емелю, их скорость сближения равна разности их скоростей.
$v_{сближения} = v_{волка} - v_{печи} = \frac{70}{3} - 12$
Чтобы выполнить вычитание, приведем 12 к знаменателю 3: $12 = \frac{36}{3}$.
$v_{сближения} = \frac{70}{3} - \frac{36}{3} = \frac{34}{3}$ км/ч.

3. Найдем время, необходимое для погони ($t$).

В 10 ч 50 мин расстояние между ними было $S = 51$ км. Чтобы найти время, за которое Иван-царевич догонит Емелю, нужно разделить расстояние на скорость сближения.
$t = \frac{S}{v_{сближения}} = 51 \div \frac{34}{3} = 51 \cdot \frac{3}{34}$
Сократим дробь (числа 51 и 34 делятся на 17):
$t = \frac{3 \cdot 17 \cdot 3}{2 \cdot 17} = \frac{9}{2} = 4,5$ часа.

4. Определим, в котором часу произойдет встреча.

Время погони составило 4,5 часа, что равно 4 часам и 30 минутам. Прибавим это время к начальному времени (10 ч 50 мин):
10 ч 50 мин + 4 ч 30 мин = 14 ч 80 мин.
Поскольку 80 мин = 1 ч 20 мин, то итоговое время составит:
14 ч + 1 ч 20 мин = 15 ч 20 мин.
Ответ: Иван-царевич догонит Емелю в 15 ч 20 мин.

1083. Дима съел треть конфет, которые были в коробке, и ещё четыре конфеты. После этого в коробке осталось 12 конфет. Сколько конфет было в коробке сначала?

Для решения этой задачи можно использовать два подхода: арифметический (рассуждая в обратном порядке) или алгебраический (составив уравнение). Рассмотрим оба.

Решим задачу по действиям, начиная с конца.

1) Мы знаем, что после того, как Дима съел 4 конфеты, осталось 12. Значит, до этого момента в коробке было:

$12 + 4 = 16$ (конфет)

2) Эти 16 конфет остались после того, как Дима съел треть ($ \frac{1}{3} $) от первоначального количества. Следовательно, 16 конфет составляют оставшиеся две трети ($ 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3} $) от всего количества.

3) Если 16 конфет — это две трети, то одна треть ($ \frac{1}{3} $) будет равна:

$16 \div 2 = 8$ (конфет)

4) Поскольку одна треть — это 8 конфет, то первоначальное количество конфет (три трети, или целое) составляет:

$8 \times 3 = 24$ (конфеты)

Ответ: 24 конфеты.

Пусть $x$ — первоначальное количество конфет в коробке.

Дима съел треть конфет, то есть $\frac{1}{3}x$, а затем еще 4 конфеты. Всего он съел $\frac{1}{3}x + 4$ конфет.

После этого в коробке осталось $x - (\frac{1}{3}x + 4)$ конфет. По условию это равно 12. Составим и решим уравнение:

$x - (\frac{1}{3}x + 4) = 12$

Раскроем скобки:

$x - \frac{1}{3}x - 4 = 12$

Упростим выражение с $x$:

$\frac{2}{3}x - 4 = 12$

Перенесем 4 в правую часть уравнения, изменив знак:

$\frac{2}{3}x = 12 + 4$

$\frac{2}{3}x = 16$

Теперь найдем $x$, умножив обе части уравнения на $\frac{3}{2}$:

$x = 16 \times \frac{3}{2}$

$x = \frac{48}{2}$

$x = 24$

Проверка: Изначально было 24 конфеты. Дима съел треть ($24 \div 3 = 8$), осталось $24-8=16$. Затем съел еще 4, осталось $16-4=12$. Условие выполнено.

Ответ: 24 конфеты.

1084. В записи числа 3 728 954 106 зачеркните три цифры так, чтобы оставшиеся цифры в том же порядке составили наименьшее из возможных чисел.

Дано число $3 \ 728 \ 954 \ 106$. В нем $10$ цифр. Необходимо вычеркнуть $3$ цифры так, чтобы оставшиеся $10 - 3 = 7$ цифр, идя в том же порядке, образовали наименьшее возможное число.

Чтобы получить наименьшее число, его старшие разряды (цифры слева) должны быть как можно меньше. Будем определять цифры искомого числа последовательно, слева направо, применяя "жадный" алгоритм.

Сначала найдем первую цифру. Чтобы в результате получилось семизначное число, первую цифру мы можем выбрать из первых $10 - 7 + 1 = 4$ цифр исходного числа: $3, 7, 2, 8$. Наименьшая из них — это $2$. Чтобы сделать её первой, мы должны вычеркнуть все цифры перед ней, а именно $3$ и $7$. Таким образом, мы использовали два из трех возможных вычеркиваний. Первая цифра искомого числа — $2$.

После вычеркивания $3$ и $7$ у нас осталась последовательность цифр $8954106$. Из этих $7$ цифр нам нужно выбрать еще $6$, и у нас осталось одно вычеркивание. Ищем вторую цифру. Ее мы можем выбрать из первых $7 - 6 + 1 = 2$ цифр оставшейся последовательности, то есть из $8$ и $9$. Наименьшая из них — $8$. Выбираем ее. Дополнительных вычеркиваний на этом шаге не требуется. Вторая цифра искомого числа — $8$.

Теперь у нас осталась последовательность $954106$. Из этих $6$ цифр нам нужно выбрать оставшиеся $5$, по-прежнему имея в запасе одно вычеркивание. Третью цифру выбираем из первых $6 - 5 + 1 = 2$ цифр последовательности, то есть из $9$ и $5$. Наименьшая — $5$. Чтобы ее выбрать, мы должны вычеркнуть стоящую перед ней цифру $9$. Мы используем наше последнее, третье, вычеркивание. Третья цифра искомого числа — $5$.

Мы использовали все три вычеркивания. Оставшаяся последовательность цифр — $4106$. Так как вычеркивать больше ничего нельзя, мы должны взять все эти цифры в том же порядке. Это будут последние четыре цифры нашего числа: $4, 1, 0, 6$.

Соединив все найденные цифры, получаем итоговое число: $2854106$.

Ответ: $2 \ 854 \ 106$.

1085. Выполните сложение, выбирая удобный порядок вычислений:

1) $(1,65 + 0,158) + 2,35$;

2) $4,12 + 6,24 + 3,76 + 5,88$.

1) $(1,65 + 0,158) + 2,35$

Для удобства вычислений воспользуемся сочетательным и переместительным свойствами сложения. Это позволяет нам менять порядок слагаемых. Сгруппируем $1,65$ и $2,35$, так как их дробные части $(0,65$ и $0,35)$ в сумме дают $1$.

$(1,65 + 0,158) + 2,35 = (1,65 + 2,35) + 0,158$

Сначала выполним сложение в скобках:

$1,65 + 2,35 = 4$

Теперь к полученному результату прибавим оставшееся слагаемое:

$4 + 0,158 = 4,158$

Ответ: 4,158

2) $4,12 + 6,24 + 3,76 + 5,88$

Используя переместительное и сочетательное свойства сложения, сгруппируем слагаемые попарно так, чтобы суммы их дробных частей давали целое число (в данном случае, 1). Пары, которые удобно сложить:

• $4,12$ и $5,88$ (так как $0,12 + 0,88 = 1,00$)
• $6,24$ и $3,76$ (так как $0,24 + 0,76 = 1,00$)

Перегруппируем слагаемые:

$4,12 + 6,24 + 3,76 + 5,88 = (4,12 + 5,88) + (6,24 + 3,76)$

Вычислим сумму в каждой паре:

$4,12 + 5,88 = 10$

$6,24 + 3,76 = 10$

Сложим полученные результаты:

$10 + 10 = 20$

Ответ: 20

1086. Каждый участник шахматного турнира, играя белыми фигурами, выиграл столько партий, сколько все остальные вместе, играя чёрными. Докажите, что все участники одержали одинаковое количество побед.

Пусть в турнире участвует $n$ шахматистов. Обозначим через $W_i$ количество побед $i$-го участника ($i \in \{1, ..., n\}$) белыми фигурами, а через $B_i$ — количество его побед чёрными фигурами. Тогда общее число побед $i$-го участника составляет $T_i = W_i + B_i$.

Согласно условию задачи, для любого участника $i$ количество его побед белыми ($W_i$) равно сумме побед чёрными всех остальных участников. Это можно записать в виде формулы:$W_i = \sum_{j \neq i} B_j$

Введём обозначение для общего числа побед чёрными фигурами в турнире: $B_{total} = \sum_{j=1}^{n} B_j$. Сумма побед чёрными всех участников, кроме $i$-го, равна $B_{total} - B_i$. Подставив это в предыдущую формулу, получаем:$W_i = B_{total} - B_i$

Перенеся $B_i$ в левую часть равенства, имеем:$W_i + B_i = B_{total}$

Поскольку $W_i + B_i$ — это общее число побед $i$-го участника ($T_i$), то для любого участника $i$ справедливо равенство:$T_i = B_{total}$

Это означает, что общее число побед любого участника $T_i$ равно общему числу побед, одержанных в турнире чёрными фигурами ($B_{total}$). Поскольку $B_{total}$ — это постоянная величина, не зависящая от конкретного участника, то все участники одержали одинаковое количество побед ($T_1 = T_2 = \dots = T_n$). Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано, что общее количество побед каждого участника равно общему числу побед, одержанных в турнире чёрными фигурами. Так как это число является константой для всех участников, то все они одержали одинаковое количество побед.